2021高考數(shù)學(xué)專題測試卷：1-集合與常用邏輯用語

第一章集合與常用規(guī)律用語(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(每小題5分，共60分)1.(2021·重慶高考)已知集合U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，則?U(A∪B)＝(D)A.{1，3，4}B.{3，4}C.{3}D.{4}本題考查集合的基本運算．A∪B＝{1，2，3}，∴?U(A∪B)＝{4}，故選D.2.(2021·浙江高考)設(shè)集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則S∩T＝(D)A.[－4，＋∞)B.(－2,＋∞)C.[－4，1]D.(－2，1]如圖所示的陰影部分為S∩T，故選D.3.(2021·四川高考)設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A，2x∈B，則(C)A.?p：?x∈A，2x∈BB.?p：?x?A，2x∈BC.?p：?x∈A，2x?BD.?p：?x?A，2x?B由命題p：?x∈A，2x∈B，命題的否定為?p：?x∈A，2x?B.故選C.4.(2021·玉溪月考)設(shè)全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)＜0}，B＝{x|x＜－1}，則下圖中陰影部分表示的集合為(C)A.{x|－3＜x＜－1}B.{x|－3＜x＜0}C.{x|－1≤x＜0}D.{x|＜－3}A＝{x|x(x＋3)＜0}＝{x|－3＜x＜0}，陰影部分為A∩(?UB)，∴?UB＝{x|x≥－1}，∴A∩(?UB)＝{x|－1≤x＜0}，故選C.5.(2021·山東模擬)若全集為實數(shù)集R，集合A＝{x|logeq\s\do9(\f(1,2))(2x－1)＞0}，則?RA＝(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B.(1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)A＝{x|logeq\s\do9(\f(1,2))(2x－1)＞0}＝{x|0＜2x－1＜1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)＜x＜1))，∴?RA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥1或x≤\f(1,2)))，即eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)，故選D.6.(2021·云南高考)命題“全部實數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為(C)A.全部實數(shù)的平方都不是正數(shù)B.有的實數(shù)的平方是正數(shù)C.至少有一個實數(shù)的平方不是正數(shù)D.至少有一個實數(shù)的平方是正數(shù)全稱命題的否定是特稱命題．∴“全部實數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是“至少有一個實數(shù)的平方不是正數(shù)”．7.(2021·全國高考)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，則A∩B等于(A)A.{1，4}B.{2，3}C.{9，16}D.{1，2}B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1，4，9，16}，∴A∩B＝{1，4}，故選A.8.(2021·天津高考)設(shè)a，b∈R,則“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的(A)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件若(a－b)a2＜0，則a－b＜0，即a＜b.若0＝a＜b時，(a－b)·a2＝0，∴“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要條件，故選A.9.(2021·福建高考)設(shè)點P(x，y)，則“x＝2且y＝－1”是“點P在直線l：x＋y－1＝0上”的(A)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件本題考查的學(xué)問點是規(guī)律中充要條件的判定．∵點(2，－1)代入直線方程，符合方程，即“x＝2且y＝－1”可推出“點P在直線l：x＋y－1＝0上”；而點P在直線上，不愿定就是點(2，－1)，即“點P在直線l：x＋y－1＝0上”推不出“x＝2且y＝－1”．故“x＝2且y＝－1”是“點P在直線l：x＋y－1＝0上”的充分不必要條件．10.(2021·貴州六校聯(lián)考)給出下列四個命題：①命題“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題為假命題；②命題p：?x∈R，sinx≤1，則?p：?x0∈R，使sinx0＞1；③“φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)”是“函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)”的充要條件；④命題p：“?x0∈R，使sinx0＋cosx0＝eq\f(3,2)”；命題q：“若sinα＞sinβ，則α＞β”，那么(?p)∧q為真命題．其中正確的個數(shù)是(C)A.4B.3C.2D.1①中的原命題為真，∴逆否命題也為真，∴①錯誤；②依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題知，②正確；③當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時，有φ＝eq\f(π,2)＋kπ，∴為充要條件，∴③正確；④∵sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值為eq\r(2)＜eq\f(3,2)，∴命題p為假命題，?p為真，三角函數(shù)在定義域上不單調(diào)，∴q為假命題，∴(?p)∧q為假命題，∴④錯誤．∴正確的個數(shù)為2，故選C.11.(2021·陜西高考)設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是(C)A.若z2≥0,則z是實數(shù)B.若z2＜0,則z是虛數(shù)C.若z是虛數(shù)，則z2≥0D.若z是純虛數(shù)，則z2＜0設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R?z2＝a2－b2＋2abi.經(jīng)觀看，C和D選項可能是相互排斥的，應(yīng)重點留意．對選項A：若z2≥0，則b＝0?z為實數(shù)，∴z為實數(shù)為真；對選項B：若z2＜0，則b≠0?z為虛數(shù)，∴z為虛數(shù)為真；對選項C：若z為虛數(shù)，則b≠0，∴z2≥0為假；對選項D：若z為純虛數(shù)，則a＝0，且b≠0?z2＜0，∴z2＜0為真．∴選C.12.(2021·山東高考)給定兩個命題p，q，?p是q的必要不充分條件，則p是?q的(A)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件命題若?p則q與若?q則p互為逆否命題，由?p是q的必要不充分條件知?q是p的必要不充分條件，∴p是?q的充分不必要條件，故選A.二、填空題(每小題5分，共20分)13.設(shè)集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是__eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(4,3)))__.A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，∵函數(shù)y＝f(x)＝x2－2ax－1的對稱軸為x＝a＞0，f(0)＝－1＜0，依據(jù)對稱性可知要使A∩B中恰含有一個整數(shù)，則這個整數(shù)解為2，∴有f(2)≤0且f(3)＞0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－4a－1≤0，,9－6a－1＞0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥\f(3,4)，,a＜\f(4,3).))即eq\f(3,4)≤a＜eq\f(4,3).14.(2021·諸城月考)已知命題p：?x∈[0，1]，a≥ex，命題q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__[e，4]__．∵?x∈[0，1]，a≥ex，∴a≥e.由?x∈R，x2＋4x＋a＝0，可得判別式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命題“p∧q”是真命題，∴p，q同為真，∴e≤a≤4，即[e，4]．15.(2021·青島調(diào)研)已知A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,8)＜2－x＜\f(1,2)))，B＝{x|log2(x－2)＜1}，則A∪B＝__{x|1＜x＜4}__．解析：A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|log2(x－2)＜1}＝{x|0＜x－2＜2}＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|1＜x＜4}．16.(2021·福建高考)設(shè)S，T是R的兩個非空子集，假如存在一個從S到T的函數(shù)y＝f(x)滿足：(i)T＝{f(x)|x∈S}；(ii)對任意x1，x2∈S，當(dāng)x1＜x2時，恒有f(x1)＜f(x2)．那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”．現(xiàn)給出以下3對集合：①A＝N，B＝N*；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；③A＝{x|0＜x＜1}，B＝R.其中，“保序同構(gòu)”的集合對的序號是__①②③__．(寫出全部“保序同構(gòu)”的集合對的序號)本題考查的函數(shù)的性質(zhì)．由題意可知S為函數(shù)的一個定義域，T為其所對應(yīng)的值域，且函數(shù)y＝f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)．對于集合對①，可取函數(shù)f(x)＝2x(x∈N)，是“保序同構(gòu)”；對于集合對②，可取函數(shù)y＝eq\f(9,2)x－eq\f(7,2)(－1≤x≤3)，是“保序同構(gòu)”；對于集合對③，可取函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－\f(π,2)))(0＜x＜1)，是“保序同構(gòu)”．故答案為①②③.三、解答題(共70分)17.(10分)(2021·北京期末)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝lg(x2－2x－3)的定義域為集合A，函數(shù)g(x)＝x－a(0≤x≤4)的值域為集合B.(1)求集合A，B；(2)若集合A，B滿足A∩B＝B，求實數(shù)a的取值范圍．(1)A＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|(x－3)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{y|－a≤y≤4－a}．(6分)(2)∵A∩B＝B，∴B?A.∴4－a＜－1或－a＞3，∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a＞5或a＜－3}．(10分)18.(10分)(2021·上海模擬)已知集合A＝{x||x－a|＜2，x∈R}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2x－1,x＋2)＜1，x∈R)).(1)求A，B；(2)若A?B，求實數(shù)a的取值范圍．(1)由|x－a|<2，得a－2<x<a＋2，∴A＝{x|a－2<x<a＋2}．由eq\f(2x－1,x＋2)<1，得eq\f(x－3,x＋2)<0，即－2<x<3，∴B＝{x|－2<x<3}．(6分)(2)若A?B，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≥－2，,a＋2≤3，))解得0≤a≤1.∴a的取值范圍為[0，1]．(10分)19.(12分)(2021·鎮(zhèn)江模擬)已知命題p：1＜2x＜8；命題q：不等式x2－mx＋4≥0恒成立，若?p是?q的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．p：1＜2x＜8，即0＜x＜3，∵?p是?q的必要條件，∴p是q的充分條件．(5分)∴不等式x2－mx＋4≥0對?x∈(0，3)恒成立，∴m≤eq\f(x2＋4,x)＝x＋eq\f(4,x)對?x∈(0，3)恒成立，∵x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時，等號成立.∴m≤4.即m的取值范圍為(－∞，4]．(12分)20.(12分)(2021·德州月考)設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0；命題q：實數(shù)x滿足x2＋2x－8＞0，且?p是?q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．設(shè)A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|x＜－4或x＞2}．(4分)∵?p是?q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件，∴AB，∴3a≥2或a≤－4，又a＜0，∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－4]．(12分)21.(12分)(2021·天津月考)設(shè)命題p：函數(shù)f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定義域為R；命題q：不等式2x2＋x>2＋ax對?x∈(－∞，－1)恒成立．假如命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．p：Δ<0且a>0，故a>2；q：a>2x－eq\f(2,x)＋1，對?x∈(－∞，－1)恒成立，(6分)增函數(shù)2x－eq\f(2,x)＋1<1，故a≥1.命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，等價于p，q一真一假．故1≤a≤2.(12分)22.(14分)若集合A具有以下性質(zhì)：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時，eq\f(1,x)∈A.則稱集合A是“好集”．(1)分別推斷集合B＝{－1，0}，有理數(shù)集Q是否是“好集”，并說明理由；(2)設(shè)集合A是“好集”，求證：若x，y∈A，則x＋y∈A；(3)對任意的一個“好集”A，分別推斷下面命題的真假，并說明理由．命題p：若x，y∈A，則必有xy∈A；命題q：若x，y∈A，且x≠0，則必有eq\f(y,x)∈A.(1)集合B不是“好集