【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修一課時作業(yè)(二十四)-3.6

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(二十四)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較(30分鐘50分)一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2022·西安高一檢測)下列所給函數(shù),增長最快的是()A.y=5x B.y=x5C.y=log5x D.y=5x【解析】選D.由函數(shù)的增長差異可知y=5x增長最快.2.下表是函數(shù)y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),由此推斷它最符合的函數(shù)模型是()x34567y3.385.067.5911.3967.09A.一次函數(shù) B.二次函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù) D.對數(shù)型函數(shù)【解析】選C.畫出圖形,如圖所示,隨著自變量增加,函數(shù)值的增量是快速的,故為指數(shù)型函數(shù)模型,故選C.3.依據(jù)三個函數(shù)f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x給出以下命題：(1)f(x),g(x),h(x)在其定義域上都是增函數(shù).(2)f(x)的增長速度始終不變.(3)f(x)的增長速度越來越快.(4)g(x)的增長速度越來越快.(5)h(x)的增長速度越來越慢.其中正確的命題個數(shù)為()A.2B.3C.4D.5【解析】選C.依據(jù)“直線上升、對數(shù)增長、指數(shù)爆炸”的原理可知(1)(2)(4)(5)正確.4.(2022·長安高一檢測)函數(shù)y=2x-x2的圖像大致是()【解析】選A.當(dāng)x>0時,由2x=x2可知x=2或x=4,又當(dāng)x<0時,y→-∞,故選A.【變式訓(xùn)練】如圖所示曲線反映的是下列哪種函數(shù)的增長趨勢()A.一次函數(shù) B.冪函數(shù)C.對數(shù)函數(shù) D.指數(shù)函數(shù)【解析】選C.由圖像可知,開頭增長快速,后來增長越來越慢.符合對數(shù)函數(shù)模型.5.(2022·保定高一檢測)據(jù)報道,某淡水湖的湖水在50年內(nèi)削減了10%,若按此規(guī)律,設(shè)2021年的湖水量為m,從2021年起,經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為()A.y=0.9x50 B.y=(1-0.C.y=0.9x50m D.y=(1-0.1【解析】選C.設(shè)每年湖水量為上一年的q%,則(q%)50=0.9,所以q%=0.9150.所以x年后的湖水量為y=0.6.(2022·九江高一檢測)四人賽跑,假設(shè)其跑過的路程和時間的函數(shù)關(guān)系分別為f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,假如他們始終跑下去,最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x【解題指南】借助函數(shù)變化率的特征求解,最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系應(yīng)為函數(shù)變化率最快的.【解析】選D.在同一坐標系中畫出函數(shù)f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)的圖像可知(圖略),當(dāng)x>4時從上往下依次是f4(x),f1(x),f2(x),f3(x),故選D.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2022·白鷺洲高一檢測)2022年某小城市人口總數(shù)為14萬,假如人口的年自然增長率把握為1.25%,則從20年開頭,該城市人口超過20萬.(lg3≈0.4771,lg5≈0.6990,lg7≈0.8451)【解析】設(shè)經(jīng)過x年后,該城市人口超過20萬,故14(1+1.25%)x=20,所以x=log1.0125107=lg107lg1.0125≈1=1-0.84510.0054故從2041年開頭,該城市人口超過20萬.答案：418.已知函數(shù)f(x)的圖像如圖,試寫出一個可能的解析式：.【解析】由圖可知,該函數(shù)過點(10,3),且其增長模式類似于對數(shù)型函數(shù),故不妨取f(x)=3lgx.答案：f(x)=3lgx(答案不唯一)【誤區(qū)警示】本題易因?qū)瘮?shù)圖像理解不透而導(dǎo)致無法求解.9.(2022·泰安高一檢測)某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系式為：y=alog2(x+1),設(shè)這種動物第一年有100只,則到第7年這種動物進展到只.【解析】把x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得：a=100,故函數(shù)關(guān)系式為y=100log2(x+1),所以當(dāng)x=7時,y=100log2(7+1)=300.所以到第7年這種動物進展到300只.答案：300三、解答題(每小題10分,共20分)10.試比較函數(shù)y=x200,y=ex,y=lgx的增長差異.【解析】增長最慢的是y=lgx,由圖像(圖略)可知隨著x的增大,它幾乎平行于x軸;當(dāng)x較小時,y=x200要比y=ex增長得快;當(dāng)x較大時,y=ex要比y=x200增長得快.11.某地發(fā)生地震,世界各地紛紛捐款捐物.甲、乙、丙三個公司分別到慈善總會捐款給災(zāi)區(qū),捐款方式如下：甲公司：在10天內(nèi),每天捐款5萬元給災(zāi)區(qū);乙公司：在10天內(nèi),第1天捐款1萬元,以后每天比前一天多捐款1萬元;丙公司：在10天內(nèi),第1天捐款0.1萬元,以后每天捐款都比前一天翻一番.你覺得哪個公司最慷慨?【解析】三個公司在10天內(nèi)捐款狀況如下表所示.由上表可以看出,丙公司捐款最多,為102.3萬元,即丙公司最慷慨.(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.已知函數(shù)f(x)=3x,g(x)=2x,當(dāng)x∈R時,有()A.f(x)>g(x) B.g(x)>f(x)C.f(x)≥g(x) D.g(x)≥f(x)【解析】選A.在同始終角坐標系中畫出函數(shù)f(x)=3x,g(x)=2x的圖像,如圖所示,由于函數(shù)f(x)=3x的圖像在函數(shù)g(x)=2x的圖像的上方,則f(x)>g(x).【變式訓(xùn)練】下列函數(shù)中,隨x的增大,增長速度最快的是()A.y=50(x∈Z) B.y=1000xC.y=0.4·2x-1 D.y=1100000·e【解析】選D.指數(shù)型函數(shù)增長速度最快,且e>2,因而ex增長最快.2.(2022·南陽高一檢測)若x∈(0,1),則下列結(jié)論正確的是()A.2x>x12>lgx B.2xC.x12>2x>lgx D.lgx>x【解析】選A.當(dāng)0<x<1時,2x>1,0<x12<1,lgx<0,所以2x>【舉一反三】題目條件不變,則f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-2A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x)C.g(x)<h(x)<f(x) D.f(x)<g(x)<h(x)【解析】選D.取特值x=123.(2022·沈陽高一檢測)如圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖,那么“紅豆生南國,春來發(fā)幾枝”的紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個函數(shù)模型擬合最好?()A.指數(shù)函數(shù)：y=2t B.對數(shù)函數(shù)：y=log2tC.冪函數(shù)：y=t3 D.二次函數(shù)：y=2t2【解析】選A.依據(jù)散點圖中數(shù)據(jù)可得t與y的對應(yīng)點為(1,2),(2,4),(3,8),(4,16),(5,32)等.結(jié)合選項知選A.【變式訓(xùn)練】甲乙二人同時從A地趕往B地,甲先騎自行車到中點改為跑步,而乙則是先跑步到中點改為騎自行車,最終兩人同時到達B地,又知甲騎自行車比乙騎自行車的速度快,并且二人騎車速度均比跑步速度快.若某人離開A地的距離S與所用時間t的函數(shù)關(guān)系可用圖像表示,則下列給出的四個函數(shù)圖像中,甲、乙兩人的圖像只可能是()A.甲是圖①,乙是圖② B.甲是圖①,乙是圖④C.甲是圖③,乙是圖② D.甲是圖③,乙是圖④【解析】選B.由題設(shè),兩人都是到中點變換了行走方式,且同時到達目的地,由于甲騎自行車的速度較快,故其騎車用時比乙少,而跑步用時比乙多,故甲的行程關(guān)于時間的函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)為騎車時斜率比乙騎車時斜率大,跑步斜率比乙跑步斜率小,且其騎車用時比乙少,跑步用時比乙多,甲的圖像是先斜率大,后斜率小,而乙的是先斜率小后斜率大,由此規(guī)律知符合甲的運行規(guī)律的圖像應(yīng)為①,符合乙的運行規(guī)律的圖像應(yīng)為④.故甲、乙兩人的圖像只可能甲是圖①,乙是圖④.故選B.4.(2022·焦作高一檢測)用固定的速度向如圖外形的瓶子中注水,則水面的高度h和時間t之間的關(guān)系是()【解析】選B.t越來越大時,h增大得較快,而A,D是勻速增長的,瓶子應(yīng)為直筒狀,C表示的瓶子應(yīng)是口大于底,故選B.【誤區(qū)警示】本題在求解中常因搞錯高度h和時間t的關(guān)系導(dǎo)致錯選C.二、填空題(每小題5分,共10分)5.設(shè)a=60.7,b=0.76,c=log0.76,則a,b,c的大小關(guān)系為.(按從小到大的挨次寫)【解題指南】引入0,1兩個量,比較a,b,c與0,1的大小關(guān)系.【解析】由于c=log0.76<0<b=0.76<1<a=60.7,所以c<b<a.答案：c<b<a6.某商店每月利潤穩(wěn)步增長,去年12月份的利潤是當(dāng)年1月份利潤的k倍,則該商店去年每月利潤的平均增長率為.【解析】設(shè)平均增長率為p,則k=(1+p)11,故p=11k答案：11k三、解答題(每小題12分,共24分)7.某企業(yè)擬共用10萬元投資甲、乙兩種商品.已知各投入x萬元,甲、乙兩種商品可分別獲得y1,y2萬元的利潤,利潤曲線P1：y1=axn,P2：y2=bx+c如圖所示.(1)求函數(shù)y1,y2的解析式.(2)為使投資獲得最大利潤,應(yīng)怎樣支配投資額,才能獲得最大利潤?【解析】(1)P1：y1=axn過點1,5454=a·所以y1=54x12,xP2：y2=bx+c過點(0,0),(4,1),所以c所以y2=14x,x∈[0,+∞(2)設(shè)用x萬元投資甲商品,那么投資乙商品為(10-x)萬元,總利潤為y萬元.依據(jù)題意得y=54x+=-14x+54=-14x-522+當(dāng)x=52即x=254=6.25時,ymax=投資乙商品為10-6.25=3.75萬元.答：用6.25萬元投資甲商品,3.75萬元投資乙商品,才能獲得最大利潤.8.(2022·臨沂高一檢測)某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標,預(yù)備制定一個激勵銷售部門的嘉獎方案：在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行嘉獎,且獎金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加,但嘉獎總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個嘉獎模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型能符合公司要求?【解題指南】嘉獎模型符合公司要求,即當(dāng)x∈[10,1000]時,能夠滿足y≤5,且yx≤【解析】借助計算器或計算機作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的圖像如圖所示：觀看圖像發(fā)覺,在區(qū)間[10,1000]上模型y=0.25x,y=1.002x的圖像都有一部分在y=5的上方,這說明只有按模型y=log7x+1進行嘉獎才能符合公司要求,下面通過計算確認上述推斷.首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元.對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1000]上是單調(diào)遞增的,當(dāng)x∈(20,1000]時,y>5,因此該模型不符合要求.對于模型y=1.002x,利用計算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x是增函數(shù),故當(dāng)x∈(806,1000]時,y>5,因此,也不符合題意.對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增且當(dāng)x=1000時,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.再計算按模型y=log7x+1嘉獎時,獎金是否超過利潤x的25%,即當(dāng)x∈[10,1000]時,利用計算器或計算機作f(x)=log7x+1-0.25x的圖像,由圖像可知f(x)是減函數(shù),因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即log7x+1<0.25x.所以當(dāng)x∈[10,1000]時,y<0.25x.這說明,按模型y=log7x+1嘉獎不超過利潤的25%.綜上所述,模型y=log7x+1的確符合公司要求.【變式訓(xùn)練】下面給出f(x)隨x的增大而得到的函數(shù)值表：x2xx22x+7log2x12190244111389131.58504161615253225172.321966436192.5850712849212.8074825664233951281253.169