【2022屆走向高考】高三數(shù)學一輪(人教B版)基礎鞏固：第1章-第1節(jié)-集合

第一章第一節(jié)一、選擇題1．設集合M＝{y|y＝2x，x<0}，N＝{x|y＝eq\r(\f(1－x,x))}，則“x∈M”是“x∈N”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]M＝(0,1)，N＝(0,1]，∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要條件，故選A.2．(2022·山西高校附中月考)設A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B?A，則x的值為()A．0 B．－2C．0或－2 D．0或±2[答案]C[解析]當x2＝4時，x＝±2，若x＝2，則不滿足集合中的元素的互異性，∴x≠2；若x＝－2，則A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，滿足題意，當x2＝2x時，x＝0或2(舍去)，x＝0滿足題意，∴x＝0或－2.3．(文)若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|eq\f(2x＋1,3－x)<0}，則A∩B等于()A．{x|－1<x<－eq\f(1,2)或2<x<3}B．{x|2<x<3}C．{x|－eq\f(1,2)<x<2}D．{x|－1<x<－eq\f(1,2)}[答案]D[解析]∵|2x－1|<3，∴－3<2x－1<3，解得－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}．∵eq\f(2x＋1,3－x)<0，∴(2x＋1)(x－3)>0，解得x<－eq\f(1,2)或x>3，即B＝{x|x<－eq\f(1,2)或x>3}，故A∩B＝{x|－1<x<－eq\f(1,2)}．(理)(2021·貴州六校聯(lián)考)設集合M＝{x|x2－x－6<0}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，則M∩N等于()A．(1,2) B．(－1,2)C．(1,3) D．(－1,3)[答案]C[解析]M＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，所以M∩N＝{x|1<x<3}，選C.4．(文)(2021·北京市朝陽區(qū)期中)已知集合A＝{x2＋x－2<0}，B＝{x|x>0}，則集合A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|0<x<1}C．{x|x<1} D．{x|－2<x<1}[答案]A[解析]由x2＋x－2<0得－2<x<1，∴A∪B＝{x|x>－2}．(理)(2021·北京東城期末)設集合A＝{1,2}，則滿足A∪B＝{1,2,3}的集合B的個數(shù)是()A．1 B．3C．4 D．8[答案]C[解析]∵A∪B＝{1,2}∪B＝{1,2,3}，∴集合B的可能狀況為{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}，故選C.5．(2022·烏魯木齊地區(qū)三診)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，則(?UA)∪B為()A．{2,4,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}[答案]A[解析]?UA＝{2,5}，∴(?UA)∪B＝{2,4,5}．6．(文)(2021·北京豐臺期末)設全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，?UM＝{5,7}，則實數(shù)a的值為()A．2或－8 B．－2或－8C．－2或8 D．2或8[答案]D[解析]∵U＝{1,3,5,7}，?UM＝{5,7}，∴M＝{1,3}．∴|a－5|＝3?a＝2或8，故選D.(理)(2021·廣東佛山一模)設全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，則?U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{2,4}C．{2,5} D．{1,5}[答案]B[解析]由題意易得U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以?U(A∪B)＝{2,4}．故選B.二、填空題7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍是________．[答案]a≤1[解析]由于A∪B＝R，畫數(shù)軸可知，實數(shù)a必需在點1上或在1的左邊，所以a≤1.8．(文)已知集合A＝{x|logeq\f(1,2)x≥3}，B＝{x|x≥a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(－∞，c]，其中的c＝______.[答案]0[解析]A＝{x|0<x≤eq\f(1,8)}，∵A?B，∴a≤0，∴c＝0.(理)(2022·蘭州模擬)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，則實數(shù)m的值為________．[答案]0或2或3[解析]當m＝0時，B＝??A；當m≠0時，由B＝{eq\f(6,m)}?{2,3}可得eq\f(6,m)＝2或eq\f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2，綜上可得實數(shù)m＝0或2或3.9．已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c，其中c>0}．若A∪B＝B，則c的取值范圍是________．[答案][2，＋∞)[解析]A＝{x|0<x<2}，由A∪B＝B得A?B，所以c≥2.三、解答題10．(文)設集合A＝{(x，y)|y＝2x－1，x∈N*}，B＝{(x，y)|y＝ax2－ax＋a，x∈N*}，問是否存在非零整數(shù)a，使A∩B≠?？若存在，懇求出a的值；若不存在，說明理由．[解析]假設A∩B≠?，則方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝ax2－ax＋a，))有正整數(shù)解，消去y得，ax2－(a＋2)x＋a＋1＝0(*)由Δ≥0，有(a＋2)2－4a(a＋1)≥解得－eq\f(2\r(3),3)≤a≤eq\f(2\r(3),3).因a為非零整數(shù)，∴a＝±1，當a＝－1時，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，而x∈N*.故a≠－1.當a＝1時，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合題意．故存在a＝1，使得A∩B≠?，此時A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．(理)已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．(1)問是否存在實數(shù)a，使得對于任意實數(shù)b都有A是B的子集？若存在，求a；若不存在，說明理由；(2)若A是B的子集成立，求出對應的實數(shù)對(a，b)?[解析](1)A＝{4＋a，a－4}，要使得對任意實數(shù)b，都有A?B，只能是A?{1,2}，但A中兩元素之差(4＋a)－(a－4)＝8≠2－1，故這樣的實數(shù)a不存在．(2)若A是B的子集成立，則必有|b－1|＝8或|b－2|＝8，解得b＝－7,9，－6,10.當b＝－7時，a＝－3；當b＝9時，a＝5；當b＝－6時，a＝－2；當b＝10時，a＝6.即對應的實數(shù)對(a，b)為(－3，－7)，(5,9)，(－2，－6)，(6,10)．一、選擇題11．(文)(2022·長春市調研)設集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中有________個元素．()A．4 B．5C．6 D．7[答案]C[解析]∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6個元素，故選C.(理)設A，B是非空集合，定義A×B＝{x|x∈(A∪B)且x?(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，則A×B等于()A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0,1]∪(2，＋∞)[答案]A[解析]由題意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]．所以A×B＝(2，＋∞)．12．(文)(2022·巢湖質檢)設集合A＝{x|eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,4)＝1}，B＝{y|y＝x2}，則A∩B＝()A．[－2,2] B．[0,2]C．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}[答案]B[解析]A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．(理)(2021·開封四中期中)已知集合A＝{x|y＝eq\r(9－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，則A∩B＝()A．{x|x≥－3} B．{x|1<x≤3}C．{x|x>1} D．?[答案]B[解析]由9－x2≥0得－3≤x≤3，∴A＝{x|－3≤x≤3}；由x>0得y＝2x>1，∴B＝{y|y>1}，∴A∩B＝{x|1<x≤3}．13．(文)(2022·湖北八校其次次聯(lián)考)設集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋3a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中全部元素之和為8，則實數(shù)aA．{0} B．{0,3}C．{1,3,4} D．{0,1,3,4}[答案]D[解析]由題意，若a≠3，則A＝{3，a}，B＝{1,4}．∵1＋3＋4＝8，∴a＝0,1或4.若a＝3，則A＝{3}滿足題意，故a的取值集合為{0,1,3,4}．(理)(2022·北京順義第一次統(tǒng)考)設數(shù)集M同時滿足條件：①M中不含元素－1,0,1；②若a∈M，則eq\f(1＋a,1－a)∈M.則下列結論正確的是()A．集合M中至多有2個元素B．集合M中至多有3個元素C．集合M中有且僅有4個元素D．集合M中有無窮多個元素[答案]C[解析]由條件②可知，若a∈M，則eq\f(1＋a,1－a)∈M，則eq\f(1＋\f(1＋a,1－a),1－\f(1＋a,1－a))＝－eq\f(1,a)∈M，eq\f(1－\f(1,a),1＋\f(1,a))＝eq\f(a－1,a＋1)∈M，則eq\f(1＋\f(a－1,a＋1),1－\f(a－1,a＋1))＝eq\f(2a,2)＝a∈M；由條件①可知a、eq\f(1＋a,1－a)、－eq\f(1,a)、eq\f(1－a,1＋a)互不相等，故集合M＝{a，eq\f(1＋a,1－a)，－eq\f(1,a)，eq\f(1－a,1＋a)}，有且僅有4個元素．14．(2021·唐山市海港高級中學月考)下列結論正確的有()①已知集合M＝{3，log2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{0}，則M∪N②集合{y|y＝2x2－3}與集合{(x，y)|y＝2x2－3}是同一個集合；③由1，eq\f(3,2)，eq\f(6,4)，|－eq\f(1,2)|,0.5這些數(shù)組成的集合有5個元素；④集合{(x，y)|xy≤0，x、y∈R}是指其次和第四象限內的點集．A．0個 B．1個C．2個 D．3個[答案]A[解析]①由條件知log2a＝0，∴a＝1，∴b＝0，∴M∪N＝{0,1,3}，故①②前一個集合是數(shù)集，后一個集合是點集，故②錯；③由于eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，|－eq\f(1,2)|＝0.5，故③錯；④當x＝0時，xy≤0成立，此時點(x，y)落在y軸上，故④錯．二、填空題15．(文)已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A∩B＝________.[答案]{(0,1)，(－1,2)}[解析]A、B都表示點集，A∩B即是由集合A中落在直線x＋y－1＝0上的全部點組成的集合，將A中點的坐標代入直線方程檢驗知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．(理)若A＝{x|22x－1≤eq\f(1,4)}，B＝{x|logeq\f(1,16)x≥eq\f(1,2)}，實數(shù)集R為全集，則(?RA)∩B＝________.[答案]{x|0<x≤eq\f(1,4)}[解析]由22x－1≤eq\f(1,4)得，x≤－eq\f(1,2)，由logeq\f(1,16)x≥eq\f(1,2)得，0<x≤eq\f(1,4)，∴(?RA)∩B＝{x|x>－eq\f(1,2)}∩{x|0<x≤eq\f(1,4)}＝{x|0<x≤eq\f(1,4)}．16．(文)已知集合A＝{x|(x2＋ax＋b)(x－1)＝0}，集合B滿足條件：A∩B＝{1,2}，A∩(?UB)＝{3}，U＝R，則a＋b等于________．[答案]1[解析]依題意得1∈A,2∈A,3∈A，因此，2和3是方程x2＋ax＋b＝0的兩個根，所以2＋3＝－a,2×3＝b，∴a＝－5，b＝6.∴a＋b＝1.(理)集合A＝{x|log2(x＋eq\f(1,2))<0}，函數(shù)y＝x－2的單調遞增區(qū)間是集合B，則在集合A中任取一個元素x，x∈B的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]A＝{x|log2(x＋eq\f(1,2))<0}＝{x|－eq\f(1,2)<x<eq\f(1,2)}，由于函數(shù)y＝x－2的單調遞增區(qū)間是集合B，所以B＝{x|x<0}，所以A∩B＝(－eq\f(1,2)，0)．在集合A中任取一個元素x，若x∈B，則x∈(A∩B)，故所求概率P＝eq\f(0－－\f(1,2),\f(1,2)－－\f(1,2))＝eq\f(1,2).三、解答題17．(文)(2022·南昌模擬)已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求實數(shù)a的取值范圍．[解析]由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，(1)若A＝?，則Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.(2)若A≠?，則0∈A或－4∈A，當0∈A時，得a＝±1；當－4∈A，得a＝1或a＝7；但當a＝7時A＝{－4，－12}，此時不合題意．故由(1)(2)得實數(shù)a的取值范圍是：a≤－1或a＝1.(理)(2022·臨川模擬)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a(1)若A?B，求a的取值范圍；(2)若A∩B＝?，求a的取值范圍；(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范圍．[解析]∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，∴A＝{x|2<x<4}．(1)當a>0時，B＝{x|a<x<3a}，要使A?B應滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2,3a≥4))?eq\f(4,3)≤a≤2，當a<0時，B＝{x|3a<x<a}．要使A?B應滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al