2021高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題輔導(dǎo)與訓(xùn)練配套練習(xí)：課時(shí)沖關(guān)練(十五)-6.3定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題

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D.3【解析】選A.設(shè)直線4x+3y+m=0與y=-x2相切,則聯(lián)立兩方程知3x2-4x-m=0.令Δ=0,有m=-QUOTE.所以兩直線間距離為=QUOTE=QUOTE.故選A.5.已知點(diǎn)A(2,1),拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F,若拋物線上存在一點(diǎn)P,使得|PA|+|PF|最小,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(2,1) B.(1,1) C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,作PP'垂直于準(zhǔn)線x=-1,由拋物線的定義知|PF|=|PP'|,如圖,|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,P'三點(diǎn)共線,即P在P0位置時(shí),|PA|+|PF|最小,此時(shí),P0縱坐標(biāo)為1,所以有1=4x0,所以x0=QUOTE,得P0QUOTE.【方法技巧】與曲線上點(diǎn)有關(guān)的距離(或距離和、差等)的最值的求解技巧求解與曲線上點(diǎn)有關(guān)的距離的最值問(wèn)題,一般不易構(gòu)建函數(shù)求解時(shí),常利用待求距離的幾何意義,充分結(jié)合圓錐曲線的定義及平面圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線,兩點(diǎn)間距離求解.6.若實(shí)數(shù)a,b滿足條件a2+b2-2a-4b+1=0,則代數(shù)式QUOTE的最大值為()A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.不存在【解析】選C.方程a2+b2-2a-4b+1=0可化為(a-1)2+(b-2)2=4,則QUOTE可看作圓(a-1)2+(b-2)2=4上的點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)(-2,0)的連線的斜率,設(shè)QUOTE=k,則過(guò)點(diǎn)(-2,0),斜率為k的直線方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0,當(dāng)直線與圓相切時(shí),QUOTE取最值,由QUOTE=2得5k2-12k=0,所以k=0或k=QUOTE.所以QUOTE的最大值為QUOTE.7.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(x,y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),又點(diǎn)A(-1,0),則QUOTE的最小值是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.依題意知x≥0,則焦點(diǎn)F(1,0),|PF|=x+1,|PA|=QUOTE=QUOTE,當(dāng)x=0時(shí),QUOTE=1;當(dāng)x>0時(shí),1<QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)).因此當(dāng)x≥0時(shí),1≤QUOTE≤QUOTE,QUOTE≤QUOTE≤1,QUOTE的最小值是QUOTE.【加固訓(xùn)練】如圖,已知點(diǎn)B是橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的短軸位于x軸下方的端點(diǎn),過(guò)B作斜率為1的直線交橢圓于點(diǎn)M,點(diǎn)P在y軸上,且PM∥x軸,QUOTE·QUOTE=9,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,t),則t的取值范圍是()A.0<t<3 B.0<t≤3C.0<t<QUOTE D.0<t≤QUOTE【解析】由于P(0,t),B(0,-b),所以M(t+b,t).所以QUOTE=(0,t+b),QUOTE=(t+b,t+b).由于QUOTE·QUOTE=9,所以(t+b)2=9,t+b=3.由于0<t<b,所以0<t<3-t.所以0<t<QUOTE,故選C.8.經(jīng)過(guò)橢圓QUOTE+QUOTE=1的右焦點(diǎn)任意作弦AB,過(guò)A作直線x=4的垂線AM,垂足為M,則直線BM必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)()A.(2,0) B.QUOTEC.(3,0) D.QUOTE【解題提示】可過(guò)右焦點(diǎn)作垂直于x軸的弦,進(jìn)行探究定點(diǎn).【解析】選B.依題意,選取過(guò)橢圓QUOTE+QUOTE=1的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦AB,則A,B的坐標(biāo)分別為QUOTE,QUOTE,所以過(guò)點(diǎn)A作直線x=4的垂線,垂足為MQUOTE,所以直線BM的方程為y=x-QUOTE,由于所給選項(xiàng)均為x軸上的點(diǎn),而直線BM與x軸的交點(diǎn)為QUOTE,故選B.二、填空題(每小題4分,共16分)9.(2022·濟(jì)南模擬)若雙曲線QUOTE-QUOTE=1漸近線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P總在平面區(qū)域(x-m)2+y2≥16內(nèi),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【解析】問(wèn)題等價(jià)于已知雙曲線的漸近線4x±3y=0與圓相離或者相切,故實(shí)數(shù)m滿足QUOTE≥4,即m≥5或者m≤-5.答案:(-∞,-5]∪[5,+∞)10.P為雙曲線x2-QUOTE=1右支上一點(diǎn),M,N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|-|PN|的最大值為.【解題提示】?jī)蓤A的圓心恰好是雙曲線的焦點(diǎn).【解析】已知兩圓圓心(-4,0)和(4,0)(記為F1和F2)恰為雙曲線x2-QUOTE=1的兩焦點(diǎn).當(dāng)|PM|最大,|PN|最小時(shí),|PM|-|PN|最大,|PM|最大值為P到圓心F1的距離|PF1|與圓F1半徑之和,同樣|PN|最小=|PF2|-1,從而|PM|-|PN|=|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5.答案:511.(2022·湖南高考)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)FQUOTE的距離和到直線x=-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過(guò)點(diǎn)PQUOTE且斜率為k的直線,則k的取值范圍是.【解題提示】依據(jù)拋物線的定義和直線與圓錐曲線的關(guān)系求解.【解析】把機(jī)器人看成一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則依據(jù)拋物線定義知道它的軌跡為拋物線,其方程為y2=4x,過(guò)點(diǎn)PQUOTE且斜率為k的直線方程為y=kQUOTE,兩個(gè)方程聯(lián)立QUOTE消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由題意Δ=QUOTE-4k4<0,k2>1,所以k∈(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)12.設(shè)拋物線C:y2=4x,F為C的焦點(diǎn),過(guò)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),則QUOTE·QUOTE的值為.【解析】設(shè)直線l的方程為x=ky+1,由QUOTE得y2-4ky-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以QUOTE·QUOTE=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3.答案:-3三、解答題(13～14題每題10分,15～16題每題12分,共44分)13.如圖,橢圓C0:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0,a,b為常數(shù)),動(dòng)圓C1:x2+y2=QUOTE,b<t1<a.點(diǎn)A1,A2分別為C0的左,右頂點(diǎn),C1與C0相交于A,B,C,D四點(diǎn).(1)求直線AA1與直線A2B的交點(diǎn)M的軌跡方程.(2)設(shè)動(dòng)圓C2:x2+y2=QUOTE與C0相交于A',B',C',D'四點(diǎn),其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等,證明:QUOTE+QUOTE為定值.【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),則直線A1A的方程為y=QUOTE(x+a),①直線A2B的方程為y=QUOTE(x-a).②由①×②得y2=QUOTE(x2-a2).③由點(diǎn)A(x1,y1)在橢圓C0上,得QUOTE+QUOTE=1.從而QUOTE=b21-QUOTE,代入③得QUOTE-QUOTE=1又因A1A與A2B的交點(diǎn)在第三象限,所以x<-a,y<0,所以軌跡方程為QUOTE-QUOTE=1(x<-a,y<0).(2)設(shè)A'(x2,y2),由矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等,得4|x1||y1|=4|x2||y2|,故QUOTE=QUOTE.由于點(diǎn)A,A'均在橢圓上,所以b2QUOTE（1-QUOTE）=b2QUOTE（1-QUOTE）.由t1≠t2,知x1≠x2,所以QUOTE+QUOTE=a2.從而QUOTE+QUOTE=b2,因此QUOTE+QUOTE=a2+b2為定值.【誤區(qū)警示】留意軌跡方程檢驗(yàn)在求解軌跡方程時(shí),得到方程后,要留意檢驗(yàn),避開(kāi)產(chǎn)生增解或漏解,如本題x<-a,y<0.【加固訓(xùn)練】如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3),且中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的離心率為QUOTE.(1)求橢圓M的方程.(2)若橢圓M的弦PA,PB所在直線分別交x軸于點(diǎn)C,D,且|PC|=|PD|,求證:直線AB的斜率為定值.【解析】(1)設(shè)橢圓M的方程為QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),則QUOTE+QUOTE=1,且e2=QUOTE=QUOTE,解得a2=16,b2=12.故橢圓M的方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)由題意知,直線PA的斜率必存在,故設(shè)直線PA的方程為y=k(x-2)+3,A(xA,yA),B(xB,yB),由|PC|=|PD|可知,直線PB的方程為y=-k(x-2)+3.由方程組QUOTE可得(4k2+3)x2-8k(2k-3)x+4(2k-3)2-48=0.①又方程①有一實(shí)根為2,故另一實(shí)根為QUOTE=QUOTE=QUOTE,故xA=QUOTE.同理,xB=QUOTE.所以xA+xB=QUOTE,xA+xB-4=-QUOTE,xA-xB=QUOTE.所以直線AB的斜率kAB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即直線AB的斜率為定值.14.(2022·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:QUOTE+QUOTE=1QUOTE的離心率為QUOTE,直線y=x被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為QUOTE.(1)求橢圓C的方程.(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是橢圓C的頂點(diǎn)),點(diǎn)D在橢圓C上,且AD⊥AB,直線BD與x軸,y軸分別交于M,N兩點(diǎn).①設(shè)直線BD,AM的斜率分別為k1,k2.證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2,并求出λ的值.②求△OMN面積的最大值.【解析】(1)由于e=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以a2=4b2.設(shè)直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn).不妨設(shè)P點(diǎn)為直線和橢圓在第一象限的交點(diǎn).又由于弦長(zhǎng)為QUOTE,所以PQUOTE,所以QUOTE+QUOTE=1,聯(lián)立解得a2=4,b2=1,所以橢圓方程為QUOTE+y2=1.(2)①設(shè)AQUOTE,DQUOTE,則BQUOTE,由于直線AB的斜率kAB=QUOTE,又AB⊥AD,所以直線AD的斜率k=-QUOTE,設(shè)直線AD的方程為y=kx+m,由題意知k≠0,m≠0.由QUOTE可得QUOTEx2+8mkx+4m2-4=0.所以x1+x2=-QUOTE,因此y1+y2=kQUOTE+2m=QUOTE.由題意知x1≠-x2,所以k1=QUOTE=-QUOTE=QUOTE,所以直線BD的方程為y+y1=QUOTE.令y=0,得x=3x1,即MQUOTE,可得k2=-QUOTE,所以k1=-QUOTEk2,即λ=-QUOTE.因此存在常數(shù)λ=-QUOTE使得結(jié)論成立.②直線BD的方程為y+y1=QUOTE.令x=0得y=-QUOTEy1,即NQUOTE,由①知MQUOTE,可得△OMN的面積S=QUOTE×3QUOTE×QUOTE=QUOTE.由于QUOTE·QUOTE≤QUOTE+QUOTE=1,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE=QUOTE時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)S取得最大值QUOTE,所以△OMN的面積為最大值QUOTE.15.(2022·溫州模擬)已知橢圓C1:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為e=QUOTE,且過(guò)點(diǎn)QUOTE,拋物線C2:x2=-2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE.(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程.(2)若點(diǎn)M是直線l:2x-4y+3=0上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作拋物線C2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB交橢圓C1于P,Q兩點(diǎn).①求證直線AB過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).②當(dāng)△OPQ的面積取最大值時(shí),求直線AB的方程.【解析】(1)由于橢圓C1中,e=QUOTE,則設(shè)其方程為QUOTE+y2=λ>0,由于點(diǎn)QUOTE在橢圓上,故代入得λ=1.故橢圓C1的方程為QUOTE+y2=1.對(duì)拋物線C2中,QUOTE=QUOTE,故p=1,從而橢圓C1的方程為QUOTE+y2=1,拋物線C2的方程為x2=-2y.(2)①設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),且滿足2x0-4y0+3=0,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則切線MA的斜率為-x1,從而MA的方程為y=-x1(x-x1)+y1,考慮到y(tǒng)1=-QUOTE,則切線MA的方程為x1x+y+y1=0,同理切線MB的方程為x2x+y+y2=0,由于切線MA,MB同過(guò)點(diǎn)M,從而有QUOTE由此點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在直線x0x+y+y0=0上,又點(diǎn)M在直線2x-4y+3=0上,則2x0-4y0+3=0,故直線AB的方程為(4y0-3)x+2y+2y0=0,即y0(4x+2)+(2y-3x)=0,明顯直線AB過(guò)定點(diǎn)QUOTE.②設(shè)P(x3,y3),Q(x4,y4),考慮到直線AB的方程為x0x+y+y0=0,則聯(lián)立方程QUOTE消去y并簡(jiǎn)化得(1+4QUOTE)x2+8x0y0x+4QUOTE-4=0,從而Δ=16(4QUOTE-QUOTE+1)>0,x3+x4=-QUOTE,x3x4=QUOTE,從而|PQ|=QUOTE|x3-x4|=QUOTE·QUOTE=QUOTE,點(diǎn)O到PQ的距離d=QUOTE,從而S△OPQ=QUOTE·|PQ|·d=QUOTE·QUOTE·QUOTE=2QUOTE≤QUOTE=1,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=4QUOTE-QUOTE+1,即QUOTE=2QUOTE+QUOTE,又由于2x0-4y0+3=0.從而消去x0得2QUOTE=(4y0-3)2+1,即7QUOTE-12y0+5=0,從而求得y0=1或y0=QUOTE,從而QUOTE或QUOTE從而所求的直線為x+2y+2=0或x-14y-10=0.16.(2022·北京模擬)已知橢圓G的離心率為QUOTE,短軸端點(diǎn)分別為A(0,1),B(0,-1).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若C,D是橢圓G上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線BC與x軸交于點(diǎn)M,推斷以線段MD為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)A,并說(shuō)明理由.【解析】(1)由已知可設(shè)橢圓G的方程為:QUOTE+y2=1(a>1),由e=QUOTE,可得e2=QUOTE=QUOTE,解得a2=2,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為QUOTE+y2=1.(2)方法一:設(shè)C(x0,y0),則D(-x0,y0),x0≠0,由于A(0,1),B(0,-1),所以直線BC的方程為y=QUOTEx-1,令y=0,得xM=QUOTE,所以MQUOTE,0.所以QUOTE=QUOTE,-1,QUOTE=(-x0,y0-1),所以QUOTE·QUOTE=QUOTE-y0+1,又由于QUOTE+QUOTE=1,代入得QUOTE·QUOTE=QUOTE+1-y0=y0-1,由于-1<y0<1,所以QUOTE·QUOTE≠0.所以∠MAD≠90°,所以點(diǎn)A不在以線段MD為直徑的圓上.方法二:設(shè)直線BC的方程為y=kx-1,則MQUOTE,0.由QUOTE化簡(jiǎn)得到x2+2(kx-1)2-2=0,所以(1+2k2)x2-4kx=0,所以x1=0,x2=QUOTE,所以y2=kx2-1=kQUOTE-1=QUOTE,所以CQUOTE,QUOTE,所以DQUOTE,QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,-1,QUOTE=QUOTE,QUOTE-1,所以QUOTE·QUOTE=QUOTE-QUOTE+1=QUOTE≠0,所以∠MAD≠90°,所以點(diǎn)A不在以線段MD為直徑的圓上.【加固訓(xùn)練】(2022·益陽(yáng)模擬)已知橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的右焦