【2021屆備考】2021屆全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第三期)：K單元概率

K單元概率名目K單元概率 ⑵成果在區(qū)間的同學(xué)人數(shù)是：50×0.04=2人，成果在區(qū)間的同學(xué)人數(shù)是：50×0.06=3人，設(shè)成果在區(qū)間的同學(xué)分別是A1，A2，成果在區(qū)間的同學(xué)分別是B1，B2，B3，從成果在的同學(xué)中隨機(jī)選取2人的全部結(jié)果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10種狀況．至少有1人成果在內(nèi)的結(jié)果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7種狀況．∴至少有1人成果在內(nèi)的概率P=．【思路點(diǎn)撥】（1）先求成果在區(qū)間的頻率，由頻率=得n值；（2）分別求出成果在區(qū)間的同學(xué)人數(shù)2人，和成果在區(qū)間的同學(xué)人數(shù)3人，用列舉法寫出從這5人中隨機(jī)選取2人的全部狀況共10種，其中至少有1人成果在內(nèi)的結(jié)果有7種，從而得所求概率.K3幾何概型【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖北省武漢華中師范高校第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】5．已知，A是曲線與圍成的區(qū)域，若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為（）A.B. C. D.【學(xué)問點(diǎn)】幾何概型K3【答案】【解析】D解析：聯(lián)立得，解得或，

設(shè)曲線與曲線圍成的面積為S，則,而，表示的區(qū)域是一個(gè)邊長為2的正方形，∴Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A（陰影部分）中的概率，故選D．

【思路點(diǎn)撥】本題利用幾何概型求解．欲求恰好落在陰影范圍內(nèi)的概率，只須求出陰影范圍內(nèi)的面積與正方形的面積比即可．為了求出陰影部分的面積，聯(lián)立由曲線和曲線兩個(gè)解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后在）區(qū)間上利用定積分的方法求出圍成的面積即可.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省唐山一中高三上學(xué)期期中考試（202211）】4.已知實(shí)數(shù)，執(zhí)行如右圖所示的流程圖，則輸出的x不小于55的概率為（）A.B.C.D.【學(xué)問點(diǎn)】程序框圖幾何概型L1K3【答案】【解析】B解析：設(shè)實(shí)數(shù)，

經(jīng)過第一次循環(huán)得到x=2x+1，n=2

經(jīng)過其次循環(huán)得到x=2（2x+1）+1，n=3

經(jīng)過第三次循環(huán)得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此時(shí)輸出x

輸出的值為8x+7

令8x+7≥55，得x≥6

由幾何概型得到輸出的x不小于55的概率為=，故選擇B.【思路點(diǎn)撥】由程序框圖的流程，寫出前三項(xiàng)循環(huán)得到的結(jié)果，得到輸出的值與輸入的值的關(guān)系，令輸出值大于等于55得到輸入值的范圍，利用幾何概型的概率公式求出輸出的x不小于55的概率．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖北省八校高三第一次聯(lián)考（202212）word版】14．隨機(jī)向邊長為5，5，6的三角形中投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是____．【學(xué)問點(diǎn)】幾何概型的概率求法.K3【答案】【解析】解析：分別以三角形三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，則在三角形內(nèi)部且在三圓外部的區(qū)域，即為與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離不小于1的部分，即.【思路點(diǎn)撥】求出三角形中，到三頂點(diǎn)距離都大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積，此面積除以三角形面積，即為所求概率.K4互斥大事有一個(gè)發(fā)生的概率K5相互對(duì)立大事同時(shí)發(fā)生的概率K6離散型隨機(jī)變量及其分布列【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖北省武漢華中師范高校第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】20．（本小題滿分12分）節(jié)日期間,高速大路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查,將他們?cè)谀扯胃咚俅舐返能囁?km/h)分成六段后得到如下圖所示的頻率分布直方圖.（Ⅰ）此調(diào)查公司在采樣中用到的是什么抽樣方法?（Ⅱ）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估量值.（Ⅲ）若從車速在的車輛中任抽取2輛,求抽出的2輛車中車速在的車輛數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【學(xué)問點(diǎn)】頻率分布直方圖，分布列與數(shù)學(xué)期望I2K6【答案】【解析】（Ⅰ）系統(tǒng)抽樣（Ⅱ）中位數(shù)的估量值為（Ⅲ）的分布列為均值.解析：（I）系統(tǒng)抽樣……2分（II）眾數(shù)的估量值為最高的矩形的中點(diǎn),即眾數(shù)的估量值等于，設(shè)圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車速為,則中位數(shù)的估量值為,解得即中位數(shù)的估量值為……6分（Ⅲ）從圖中可知，車速在的車輛數(shù)為（輛）.車速在的車輛數(shù)為（輛），的分布列為均值.……12分【思路點(diǎn)撥】（II）眾數(shù)的估量值為最高的矩形的中點(diǎn)（Ⅲ）由題意求出即可求得分布列與期望.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖北省八校高三第一次聯(lián)考（202212）】18．（本小題滿分12分）有一種密碼，明文是由三個(gè)字符組成，密碼是由明文對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字組成，編碼規(guī)章如下表：明文由表中每一排取一個(gè)字符組成，且第一排取的字符放在第一位，其次排取的字符放在其次位，第三排取的字符放在第三位，對(duì)應(yīng)的密碼由明文對(duì)應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組組成.第一排[]明文字符ABCD密碼字符11121314其次排明文字符EFGH密碼字符21222324第三排明文字符MNPQ密碼字符1234設(shè)隨機(jī)變量表示密碼中所含不同數(shù)字的個(gè)數(shù).（Ⅰ）求；（Ⅱ）求隨機(jī)變量的分布列和它的數(shù)學(xué)期望．【學(xué)問點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；等可能大事的概率．K1K6【答案】【解析】（Ⅰ）;（Ⅱ）解析：（I）密碼中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為2的大事為密碼中只有兩個(gè)數(shù)字，留意到密碼的第1，2列分別總1，2，即只能取表格第1，2列中的數(shù)字作為密碼.………4分（II）由題意可知，的取值為2，3，4三種情形.若，留意表格的第一排總含有數(shù)字1，其次排總含有數(shù)字2則密碼中只可能取數(shù)字1，2，3或1，2，4.若（或用求得）.……8分的分布列為：……12分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）密碼中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為2的大事為密碼中只有兩個(gè)數(shù)字，留意到密碼的第1，2列分別總是1，2，即只能取表格第1，2列中的數(shù)字作為密碼，由此可求P（ξ=2）；

（Ⅱ）取得ξ的取值，分別求出相應(yīng)的概率，即可得到ξ的概率分布列和它的數(shù)學(xué)期望．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省唐山一中高三上學(xué)期期中考試（202211）】18.（本題滿分12分）某市四所中學(xué)報(bào)名參與某高校今年自主招生的同學(xué)人數(shù)如下表所示：中學(xué)人數(shù)為了了解參與考試的同學(xué)的學(xué)習(xí)狀況，該高校接受分層抽樣的方法從報(bào)名參與考試的四所中學(xué)的同學(xué)當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參與問卷調(diào)查．（1）問四所中學(xué)各抽取多少名同學(xué)？（2）從參與問卷調(diào)查的名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，求這兩名同學(xué)來自同一所中學(xué)的概率；（3）在參與問卷調(diào)查的名同學(xué)中，從來自兩所中學(xué)的同學(xué)當(dāng)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，用表示抽得中學(xué)的同學(xué)人數(shù)，求的分布列．【學(xué)問點(diǎn)】隨機(jī)抽樣古典概型離散型隨機(jī)變量以及分布列I1K2K6【答案】（1）；(2)；(3).【解析】解析：（1）由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參與該高校今年自主招生的同學(xué)總?cè)藬?shù)為100名，抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為．∴應(yīng)從四所中學(xué)抽取的同學(xué)人數(shù)分別為．……………4分（2）設(shè)“從名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，這兩名同學(xué)來自同一所中學(xué)”為大事，從名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)的取法共有種，…5分來自同一所中學(xué)的取法共有．……………6分∴．答：從名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)來自同一所中學(xué)的概率為．…7分（3）由（1）知，名同學(xué)中，來自兩所中學(xué)的同學(xué)人數(shù)分別為．依題意得，的可能取值為，…………8分，，．……11分∴的分布列為：…12分【思路點(diǎn)撥】(1)由題意知抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為,由此能求出應(yīng)從A，B，C，D四所中學(xué)抽取的同學(xué)人數(shù)；（2）利用組合的意義分別計(jì)算出從參與問卷調(diào)查的50名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)的方法和這兩名同學(xué)來自同一所中學(xué)的取法，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；（3）由（1）知，在參與問卷調(diào)查的50名同學(xué)中，來自A，C兩所中學(xué)的同學(xué)人數(shù)分別為15，10．可得ξ的可能取值為0，1，2．利用超幾何分布的概率計(jì)算公式即可得到分布列，利用數(shù)學(xué)期望的概率計(jì)算公式即可得出．K7條件概率與大事的獨(dú)立性K8離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布【數(shù)學(xué)文卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期期中考試（202211）word版】6.甲、乙、丙、丁四人參與國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽選拔賽，四人的平均成果和方差如下表：甲乙丙丁平均成果89898685方差2.13.52.15.6從