【2022屆走向高考】高三數(shù)學一輪(人教B版)基礎鞏固：第3章-第1節(jié)-導數(shù)的概念及運算

第三章第一節(jié)一、選擇題1．(文)(2021·廣州執(zhí)行中學期中)設曲線y＝eq\f(x＋1,x－1)在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a等于()A．2 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－2[答案]D[解析]∵f′(x)＝eq\f(x－1－x＋1,x－12)＝－eq\f(2,x－12)，∴f′(3)＝－eq\f(1,2)，由條件知，－eq\f(1,2)×(－a)＝－1，∴a＝－2.(理)(2022·吉林長春期末)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2－x)＝2x2－7x＋6，則曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程是()A．y＝2x－1 B．y＝xC．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3[答案]C[解析]方法一：令x＝1得f(1)＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化簡整理得f(t)＝2t2－t，即f(x)＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，∴f′(1)＝3.∴所求切線方程為y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.方法二：令x＝1得f(1)＝1，由f(2－x)＝2x2－7x＋6，兩邊求導可得f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f′(1)＝－3，即f′(1)＝3.∴所求切線方程為y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.2．若函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的頂點在其次象限，則函數(shù)f′(x)的圖象是()[答案]C[解析]由題意可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)，\f(4c－b2,4)))在其次象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)<0，,\f(4c－b2,4)>0.))∴b>0，又f′(x)＝2x＋b，故選C.3．(文)(2021·濟南質檢)若函數(shù)f(x)＝excosx，則此函數(shù)圖象在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為()A．0 B．銳角C．直角 D．鈍角[答案]D[解析]由已知得：f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．∵eq\f(π,2)>1>eq\f(π,4)，而由正、余弦函數(shù)性質可得cos1<sin1.∴f′(1)<0.即f(x)在(1，f(1))處的切線的斜率k<0.∴切線的傾斜角是鈍角．(理)(2022·山東煙臺期末)若點P是函數(shù)y＝ex－e－x－3x(－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2))圖象上任意一點，且在點P處切線的傾斜角為鈍角α，則α的最小值是()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)[答案]B[解析]由導數(shù)的幾何意義，k＝y(tǒng)′＝ex＋e－x－3≥2eq\r(ex·e－x)－3＝－1，當且僅當x＝0時等號成立．即tanα≥－1，由于α∈(eq\f(π,2)，π)，所以α的最小值是eq\f(3π,4)，故選B.4．(2022·河南鄭州市質量檢測)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，則f′(e)＝()A．1 B．－1C．－e－1 D．－e[答案]C[解析]f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，∴f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，∴f′(e)＝－eq\f(1,e)，故選C.5．(文)(2022·河南商丘調研)等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，則f′(0)＝()A．0 B．26C．29 D．212[答案]D[解析]∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝2(理)(2021·?？谀M)下列曲線的全部切線構成的集合中，存在很多對相互垂直的切線的曲線是()A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx[答案]D[解析]對于f(x)＝ex，有f′(x)＝ex>0恒成立；對于f(x)＝x3，有f′(x)＝3x2≥0；對于f(x)＝lnx，∵x>0，∴f′(x)＝eq\f(1,x)>0.因此在f(x)＝ex，f(x)＝x3，f(x)＝lnx的曲線上，都不存在x1，x2使f′(x1)·f′(x2)＝－1，對于f(x)＝sinx，∵f′(x)＝cosx，若f′(x1)·f′(x2)＝－1，即cosx1cosx2＝－1，則只需x1＝2kπ，x2＝(2k＋1)π，k∈Z即可，故選D.6．(文)(2021·河北質檢)已知直線y＝kx是曲線y＝lnx的切線，則k的值是()A．e B．－eC.eq\f(1,e) D．－eq\f(1,e)[答案]C[解析]依題意，設直線y＝kx與曲線y＝lnx切于點(x0，kx0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx0＝lnx0，,k＝\f(1,x0).))由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝eq\f(1,e)，選C.(理)(2021·成都七中期中)若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，則a等于()A．－1或－eq\f(25,64) B．－1或－eq\f(3,8)C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64) D．－eq\f(7,4)或7[答案]A[解析]設過(1,0)的直線與y＝x3相切于點(x0，xeq\o\al(3,0))，所以切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0)，又(1,0)在切線上，則x0＝0或x0＝eq\f(3,2)，當x0＝0時，由y＝0與y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－eq\f(25,64)；當x0＝eq\f(3,2)時，由y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)與y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－1，所以選A.本題常犯的錯誤是，不對點(1,0)的位置作出推斷，直接由y＝x3，得出y′|x＝1＝3，再由y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9，得y′|x＝1＝2a＋eq\f(15,4)＝3求出a＝－eq\f(3,8)，錯選B.二、填空題7．(文)(2021·石家莊五校聯(lián)合體摸底)函數(shù)f(x)＝xex在點(1，f(1))處的切線的斜率是________．[答案]2e[解析]∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴f′(1)＝2e.(理)(2022·廣東廣州市調研)若直線y＝2x＋m是曲線y＝xlnx的切線，則實數(shù)m的值為________．[答案]－e[解析]設切點為(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，得切線的斜率k＝lnx0＋1，故切線方程為y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，與y＝2x＋m比較得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx0＋1＝2,－x0＝m))，解得x0＝e，故m＝－e.8．設θ為曲線y＝x3＋3x2＋ax＋2的切線的傾斜角，且全部θ組成的集合為[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，則實數(shù)a的值為________．[答案]4[解析]設切線的斜率為k，則k＝y(tǒng)′＝3x2＋6x＋a，又∵k＝tanθ，θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴k∈[1，＋∞)．又k＝3(x＋1)2＋a－3，∴當x＝－1時，k取最小值為a－3＝1.∴a＝4.9．(文)(2022·湖北武漢月考)已知曲線f(x)＝xn＋1(n∈N*)與直線x＝1交于點P，設曲線y＝f(x)在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2021的值為________．[答案]－1[解析]f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，點P(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，即xn＝eq\f(n,n＋1)，∴x1·x2·…·x2021＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(2022,2021)×eq\f(2021,2022)＝eq\f(1,2022)，則log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2021＝log2022(x1·x2·…·x2021)＝log2022eq\f(1,2022)＝－1.(理)(2022·湖南岳陽一模)設曲線y＝eq\r(x)上有一點P(x1，y1)，與曲線切于點P的切線為m，若直線n過P且與m垂直，則稱n為曲線在點P處的法線，設n交x軸于點Q，又作PR⊥x軸于R，則RQ的長為________．[答案]eq\f(1,2)[解析](數(shù)形結合法)令f(x)＝eq\r(x)，∴f′(x1)＝eq\f(1,2\r(x1))，∵n與m垂直，∴直線n的斜率為－2eq\r(x1)，∴直線n的方程為y－y1＝－2eq\r(x1)(x－x1)，由題意設點Q(xQ,0)，R(xR,0)．令y＝0，又y1＝eq\r(x1)，則－eq\r(x1)＝－2eq\r(x1)·(xQ－x1)，解得xQ＝eq\f(1,2)＋x1，由題意知，xR＝x1，∴|RQ|＝|xQ－xR|＝eq\f(1,2).三、解答題10．(文)(2022·高州月考)設函數(shù)y＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象與y軸交點為P，且曲線在P點處的切線方程為12x－y－4＝0.若函數(shù)在x＝2處取得極值0，試確定函數(shù)的解析式.[解析]∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象與y軸的交點為P(0，d)，又曲線在點P處的切線方程為y＝12x－4，P點坐標適合方程，從而d＝－4；又切線斜率k＝12，故在x＝0處的導數(shù)y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，從而c＝12；又函數(shù)在x＝2處取得極值0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y′|x＝2＝0，,f2＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12a＋4b＋12＝0，,8a＋4b＋20＝0.))解得a＝2，b＝－9，所以所求函數(shù)解析式為y＝2x3－9x2＋12x－4.(理)設函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(b,x)的圖象在點M(eq\r(3)，f(eq\r(3)))處的切線方程為2x－3y＋2eq\r(3)＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間；(3)證明曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．[解析](1)由于切點在切線上，所以將點M坐標代入切線方程解得f(eq\r(3))＝eq\f(4\r(3),3).∵f(x)＝ax＋eq\f(b,x)，∴f′(x)＝a－eq\f(b,x2)，依據題意，得關于a，b的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,3)＝\f(2,3)，,\r(3)a＋\f(b,\r(3))＝\f(4\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))所以f(x)的解析式為f(x)＝x＋eq\f(1,x).(2)由f′(x)＝1－eq\f(1,x2)(x≠0)，令f′(x)<0，解得－1<x<0或0<x<1.所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(－1,0)，(0,1)．(3)證明：設P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1－eq\f(1,x2)知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(1－eq\f(1,x\o\al(2,0)))(x－x0)，即y－(x0＋eq\f(1,x0))＝(1－eq\f(1,x\o\al(2,0)))(x－x0)．令x＝0，得y＝eq\f(2,x0)，從而得切線與直線x＝0的交點坐標為(0，eq\f(2,x0))．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)．所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,x0)))|2x0|＝2.一、選擇題11．(2022·寧夏育才中學月考)點P是曲線x2－y－lnx＝0上的任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為()A．1 B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D．eq\r(2)[答案]D[解析]將x2－y－lnx＝0變形為y＝x2－lnx(x>0)，則y′＝2x－eq\f(1,x)，令y′＝1，則x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍)，可知函數(shù)y＝x2－lnx的斜率為1的切線的切點橫坐標為x＝1，縱坐標為y＝1.故切線方程為x－y＝0.則點P到直線y＝x－2的最小距離即切線x－y＝0與y＝x－2兩平行線間的距離，d＝eq\f(|0＋2|,\r(2))＝eq\r(2).12．(文)(2022·吉林長春三調)已知函數(shù)f(x)＝x2的圖象在點A(x1，f(x1))與點B(x2，f(x2))處的切線相互垂直，并交于點P，則點P的坐標可能是()A．(－eq\f(3,2)，3) B．(0，－4)C．(2,3) D．(1，－eq\f(1,4))[答案]D[解析]由題意，A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))，f′(x)＝2x，則過A，B兩點的切線斜率k1＝2x1，k2＝2x2，又切線相互垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－eq\f(1,4).兩條切線方程分別為l1：y＝2x1x－xeq\o\al(2,1)，l2：y＝2x2x－xeq\o\al(2,2)，聯(lián)立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0，∵x1≠x2，∴x＝eq\f(x1＋x2,2)，代入l1，解得y＝x1x2＝－eq\f(1,4)，故選D.(理)(2021·遼寧省沈陽四校期中聯(lián)考)若函數(shù)y＝eq\f(x3,3)－x2＋1(0<x<2)的圖象上任意點處切線的傾斜角為α，則α的最小值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,6)C.eq\f(5π,6) D．eq\f(3π,4)[答案]D[解析]y′＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0<x<2，∴－1≤y′<0，由題意知－1≤tanα<0，∴eq\f(3π,4)≤α<π，故選D.13．二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點，且它的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，則函數(shù)y＝f(x)的圖象的頂點在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[答案]C[解析]由題意可設f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)圖象是過第一、二、三象限的一條直線，故2a>0，b>0，則f(x)＝a(x＋eq\f(b,2a))2－eq\f(b2,4a)，頂點(－eq\f(b,2a)，－eq\f(b2,4a))在第三象限，故選C.14．(2022·江西七校一聯(lián))設函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx的圖象在點(t，f(t))處切線的斜率為k，則函數(shù)k＝g(t)的部分圖象為()[答案]B[解析]∵f(x)＝xsinx＋cosx，∴f′(x)＝xcosx，∴k＝g(t)＝tcost.g(t)為奇函數(shù)且在t＝0鄰近，當t>0時，g(t)>0，故選B.二、填空題15．(文)(2022·河北邯鄲二模)曲線y＝log2x在點(1,0)處的切線與坐標軸所圍成三角形的面積等于________．[答案]eq\f(1,2)log2e[解析]∵y′＝eq\f(1,xln2)，∴k＝eq\f(1,ln2)，∴切線方程為y＝eq\f(1,ln2)(x－1)，∴三角形面積為S△＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,ln2)＝eq\f(1,2ln2)＝eq\f(1,2)log2e.(理)(2022·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，若曲線y＝ax2＋eq\f(b,x)(a，b為常數(shù))過點P(2，－5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是________．[答案]－3[解析]由曲線y＝ax2＋eq\f(b,x)過點P(2，－5)，得4a＋eq\f(b,2)＝－5.①又y′＝2ax－eq\f(b,x2)，所以當x＝2時，4a－eq\f(b,4)＝－eq\f(7,2)，②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))所以a＋b＝－3.16．(2021·寧波四中月考)給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在(0，eq\f(π,2))上不是凸函數(shù)的是________(把你認為正確的序號都填上)．①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.[答案]①②③[解析]對于①，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx＝－eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))<0在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上恒成立；②中，f′(x)＝eq\f(1,x)－2(x>0)，f″(x)＝－eq\f(1,x2)<0在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上恒小于0.故①②③為凸函數(shù)．④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)>0在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上恒成立，故④中函數(shù)不是凸函數(shù)．三、解答題17．(文)(2021·河北冀州中學檢測)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x.(1)求曲線y＝f(x)在點x＝2處的切線方程；(2)若過點A(1，m)(m≠－2)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．[解析](1)f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝9，f(2)＝23－3×2＝2，∴曲線y＝f(x)在x＝2處的切線方程為y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.(2)過點A(1，m)向曲線y＝f(x)作切線，設切點為(x0，y0)，則y0＝xeq\o\al(3,0)－3x0，k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，則切線方程為y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)．∵切線過點A(1，m)，于是得2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋m＋3＝0，(*)∵過點A(1，m)(m≠－2)可作曲線y＝f(x)的三條切線，∴方程(*)有三個不同實數(shù)根．記g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令g′(x)＝0，x＝0或1.則x，g′(x)，g(x)的變化狀況如下表：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)極大微小當x＝0時，g(x)有極大值m＋3；當x＝1時，g(x)有微小值m＋2.由g(x)的簡圖知，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g0>0，,g1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m＋2<0，))－3<m<－2時，函數(shù)g(x)有三個不同零點，過點A可作三條不同切線．所以所求m的范圍是(－3，－2)．(理)(2021·大連二十中期中)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求證：對于區(qū)間[－1,1]上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；(3)若過點A(1，m)(m≠－2)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．[解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b－3＝0，,3a－2b－3＝0，))解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x.(2)∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當－1<x<1時，f′(x)<0，故f(x)在區(qū)間[－1,1]上為減函數(shù)，fmax(x)＝f(－1)＝2，fmin(x)＝f(1)＝－2.∵對于區(qū)間[－1,1]上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|＝2－(－2)＝4.(3)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1),∵曲線方程為y＝x3－3x，m≠－2，∴點A(1，m)不在曲線上．設切點為M(x0，y0)，則點M的坐標滿足y0＝xeq\o\al(3,0)－3x0.由于f′(x0)＝3(xeq\o\al(2,0)－1)，故切線的斜率為3(xeq\o\al(2,0)－1)＝eq\f(x\o\al(3,0)－3x0－m,x0－1)，整理得2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋m＋3＝0，(*)∵過點A(1，m)可作曲線的三條切線，∴方程(*)有三個不同的實數(shù)解．記g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令g′(x)＝0，x＝0或1.則x，g′(x)，g(x)的