【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2導(dǎo)學(xué)案：《函數(shù)的極值》

第2課時(shí)函數(shù)的極值1.了解函數(shù)極值的概念,會(huì)從幾何直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,并會(huì)機(jī)敏應(yīng)用.2.把握函數(shù)極值的判定及求法.3.應(yīng)用極值解決求參數(shù)值、參數(shù)取值范圍、推斷方程的根的個(gè)數(shù)等問題.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間(a,b),導(dǎo)數(shù)f'(x)在(a,b)內(nèi)的圖像如圖所示,用極值的定義你能推斷函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的微小值點(diǎn)有幾個(gè)嗎?問題1:推斷函數(shù)y=f(x)的極值的一般方法解方程f'(x)=0.當(dāng)f'(x0)=0時(shí):(1)假如在x0四周的左側(cè)f'(x0)>0,右側(cè)f'(x0)<0,那么f(x0)是;

(2)假如在x0四周的左側(cè)f'(x0)<0,右側(cè)f'(x0)>0,那么f(x0)是.

問題2:用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法和步驟假如y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),則可以這樣求它的極值.第一步,求導(dǎo)數(shù)f'(x).其次步,求方程的根x=x0.

第三步,推斷x=x0是不是函數(shù)的極值點(diǎn),若是,則求f(x0)的值,即為,若不是,則.

問題3:函數(shù)的極值有助于分析函數(shù)的最值與值域嗎?與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系呢?函數(shù)的極值有助于分析函數(shù)的最值或值域,其實(shí)質(zhì)就是函數(shù)單調(diào)性的升華.1.已知f'(x0)=0,則下列結(jié)論中正確的是().A.x0肯定是極值點(diǎn)B.假如在x0四周的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是極大值C.假如在x0四周的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是微小值D.假如在x0四周的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是極大值2.函數(shù)y=ax3+bx2取得極大值和微小值時(shí)的x的值分別為0和13,則()A.a-2b=0 B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=03.若函數(shù)y=-x3+6x2+m的極大值為13,則實(shí)數(shù)m=.

4.若y=x3+kx在R上無極值,求k的取值范圍.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5的極值與極值點(diǎn).利用函數(shù)極值確定參數(shù)的值已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1時(shí)有極值0,求常數(shù)a,b的值.含有參數(shù)的函數(shù)極值的方法與爭(zhēng)辯已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn),求m的取值范圍.求函數(shù)f(x)=3x+3lnx的極值與極值點(diǎn)設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)試確定常數(shù)a和b的值;(2)推斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是微小值點(diǎn),并說明理由.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x+5,x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若關(guān)于x的方程f(x)=a有三個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1.函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x(-2<x<2)有().A.極大值5,微小值-27 B.極大值5,微小值-11C.極大值5,無微小值 D.微小值-27,無極大值2.函數(shù)y=x3-3bx+3b在(0,1)內(nèi)有微小值,則b的取值范圍是().A.0<b<1 B.b<1 C.b<0或b>1 D.b>03.若函數(shù)y=f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),則“f'(x0)=0”是“x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)”的條件.

4.已知f(x)=x3+12mx2-2m2x-4(m為常數(shù),且m>0)有極大值-52,求m(2022年·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍是().A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)考題變式(我來改編):答案第2課時(shí)函數(shù)的極值學(xué)問體系梳理問題1:(1)極大值(2)微小值問題2:f'(x)=0極值無極值基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.B直接依據(jù)極值概念推斷,也可畫出圖像進(jìn)行分析.2.Dy'=3ax2+2bx,據(jù)題意,0、13是方程3ax2+2bx=0的兩根,∴-2b3a=13,3.-19y'=-3x2+12x,由y'=0,得x=0或x=4,簡(jiǎn)潔得出當(dāng)x=4時(shí)函數(shù)取得極大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19.4.解:y'=3x2+k,∵y=x3+kx在R上無極值,∴y'≥0恒成立,∴k∈[0,+∞).重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】f'(x)=3x2-6x-9.解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化狀況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗10↘-22↗由表可知:當(dāng)x=-1時(shí),f(x)有極大值f(-1)=10,x=-1是極大值點(diǎn);當(dāng)x=3時(shí),f(x)有微小值f(3)=-22,x=3是微小值點(diǎn).【小結(jié)】求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f'(x);(2)求方程f'(x)=0的根;(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小開區(qū)間,并列成表格.檢測(cè)f'(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號(hào),假如左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;假如左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得微小值;假如左右不轉(zhuǎn)變符號(hào),那么f(x)在這個(gè)根處無極值.探究二:【解析】由于f(x)在x=-1時(shí)有極值0,且f'(x)=3x2+6ax+b,所以f'(-1解得a=1,當(dāng)a=1,b=3時(shí),f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,所以f(x)在R上為增函數(shù),無極值,故舍去.當(dāng)a=2,b=9時(shí),f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).當(dāng)x∈(-3,-1)時(shí),f(x)為減函數(shù);當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),f(x)為增函數(shù),所以f(x)在x=-1時(shí)取得微小值,因此a=2,b=9.【小結(jié)】(1)利用函數(shù)的極值確定參數(shù)的值,常依據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解.(2)由于“導(dǎo)數(shù)值等于零”不是“此點(diǎn)為極值點(diǎn)”的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后,必需驗(yàn)證根的合理性.探究三:【解析】(1)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a).當(dāng)a<0時(shí),對(duì)x∈R,有f'(x)>0,∴當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞);當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)>0解得x<-a或x>a,由f'(x)<0解得-a<x<a,∴當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-a),(a,+∞),f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-a,a).(2)∵f(x)在x=-1處取得極值,∴f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.∴f(x)=x3-3x-1,f'(x)=3x2-3.由f'(x)=0解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1,在x=1處取得微小值f(1)=-3.∵直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn),又f(-3)=-19<-3,f(3)=17>1,結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知m的取值范圍是(-3,1).【小結(jié)】(1)求解不等式時(shí),要對(duì)字母a進(jìn)行爭(zhēng)辯;(2)將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極大值和微小值,再利用數(shù)形結(jié)合的思想方法,就可求出m的范圍.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:函數(shù)f(x)=3x+3lnx的定義域?yàn)?0,+∞f'(x)=-3x2+3x=3(x-1)x2.令f'當(dāng)x變化時(shí),f'(x)與f(x)的變化狀況如下表:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘3↗因此當(dāng)x=1時(shí),f(x)有微小值f(1)=3,x=1是微小值點(diǎn).應(yīng)用二:(1)∵f(x)=alnx+bx2+x,∴f'(x)=ax+2bx+1由極值點(diǎn)的必要條件可知f'(1)=f'(2)=0,∴a解方程組,得a=-23,b=-1(2)由(1)可知f(x)=-23lnx-16xf'(x)=-23x-1-13x+1=-當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f'(x)<0,所以x=1是函數(shù)f(x)的微小值點(diǎn),x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).應(yīng)用三:(1)f'(x)=3x2-6,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2.由于當(dāng)x>2或x<-2時(shí),f'(x)>0;當(dāng)-2<x<2時(shí),f'(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2)和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,2).當(dāng)x=-2時(shí),f(x)有極大值5+42;當(dāng)x=2時(shí),f(x)有微小值5-42.(2)由(1)的分析知y=f(x)的圖像的大致外形及走向如圖所示.所以,當(dāng)5-42<a<5+42時(shí),直線y=a與y=f(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn),即方程f(x)=a有三個(gè)不同的實(shí)根.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.C令f'(x)=3x2-6x-9=0得x=3或x=-1,函數(shù)在(-2,-1)上遞增,在(-1,2)上遞減,故極大值為f(-1)=5,無微小值.2.Ay'=3x2-3b,結(jié)合圖像可知f'(0)<03.必要不充分f'(x0)=0不肯定能得出x0為極值點(diǎn).如f(x)=x3,f'(0)=0,但0不是極值點(diǎn),若x0為y=f(x)的極值點(diǎn),肯定能得出f'(x0)=0.4.解:f'(x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m),令f'(x)=0,得x=-m或x=23當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化狀況如下表:x(-∞,-m)-m(-m,23m23(23m,-∞f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘微小值↗∴f(x)極大值=f(-m)=-m3+12m3+2m3-4=-5∴m=1.全新視角拓展B當(dāng)a=0時(shí),明顯不滿足條