中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的相似》專項檢測卷含答案

第第頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的相似》專項檢測卷含答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一．解答題（共30小題）1．如圖所示在舉行ABCD中，AB＝4，BC＝8，動點M以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿AB向點B運動，同時動點N以2cm/s的速度從點D出發(fā)，沿DA向點A運動，設(shè)運動時間為ts（0＜t＜4）．（1）當(dāng)t為何值時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的18（2）是否存在某一時刻t，使得以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在請說明理由．2．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，動點P從點C出發(fā)，沿CA方向運動，速度是2cm/s，動點Q從點B出發(fā)，沿BC方向運動，速度是1cm/s．（1）幾秒后△PCQ與△ABC相似？（2）設(shè)△CPQ的面積為S1，△ABC的面積為S2；在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S1：S2＝2：5？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．3．綜合與探究如圖，已知矩形OABC，以點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，4），點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，設(shè)運動時間為t秒．（1）求證：△BCP∽△BAE；（2）當(dāng)t＝5時，求點E的坐標(biāo)；（3）在運動的過程中，是否存在以P，O，E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（1，0），點B在y軸正半軸，點C在x軸的負(fù)半軸上，且滿足(OB?3（1）求點B，C的坐標(biāo)；（2）若點P在y軸上從點B出發(fā)，沿射線BO運動，連接CP（不含CB），是否存在點P，使得以點C，O，P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由．6．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AC⊥BC，DC＝9cm，AD＝12cm．點P從A點出發(fā)，沿AB向點B勻速運動，同時點Q從B點出發(fā)，沿BC向點C勻速運動，運動速度均為5cm/s，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，兩點都停止運動．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜4）．（1）求線段AB的長度；（2）t為何值時，以B、P、Q為頂點的三角形與△ADC相似？（3）是否存在某一時刻t，使得四邊形DPQC的面積等于144cm2？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．（4）是否存在某一時刻t，使DP⊥PQ？若存在，直接寫出此時t的值；若不存在，說明理由．7．如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿著CA以每秒3cm的速度向A點運動，設(shè)運動時間為x秒．（1）x為何值時，PQ∥BC；（2）是否存在某一時刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由．8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分別是AC、AB的中點，連接DE．點P從點D出發(fā)，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當(dāng)點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設(shè)運動時間為t（0＜t＜4）s．解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似？（2）當(dāng)t為何值時，△EPQ為等腰三角形？（直接寫出答案即可）；（3）當(dāng)點Q在B、E之間運動時，是否存在某一時刻t，使得PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為S△PQE：S五邊形PQBCD＝1：29？若存在，求出此時t的值以及點E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由．9．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為A（﹣4，0），B（0，3）．（1）求AB的長；（2）過點B作BC⊥AB，交軸于點C，求點C的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果P、Q分別是AB和AC上的動點，連接PQ，設(shè)AP＝CQ＝x，問是否存在這樣的使得△APQ與△ABC相似？若存在，請求出的x值；若不存在，請說明理由．10．如圖（1），在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC＝AB+2．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）小宇為了研究圖（1）中線段之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)．①建立模型：請求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出自變量x的取值范圍；②畫出圖象：請在如圖（2）所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出①中該函數(shù)的圖象；③歸納性質(zhì)：請寫出①中該函數(shù)的一條性質(zhì)：．（3）問邊AB與邊AD的和是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．11．如圖，已知矩形OABC，以點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，3），點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，連接PE交AB于點F，設(shè)運動時間為t秒．（1）若AB平分∠EBP時，求t的值；（2）求AE的長（用含t的代數(shù)式表示）；（3）在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．12．【問題情境】（1）古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中提出了射影定理，又稱“歐幾里得定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．其符號語言是：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，則：①CD2＝AD?BD，②AC2＝AB?AD，③BC2＝AB?BD；請你證明定理中的結(jié)論③BC2＝AB?BD．【結(jié)論運用】（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．①求證：△BOF∽△BED；②若BE=210，求OF（3）如圖3，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E是CD上一動點，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，取BF的中點G，連接OG，當(dāng)點E在CD上運動時，OG是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值．若不存在，請說明理由．13．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝12cm，BD＝16cm，在Rt△QEF中，∠QEF＝90°，邊QE和BO重合，邊EF和OC重合．如圖②，△QEF從圖①所示位置出發(fā)，沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，動點P從點D出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為2cm/s．連接AQ，PE．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，△AOQ為等腰三角形？（2）當(dāng)PE∥AQ時，求t的值；（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使△DPE與△EFQ相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．14．如圖，已知四邊形OABC是矩形，以點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，3），點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，連接PE交射線BA于點F，設(shè)運動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝2時，∠ABE＝∠CBP＝°，AE＝；（2）當(dāng)S△AFES△OPE（3）在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5a，BC＝6a，點D，E分別在BC、AC上，且∠ADE＝∠B．（1）求證：BD?CD＝AC?CE；（2）若CD＝2BD，求AD的長；（3）探究：AE長是否存在最小值，若存在，請求出該最小值；若不存在，請說明理由．16．問題提出（1）如圖1，四邊形ABCD為矩形，點E為邊BC上的一點，連接AE，過E作EF⊥AE交邊CD于點F，若AB＝4，EC＝3，則BECF的值為問題探究（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝6，AD=53，Rt△AEF的直角頂點E在邊BC上，頂點F在邊CD上，若cos∠EAF=32問題解決（3）如圖3，是四邊形ABCD是某科技園示意圖，其中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝200m，AB＝400m，BC＝500m，點F是大門，CF＝300m，現(xiàn)需要在邊BC上安裝一個監(jiān)控E，對道路AD、DF進行全天監(jiān)控，監(jiān)控E的角度為∠AEF，且tan∠AEF=43，監(jiān)控E是否存在符合要求的安裝位置，若存在，請求出17．如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15cm，BC＝20cm．BD⊥AC，垂足為D．點P從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；點Q同時從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動，速度為2cm/s．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜10），連接PB，PQ．解答下列問題：（1）求AD的長度；（2）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點C在線段PQ的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使△PBQ的面積與△ABC的面積之比是2：25？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．（4）如圖②，點B'是點B關(guān)于AC的對稱點，連接B'P，當(dāng)t為何值時，∠B'PD+∠DPQ＝180°？18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、點B，直線CD與x軸、y軸分別交于點C、點D，AB與CD相交于點E，線段OA、OC的長是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的兩根（OA＞OC），BE＝5，OB=43（1）求點A、點C的坐標(biāo)；（2）在x軸上是否存在點P，使點C、點E、點P為頂點的三角形與△DCO相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；如不存在，請說明理由．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（20，0）和（0，15），動點P從點A出發(fā)，在線段AO上以每秒2個單位長度的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動（即EF∥x軸），分別與y軸、線段AB交于點E、F，連接EP、FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，移動時間為t秒．（1）求t＝9時，求線段EF的長；（2）移動過程中，是否存在這樣的t值使得△PEF的面積等于40？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）移動過程中，是否存在t值使得以點E、O、P為頂點的三角形與△BOA相似？若存在，請求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段CD向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段AC向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停止，設(shè)運動時間為t秒．（1）求線段CD的長；（2）當(dāng)t為何值時，C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？（3）是否存在某一時刻t，使得△CPQ為等腰三角形？若存在，求出滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C（﹣4，0），點A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，線段OA、OB的長度都是方程x2﹣3x+2＝0的解，且OB＞OA．若點P從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連結(jié)AP．（1）如圖1，判斷三角形ABC的形狀，并說明理由；（2）在點P運動過程中，利用圖1及備用圖1探究，當(dāng)△AOP周長最短時，求點P運動的時間；（3）在點P的運動過程中，利用備用圖2探究，是否存在點P，使以點A，B，P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以2cm/s的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以3cm/s的速度向點B勻速運動，設(shè)運動時間為ts（0≤t≤5），連接MN（1）發(fā)現(xiàn)：BM＝cm，BN＝cm（用含t的式子來表示）（2）猜想：若BM＝BN，則t的值為；（3）探究：是否存在符合條件的t，使△BMN與△ABC相似？若存在，求出t的值：若不存在，請說明理由．23．如圖1，已知四邊形OABC是矩形，以點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（4，0），C（0，6），點E以每1個單位的速度從點A出發(fā)沿x軸正方向運動，連接BE，作BP⊥BE交y軸于點P，連接PE交射線BA于點F，設(shè)運動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝6時，AE＝，CP＝；（2）當(dāng)點P在原點上方，且S△AFES△OPE=4（3）在運動的過程中，是否存在以P，O，E為頂點的三角形與△PBC相似．若存在，請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．24．如圖，已知矩形OABC，以點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，3），點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，連接PE交AB于點F，設(shè)運動時間為t秒．（1）若AB平分∠EBP，求t的值；（2）當(dāng)t＝1時，求點E的坐標(biāo)；（3）在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．25．如圖1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，有兩動點P、Q分別在邊AB、BC上運動，點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，它們分別從點A和點B同時出發(fā)，點P沿線段AB按A→B方向向終點B運動，點Q沿線段BC按B→C方向向終點C運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒，請解答下列問題：（1）如圖1，當(dāng)t為何值時，PQ∥AC；（2）當(dāng)t為何值時，以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似；（3）點P、Q在運動過程中，是否存在這樣的t，使得△PCQ的面積等于4？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．26．如圖，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中點，F(xiàn)是邊BC上的動點（F不與B，C重合），EF與BD相交于點M．（1）求證：△EDM∽△FBM；（2）若F是BC的中點，BD＝18，求BM的長；（3）若AD＝BC，BD平分∠ABC，點P是線段BD上的動點，是否存在點P使DP?BP＝BF?CD，若存在，求出∠CPF的度數(shù)；若不存在，請說明理由．27．【問題背景】如圖，正方形ABCD的邊長為8，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過點P作PF⊥AE于點F，連接PE．【初步探究】（1）求證：△PFA∽△ABE；（2）若點P在AD邊上運動，且S五邊形PDCEF＝44，求△PFA與△ABE的相似比；【拓展提升】（3）當(dāng)點P在射線AD上運動時，設(shè)PA＝x，是否存在實數(shù)x，使得以點P、F、E為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．28．如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD＝6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E為x軸上的點，且S△AOE=163，求點E的坐標(biāo)，并判斷△（3）平面內(nèi)是否存在點M，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果有請直接寫出點M的坐標(biāo)．29．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，點M從點A出發(fā)，沿折線AB→BC以2cm/s速度向點C運動，同時點D從點C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度向點A運動，點M到達(dá)點C時，點M，D同時停止運動，當(dāng)點M不與A，C重合時，作點M關(guān)于直線AC的對稱點N，連接MN交AC于點E，連接DM，DN．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜7），請解答下列問題．（1）當(dāng)t為何值時，MD∥BC？（2）點M在線段BC上運動時，是否存在某一時刻t使得△CMD與△CBA相似若存在，請求出此刻的t值；若不存在，請說明理由；（3）點M在線段AB上運動時，是否存在某一時刻t使得四邊形MBCD的面積占△CBA面積的六分之五？（4）當(dāng)t為何值時，△DMN為直角三角形？30．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°．BA的延長線交射線CD于點M，過點A作AB的垂線交BC的延長線于點N，交CD邊于點E．已知AD＝3．CD＝4．（1）如圖，求證：△ADM∽△ECN；（2）聯(lián)結(jié)MN，在△BMN中是否存在角度保持不變的角？如果存在，請指出并求該角的余切如果不存在，請說明理由；（3）如果△BMN是以BN為腰的等腰三角形，求CN的值．參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．如圖所示在舉行ABCD中，AB＝4，BC＝8，動點M以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿AB向點B運動，同時動點N以2cm/s的速度從點D出發(fā)，沿DA向點A運動，設(shè)運動時間為ts（0＜t＜4）．（1）當(dāng)t為何值時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的18（2）是否存在某一時刻t，使得以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在請說明理由．【分析】（1）由△AMN的面積等于矩形ABCD面積的18，可得12×t×(8?2t)=18（2）△AMN與△ACD相似，分為兩種情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【解答】（1）解：由題意得AM＝tcm，DN＝2tcm，∴AN＝AD﹣DN＝（8﹣2t）cm，∵△AMN的面積等于矩形ABCD面積的18∴12解得：t1＝t2＝2，∴t＝2s時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的18（2）解：存在某一時刻t．使得以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似．理由如下：∵△AMN與△ACD相似，∴可分為兩種情況：①當(dāng)△MNA∽△ACD時，∴AMDA∴t8解得：t=16②當(dāng)△NMA∽△ACD時，∴AMDC∴t4解得t＝2，綜上所述，當(dāng)t=165s或t＝2s時，以A、M、N【點評】本題考查了相似三角形——動點問題和平行四邊形的動點問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，動點P從點C出發(fā)，沿CA方向運動，速度是2cm/s，動點Q從點B出發(fā)，沿BC方向運動，速度是1cm/s．（1）幾秒后△PCQ與△ABC相似？（2）設(shè)△CPQ的面積為S1，△ABC的面積為S2；在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S1：S2＝2：5？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．【分析】（1）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)系式，解方程即可；（2）用t分別表示出CP、CQ，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．【解答】設(shè)y秒后△PCQ與△ABC相似，當(dāng)△PCQ∽△ACB時，CPCA=CQ解得，y=75當(dāng)△PCQ∽△BCA時，CPCB=CQ解得，y=125答：758秒或12517秒后△PCQ與△（3）△CPQ的面積為S1=12×CQ×CP=12×2t×（25﹣t△ABC的面積為S2＝×AC×BC＝375，由題意得，5（﹣t2+25t）＝375×2，解得，t1＝10，t2＝15，答：運動10秒或15秒時，S1：S2＝2：5．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正確解出一元二次方程是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．3．綜合與探究如圖，已知矩形OABC，以點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，4），點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，設(shè)運動時間為t秒．（1）求證：△BCP∽△BAE；（2）當(dāng)t＝5時，求點E的坐標(biāo)；（3）在運動的過程中，是否存在以P，O，E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)四邊形OABC是矩形，BE⊥PB可得出角相等即可得出相似；（2）由相似三角形的性質(zhì)求出BH＝10，得出OE＝12即可求出點E的坐標(biāo)；（3）本題需先證出△BCP∽△BAE，求出AE＝2t，再分兩種情況討論，求出t的值，即可得出P點的坐標(biāo)．【解答】（1）證明：∵四邊形OABC是矩形，∴∠BCP＝∠OAB＝∠BAE＝90°，∵BE⊥PB∴∠CPA＝∠PBE＝90°∴∠CBP＝∠ABE，∴△BCP∽△BAE；（2）解：當(dāng)t＝5時，PC＝5，過點E作CB的垂線，垂足為H，如圖1所示：則四邊形AEHB是矩形，∴BH＝AE，∵A（2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，∵四邊形OABC是矩形，∴AB＝OC＝4，BC＝OA＝2，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，∴∠BPC＝∠EBH，∵∠EHB＝∠BCP＝90°，∴△PBC∽△BEH，∴BHPC=EH解得：BH＝10，∴AE＝BH＝10，∴OE＝OA+AE＝2+10＝12，∴點E的坐標(biāo)是（12，0）；（3）解：存在，理由如下：∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠ABE＝∠PBC，∵∠BAE＝∠BCP＝90°，∴△BCP∽△BAE∴BCAB∴tAE∴AE＝2t，當(dāng)點P在點O上方時，如圖2所示：①若OPAE=OEAB時，△∵OP＝4﹣t，OE＝2+2t，∴4?t2t解得：t1=?1+5∴OP=4?(?1+5∴P的坐標(biāo)為(0，5?5②若OPAB=OEAE，則△∴4?t4此時無解；當(dāng)點P在點O下方時，如圖3所示：①若OPAB則△OPE∽△ABE，t?44解得：t1＝4+25，t2＝4﹣25（舍去），OP＝t﹣4＝25，P的坐標(biāo)為（0，﹣25）；②若OPAE則△OEP∽△ABE，t?42t整理得：t2+t+4＝0，Δ＝1﹣16＝﹣15＜0，該方程無解，∴這種情況不成立，綜上所述，存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似，P的坐標(biāo)為：(0，5?5)或【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，在解題時要根據(jù)已知條件再結(jié)合圖形是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（1，0），點B在y軸正半軸，點C在x軸的負(fù)半軸上，且滿足(OB?3（1）求點B，C的坐標(biāo)；（2）若點P在y軸上從點B出發(fā)，沿射線BO運動，連接CP（不含CB），是否存在點P，使得以點C，O，P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得OB=3，OC（2）分兩種情況討論：當(dāng)△COP∽△AOB時，當(dāng)△COP∽△BOA時，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）∵(OB?3∴OB?3∴OB=3，OC∵點B在y軸正半軸，點C在x軸的負(fù)半軸，∴B(0，3)，（2）存在點P，使得以點C，O，P為頂點的三角形與△AOB相似；理由如下：∵∠COP＝∠BOA＝90°，∴以點C、O、P為頂點的三角形與△AOB相似分兩種情況討論：①當(dāng)△COP∽△AOB時，OCOA∴OP=OB?OC∵P在射線BO上，∴P(0，?33②當(dāng)△COP∽△BOA時，OCOB∴OP=OA?OC∵P在射線BO上（不與點B重合），∴P(0，?3綜上，存在點P，使得以點C，O，P為頂點的三角形與△AOB相似；P1(0，?33【點評】本題主要考查了相似三角形的判定，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形BDE邊BE的高即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)分兩種情況說明即可．【解答】解：（1）分別過點D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足為F、G如圖∴DF∥AG，DF∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴DF解得DF=35（10﹣∵S△BDE=12BE?∴35（10﹣t）?t解得t＝5．答：t為5秒時，△BDE的面積為7.5cm2．（2）存在．理由如下：①當(dāng)BE＝DE時，△BDE∽△BCA，∴BEAB=BD解得t=50②當(dāng)BD＝DE時，△BDE∽△BAC，BEBC=BD解得t=80答：存在時間t為5013或8013秒時，使得△BDE與△【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是動點變化過程中形成不同的等腰三角形．6．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AC⊥BC，DC＝9cm，AD＝12cm．點P從A點出發(fā)，沿AB向點B勻速運動，同時點Q從B點出發(fā)，沿BC向點C勻速運動，運動速度均為5cm/s，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，兩點都停止運動．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜4）．（1）求線段AB的長度；（2）t為何值時，以B、P、Q為頂點的三角形與△ADC相似？（3）是否存在某一時刻t，使得四邊形DPQC的面積等于144cm2？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．（4）是否存在某一時刻t，使DP⊥PQ？若存在，直接寫出此時t的值；若不存在，說明理由．【分析】（1）首先勾股定理求出AC＝15，再利用△ACB∽△CDA，得ACCD=AB（2）由（1）知，∠B＝∠DAC，分△BPQ∽△ADC或△BPQ∽△ACD，分別根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得答案；（3）作QH⊥AB于H，根據(jù)四邊形DPQC的面積＝S梯形ABCD﹣S△ADP﹣S△BPQ，列出方程解方程即可；（4）利用△DAP∽△PHQ，得ADPH【解答】解：（1）在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=9∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB，∴△ACB∽△CDA，∴ACCD∴159∴AB＝25，（2）由題意知，BP＝25﹣5t，BQ＝5t，由（1）知，∠B＝∠DAC，當(dāng)△BPQ∽△ADC時，∴BPAD∴25?5t12解得t=25當(dāng)△BPQ∽△ACD時，∴BPAC∴25?5t15解得t=20綜上：t=259或209時，以B、P、Q（3）作QH⊥AB于H，∵BQ＝5t，則QH＝3t，∴四邊形DPQC的面積＝S梯形ABCD﹣S△ADP﹣S△BPQ=12∴152解得t1＝1，t2＝8（舍去），∴當(dāng)t＝1時，四邊形DPQC的面積等于144cm2；（4）當(dāng)DP⊥PQ時，∴∠DPA+∠QPH＝90°，∵∠APD+∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠QPH，∵∠DAP＝∠QHP，∴△DAP∽△PHQ，∴ADPH∴1225?9t解得t=89∴t=8945時，DP⊥【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解法等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時注意分類討論思想的運用．7．如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿著CA以每秒3cm的速度向A點運動，設(shè)運動時間為x秒．（1）x為何值時，PQ∥BC；（2）是否存在某一時刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理，得方程求解即可；（2）利用相似三角形的條件，先列出方程，再求解．【解答】解：（1）由題意：x秒時，AP＝4xcm，BP＝（20﹣4x）cm，CQ＝3xcm，AQ＝（30﹣3x）cm．當(dāng)PQ∥BC時，APBP∴4x20?4x=30?3x整理，得50﹣15x＝0．∴x=10當(dāng)x=103時，PQ∥（2）存在個一時刻，使△APQ∽△CQB．∵BA＝BC，∴∠A＝∠C．當(dāng)APAQ=CQBC時，△∵APAQ∴4x30?3x整理，得9x2﹣10x＝0．∴x1＝0，（不合題意舍去），x2=10當(dāng)x=109時，AP＝4x=40【點評】本題主要考查了相似三角形，掌握平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分別是AC、AB的中點，連接DE．點P從點D出發(fā)，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當(dāng)點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設(shè)運動時間為t（0＜t＜4）s．解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似？（2）當(dāng)t為何值時，△EPQ為等腰三角形？（直接寫出答案即可）；（3）當(dāng)點Q在B、E之間運動時，是否存在某一時刻t，使得PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為S△PQE：S五邊形PQBCD＝1：29？若存在，求出此時t的值以及點E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由．【分析】（1）如圖①所示，當(dāng)PQ⊥AB時，△PQE是直角三角形．解決問題的要點是將△PQE的三邊長PE、QE、PQ用時間t表示，這需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例線段關(guān)系（或三角函數(shù)）；（2）分三種情形討論，如圖3中，當(dāng)點Q在線段BE上時，EP＝EQ；如圖4中，當(dāng)點Q在線段AE上時，EQ＝EP；如圖5中，當(dāng)點Q在線段AE上時，EQ＝QP；如圖6中，當(dāng)點Q在線段AE上時，PQ＝EP．分別列出方程即可解決問題．（3）本問要點是根據(jù)題意，列出一元二次方程并求解．假設(shè)存在時刻t，使S△PQE：S五邊形PQBCD＝1：29，則此時S△PQE=130S梯形DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得時刻t；點E到PQ的距離h利用△【解答】解：（1）如圖1中，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8∴AB=6∵D、E分別是AC、AB的中點．AD＝DC＝3，AE＝EB＝5，DE∥BC且DE=12①PQ⊥AB時，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，PEAE=QEDE，由題意得：PE＝4﹣t，即4?t5解得t=41②如圖2中，當(dāng)PQ⊥DE時，△PQE∽△DAE，∴PEED∴4?t4∴t=40∴當(dāng)t為4114s或4013s時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△（2）如圖3中，當(dāng)點Q在線段BE上時，由EP＝EQ，可得4﹣t＝5﹣2t，t＝1．如圖4中，當(dāng)點Q在線段AE上時，由EQ＝EP，可得4﹣t＝2t﹣5，解得t＝3．如圖5中，當(dāng)點Q在線段AE上時，由EQ＝QP，可得12（4﹣t）：（2t﹣5）＝4：5，解得t=如圖6中，當(dāng)點Q在線段AE上時，由PQ＝EP，可得12（2t﹣5）：（4﹣t）＝4：5，解得t=綜上所述，t＝1或3或207或196秒時，△（3）假設(shè)存在時刻t，使S△PQE：S五邊形PQBCD＝1：29，則此時S△PQE=130S梯形∴35t2?3910t即2t2﹣13t+18＝0，解得t1＝2，t2=9當(dāng)t＝2時，如圖，作PM⊥AB于M．PM=35×（4﹣2）=65，EQ＝5﹣2×2＝1，MQ＝ME+EQ=85+∴PQ=P∵12PQ?h=∴h=65?∴此時t的值為2s，h=6【點評】本題是動點型綜合題，解題關(guān)鍵是掌握動點運動過程中的圖形形狀、圖形面積的表示方法．所考查的知識點涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的難度．注意題中求時刻t的方法：最終都是轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程求解，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．9．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為A（﹣4，0），B（0，3）．（1）求AB的長；（2）過點B作BC⊥AB，交軸于點C，求點C的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果P、Q分別是AB和AC上的動點，連接PQ，設(shè)AP＝CQ＝x，問是否存在這樣的使得△APQ與△ABC相似？若存在，請求出的x值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)點A、B的坐標(biāo)分別為A（﹣4，0），B（0，3）可知OB＝3，AO＝4，利用勾股定理即可求出AB．（2）根據(jù)BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C點的坐標(biāo)．（3）假設(shè)△APQ與∽△ABC，利用其對應(yīng)邊成比例即可求出x的值．【解答】解：（1）∵點A、B的坐標(biāo)分別為A（﹣4，0），B（0，3），∴OB＝3，AO＝4，∴AB=AO（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，∴BO2＝AO?OC，即OC=BO∴C點的坐標(biāo)是（2.25，0）；（3）當(dāng)△APQ與∽△ABC時，PQ∥BC，∴APPB∵AP＝CQ＝x，∴x5?x解得x=25當(dāng)△APQ與∽△ACB時，APAC即x6.25解得：x=答：（1）AB的長為5；（2）C的坐標(biāo)為（2.25，0）；（3）存在，x的值為259或125【點評】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，射影定理等知識點，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，屬于中檔題．10．如圖（1），在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC＝AB+2．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）小宇為了研究圖（1）中線段之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)．①建立模型：請求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出自變量x的取值范圍；②畫出圖象：請在如圖（2）所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出①中該函數(shù)的圖象；③歸納性質(zhì)：請寫出①中該函數(shù)的一條性質(zhì)：函數(shù)的最小值是8．（3）問邊AB與邊AD的和是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由相似三角形的判定可得結(jié)論；（2）①相似三角形的性質(zhì)可得ABAC②利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；③結(jié)合圖象，可求解；（3）由AB+AD＝x+y＝2x+4x+【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD；（2）解：①∵△ABC∽△ACD，∴ABAC∵AC＝AB+2，AB＝x，AD＝y(tǒng)，∴xx+2∴y＝x+4x+②如圖所示：③函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)的最小值是8，故答案為：函數(shù)的最小值是8；（3）解：AB+AD＝x+y＝2x+4x+∴AB+AD的最小值為42+【點評】本題是相似形綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，動點問題，函數(shù)圖象等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．11．如圖，已知矩形OABC，以點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，3），點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，連接PE交AB于點F，設(shè)運動時間為t秒．（1）若AB平分∠EBP時，求t的值；（2）求AE的長（用含t的代數(shù)式表示）；（3）在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先證△BCP是等腰直角三角形，得PC＝BC＝2，即可得出結(jié)論；（2）通過證明△BCP∽△BAE，可得BCAB（3）本題需先證出△BCP∽△BAE，求出AE=12t，再分兩種情況討論，求出【解答】解：（1）當(dāng)AB平分∠EBP時，∠PBF＝45°，∴∠CBP＝90°﹣∠PBF＝45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴PC＝BC＝2，∴t＝2；（2）∵A（2，0），C（0，3），∴AB＝3，BC＝2，∵BE⊥BP，∴∠EBP＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠PBC，又∵∠BCO＝∠BAE＝90°，∴△BCP∽△BAE，∴BCAB∴23∴AE=32（3）存在，理由如下：當(dāng)點P在點O上方時，如圖，若OPAE=OEAB時，又∵∠∴△POE∽△EAB，∵OP＝3﹣t，OE＝2+32∴3?t3解得：t1=?4+2133，t∴t=?4+2∴點P（0，13?213當(dāng)點P在點O下方時，如圖，①若OPAB=OEAE時，又∵∠則△OPE∽△ABE，∴t?33解得：t1＝3+13，t2＝3?∴OP＝t﹣3＝3+13?3∴CP＝OC+OP＝3+13∴t＝3+13∴點P（0，?13②若OPAE=OEAB，則△∴t?33整理得：94t2∴這種情況不成立；綜上所述，在運動的過程中，存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似，點P（0，13?2133）或（0，【點評】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．12．【問題情境】（1）古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中提出了射影定理，又稱“歐幾里得定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．其符號語言是：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，則：①CD2＝AD?BD，②AC2＝AB?AD，③BC2＝AB?BD；請你證明定理中的結(jié)論③BC2＝AB?BD．【結(jié)論運用】（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．①求證：△BOF∽△BED；②若BE=210，求OF（3）如圖3，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E是CD上一動點，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，取BF的中點G，連接OG，當(dāng)點E在CD上運動時，OG是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值．若不存在，請說明理由．【分析】（1）由CD⊥AB于點D，得∠CDB＝90°，而∠ACB＝90°，所以∠CDB＝∠ACB，因為∠B＝∠B，所以△CDB∽△ACB，則BCAB=BDBC，即可證明BC2＝（2）①由正方形的性質(zhì)得AC⊥BD，則∠BOC＝∠BCD＝90°，而∠OBC＝∠CBD，則△OBC∽△CBD，所以BOBC=BCBD，推導(dǎo)出BC2＝BO?BD，再證明△FBC∽△CBE，得BFBC=BCBE，則BC2＝BF?BE，所以BO?BD＝BF?BE，變形為BOBE②由BC＝DC＝6，∠ACD＝90°，得BD=BC2+DC2=62，則BO=12BD＝32，而BE＝210，則CE（3）取BC的中點H，連接DF、DH、FH，由正方形的性質(zhì)得BC＝DC＝6，∠BCD＝90°，而∠BFC＝90°，則FH＝BH＝CH＝3，求得DH＝35，由DF+FH≥DH，得DF≥DH﹣FH，由點O為BD的中點，點G為BF的中點，得DF＝2OG，所以2OG≥35?3，則OG≥35?32，所以O(shè)G【解答】（1）證明：∵CD⊥AB于點D，∴∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CDB＝∠ACB，∵∠B＝∠B，∴△CDB∽△ACB，∴BCAB∴BC2＝AB?BD．（2）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD交于點O，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝∠BCD＝90°，∵∠OBC＝∠CBD，∴△OBC∽△CBD，∴BOBC∴BC2＝BO?BD，∵CF⊥BE于點F，∴∠BFC＝∠BCE＝90°，∵∠FBC＝∠CBE，∴△FBC∽△CBE，∴BFBC∴BC2＝BF?BE，∴BO?BD＝BF?BE，∴BOBE∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED．②解：∵正方形ABCD的邊長為6，∴BC＝DC＝6，∠ACD＝90°，∴BD=BC2∴BO＝DO=12BD＝3∵BE＝210，∴CE=B∴ED＝DC﹣CE＝6﹣2＝4，∵△BOF∽△BED，∴OFED∴OF=ED?BO∴OF的長為65（3）解：OG存在最小值，OG的最小值為35理由：如圖3，取BC的中點H，連接DF、DH、FH，∵正方形ABCD的邊長為6，對角線AC、BD交于點O，∴BC＝DC＝6，BO＝DO，∠BCD＝90°，∵CF⊥BE于點F，∴∠BFC＝90°，∴FH＝BH＝CH=12∴DH=CH2∵DF+FH≥DH，∴DF≥DH﹣FH，∵點O為BD的中點，點G為BF的中點，∴DF＝2OG，∴2OG≥35?∴OG≥3∴OG存在最小值，OG的最小值為35【點評】此題重點考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、兩點之間線段最短等知識，此題綜合性強，難度較大，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝12cm，BD＝16cm，在Rt△QEF中，∠QEF＝90°，邊QE和BO重合，邊EF和OC重合．如圖②，△QEF從圖①所示位置出發(fā)，沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，動點P從點D出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為2cm/s．連接AQ，PE．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，△AOQ為等腰三角形？（2）當(dāng)PE∥AQ時，求t的值；（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使△DPE與△EFQ相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，AC＝12cm，BD＝16cm，BQ＝tcm，得AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6cm，OB＝OD=12BD＝8cm，則OQ＝（8﹣t）cm，由OQ＝OA＝6cm，得8﹣t＝6，求得t＝2，所以當(dāng)（2）當(dāng)PE∥AQ時，則PDAD=EDQD，因為ED＝（8﹣t）cm，QD＝（16﹣t）cm，PD＝2tcm，AD＝AB=OA2+OB（3）由平移得∠EQF＝∠OBC，EQ＝OB＝8cm，F(xiàn)Q＝CB＝AB＝10cm，而∠PDE＝∠OBC，所以∠PDE＝∠EQF，分兩種情況討論，一是∠DPE＝∠QEF，則△DPE∽△EFQ，所以2t8=8?t10，求得t=167；二是∠DEP＝∠QEF，則△DPE∽△EFQ【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12cm，BD＝16cm，BQ＝tcm，∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6cm，OB＝OD=12∴∠AOB＝90°，OQ＝（8﹣t）cm，∵△AOQ為等腰三角形，∴OQ＝OA＝6cm，∴8﹣t＝6，解得t＝2，∴當(dāng)t＝2時，△AOQ為等腰三角形．（2）當(dāng)PE∥AQ時，則PDAD由平移得OE＝BQ＝tcm，∴ED＝（8﹣t）cm，QD＝（16﹣t）cm，∵PD＝2tcm，AD＝AB=OA2∴2t10整理得t2﹣21t+40＝0，解得t1=21?2812，t∴t的值為21?281（3）存在，由平移得∠EQF＝∠OBC，EQ＝OB＝8cm，F(xiàn)Q＝CB＝AB＝10cm，∵AD∥CB，∴∠PDE＝∠OBC，∴∠PDE＝∠EQF，∴當(dāng)∠DPE＝∠QEF或∠DEP＝∠QEF時，△DPE∽△EFQ，當(dāng)∠DPE＝∠QEF時，∵∠PDE＝∠EQF，∴△DPE∽△EFQ，∴PDEQ∴2t8解得t=16當(dāng)∠DEP＝∠QEF時，∵∠PDE＝∠EQF，∴△DPE∽△EFQ，∴EDEQ∴8?t8解得t=40綜上所述，存在某一時刻t，使△DPE與△EFQ相似，t的值為167或40【點評】此題重點考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論數(shù)學(xué)思想的運用等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．14．如圖，已知四邊形OABC是矩形，以點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，3），點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，連接PE交射線BA于點F，設(shè)運動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝2時，∠ABE＝∠CBP＝45°°，AE＝3；（2）當(dāng)S△AFES△OPE（3）在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先證明△BCP是等腰直角三角形，再證明△ABE是等腰直角三角形，即可得到結(jié)果；（2）證明△CBP∽△ABE，得AE=32t，分點P（3）存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．分點P在y軸的正半軸上時，點P在y軸的負(fù)半軸上時兩種情況討論，分別列出關(guān)于t的方程從而解決問題．【解答】解：（1）∵點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動，∴當(dāng)t＝2時，PC＝2，∵四邊形OABC是矩形，∴BC＝OA＝BC＝2，AB＝OC＝3，∠BCO＝∠CBA＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴∠CBP＝45°，∵∠CBA＝90°，∴∠ABP＝45°，∵∠PBE＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠ABP＝45°，∵∠BAE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB＝3；故答案為：45°，3；（2）若點P在原點上方時，∵∠CBA＝∠PBE＝90°，∴∠CBP+∠PBA＝90°，∠ABE+∠PBA＝90°，∴∠CBE＝∠ABE，∵∠BCP＝∠BAE＝90°，∴△CBP∽△ABE，∴BCAB∴tAE∴AE=3∵四邊形OABC是矩形，∴AB∥OP，∴△AEF∽△OEP，∵S△AFE∴AEOE∴OE＝2AE，∴2+3解得t=4當(dāng)點P在原點下方時，同理可得AE=3∵AB∥OC，∴AF∥OP，∴△AEF∽△OEP，∵S△AFE∴AEOE∴OE＝2AE，∴2+3解得t=4綜上所述，t=4（3）存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似，理由如下：當(dāng)點P在y軸的正半軸上時，若△POE∽△EAB，∴OPAE∴3?t3解得t1=?4+2∴點P的坐標(biāo)為(0，13?2若△POE∽△BAE，∴OPAB∴3?t3整理得t2＝﹣4，無實數(shù)根，舍去；當(dāng)點P在y軸的負(fù)半軸上時，若△POE∽△EAB，∴OPEA∴t?33整理得t2＝﹣4，無實數(shù)根，舍去；若△POE∽△BAE，∴OPAB∴t?33解得t1=3+13∴點P的坐標(biāo)為(0，?13綜上所述，點P的坐標(biāo)為(0，13?2133【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，本題的關(guān)鍵是綜合運用各種圖形的性質(zhì)解題．15．如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5a，BC＝6a，點D，E分別在BC、AC上，且∠ADE＝∠B．（1）求證：BD?CD＝AC?CE；（2）若CD＝2BD，求AD的長；（3）探究：AE長是否存在最小值，若存在，請求出該最小值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證得△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）由CD＝2BD，CD+BD＝BC＝6a，得到CD＝4a，BD＝2a，由（1）知BD?CD＝AC?CE，求得CE=8（3）設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，由（1）知△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ABCD=BDCE，得到5a6a?x=xy，整理得x2﹣6ax【解答】（1）證明：∵∠CDE+∠ADB＝180°﹣∠ADE，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B，∵∠ADE＝∠B，∴∠CDE＝∠BAD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD∴BD?CD＝AB?CE，∵AB＝AC，∴BD?CD＝AC?CE；（2）解：∵CD＝2BD，CD+BD＝BC＝6a，∴CD＝4a，BD＝2a，由（1）知BD?CD＝AC?CE，即8a2＝5a?CE，∴CE=8∴AE=AC?CE=17∵∠DAE＝∠CAD，∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACD，∴ADAC∴AD=AC?AE（3）解：設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，由（1）知△ABD∽△DCE，∴ABCD∴5a6a?x∴x2﹣6ax+5ay＝0，∵方程有解，即△＞0，∴36a2﹣20ay≥0，得y≤9即CE最大值為95∴AE最小值為AC?CE=5a?9【點評】本題是相似形的綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)求最值問題，系統(tǒng)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考常考題型．16．問題提出（1）如圖1，四邊形ABCD為矩形，點E為邊BC上的一點，連接AE，過E作EF⊥AE交邊CD于點F，若AB＝4，EC＝3，則BECF的值為43問題探究（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝6，AD=53，Rt△AEF的直角頂點E在邊BC上，頂點F在邊CD上，若cos∠EAF=32問題解決（3）如圖3，是四邊形ABCD是某科技園示意圖，其中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝200m，AB＝400m，BC＝500m，點F是大門，CF＝300m，現(xiàn)需要在邊BC上安裝一個監(jiān)控E，對道路AD、DF進行全天監(jiān)控，監(jiān)控E的角度為∠AEF，且tan∠AEF=43，監(jiān)控E是否存在符合要求的安裝位置，若存在，請求出【分析】（1）由四邊形ABCD為矩形得∠B＝∠C＝90°，再根據(jù)同角的余角相等得∠BAE＝∠CEF，則△BAE∽△CEF，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）得△BAE∽△CEF，則ABCE=BEFC=AEEF（3）作DH⊥BC于點H，則DH＝AB＝400m，CH＝BC﹣AD＝300（m），通過正切可求得∠C＝∠AEF，設(shè)BE＝x，延長CB至G，使得BG＝CH＝300m，則△AGE∽△ECF，根據(jù)性質(zhì)得AGGE=EC【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠CEF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴BECF故答案為：43（2）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠CEF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴ABEC∵cos∠EAF=3∴∠EAF＝30°，∴tan∠EAF=EF∴ABEC∴EC=23∴BE=BC?EC=33∵BECF∴CF＝3；（3）存在，理由如下：如圖，作DH⊥BC于點H，∴DH＝AB＝400m，BH＝AD＝200m，CH＝BC﹣BH＝500﹣200＝300（m），∴tanC=DH∴tanC=tan∠AEF=4∴∠C＝∠AEF，設(shè)BE＝x，延長CB至G，使得BG＝CH，∴tanG=4∴∠C＝∠AEF＝∠G，∴△AGE∽△ECF，∴AGGE∴500300+x整理得x2﹣200x＝0，解得x1＝0，x2＝200，經(jīng)檢驗：x1＝0，x2＝200是原方程的解，∴BE＝0m或BE＝200m．【點評】本題考查了相似形的綜合應(yīng)用，主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解一元二次方程，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．17．如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15cm，BC＝20cm．BD⊥AC，垂足為D．點P從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；點Q同時從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動，速度為2cm/s．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜10），連接PB，PQ．解答下列問題：（1）求AD的長度；（2）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點C在線段PQ的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使△PBQ的面積與△ABC的面積之比是2：25？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．（4）如圖②，點B'是點B關(guān)于AC的對稱點，連接B'P，當(dāng)t為何值時，∠B'PD+∠DPQ＝180°？【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得AC，進而根據(jù)△ABC∽△ADB可求得結(jié)果；（2）可表示出QC＝2tcm，PC＝（25﹣9﹣t）cm＝（16﹣t）cm，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得PC＝QC，列方程求解即可；（3）作PM⊥BC于M，證明△ABC∽△PMC，從而可表示出PM，進而根據(jù)△PBQ的面積與△ABC的面積之比是2：25，列式求解即可；（4）作QN⊥AC于N，證明△CNQ∽△CBA可表示出CN，進而表示出PN，根據(jù)△B′DP∽△QNP，列出比例式，即可解答．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，∴AC=AB2∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠ADB，∴△ABC∽△ADB，∴ABAD即15AD∴AD＝9；（2）存在某一時刻t，使點C在線段PQ的垂直平分線上，理由如下：由題意得，QC＝2tcm，PC＝（25﹣9﹣t）cm＝（16﹣t）cm，∵點C在線段PQ的垂直平分線上，∴PC＝QC，∴16﹣t＝2t，∴t=16∴當(dāng)t=163s時，點C在線段（3）如圖1，存在某一時刻t，使△PBQ的面積與△ABC的面積之比是2：25，作PM⊥BC于M，∵∠C＝∠C，∠PMC＝∠ABC，∴△ABC∽△PMC，∴ABPM即15PM∴PM=3∴12∴t1=13?29∴當(dāng)t＝（13?29）s時，△PBQ的面積與△ABC（4）如圖2，過點Q作QN⊥AC于點N，∵∠C＝∠C，∠QNC＝∠ABC，∴△CNQ∽△CBA，∴NCBC即NC20∴NC=85t∴QN=QC∴PN＝（16﹣t?85t）cm＝（16?∵點B'是點B關(guān)于AC的對稱點，∴∠B′PD＝∠BPD，∵∠B'PD+∠DPQ＝180°，∴∠BPD+∠DPQ＝180°，∵∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝∠DPQ，∴∠BPD＝∠CPQ，∵∠BDP＝∠QNP＝90°，∴△BDP∽△QNP，∴PNPD即16?13∴t1∴當(dāng)t＝（329?13）s時，∠B'PD+∠DPQ【點評】本題考查相似形綜合應(yīng)用，主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練運用這些性質(zhì)．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、點B，直線CD與x軸、y軸分別交于點C、點D，AB與CD相交于點E，線段OA、OC的長是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的兩根（OA＞OC），BE＝5，OB=43（1）求點A、點C的坐標(biāo)；（2）在x軸上是否存在點P，使點C、點E、點P為頂點的三角形與△DCO相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；如不存在，請說明理由．【分析】（1）首先解方程x2﹣18x+72＝0求得方程的根，則A和C的坐標(biāo)即可求得；（2）根據(jù)三角函數(shù)求得B的坐標(biāo)，作EF⊥x軸于點F，根據(jù)△AEF∽△ABO，利用相似三角形的性質(zhì)求得EF和OF的長，即可求得E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，進而求得D點坐標(biāo)與OD、CD；設(shè)P的坐標(biāo)是（p，0），則PC＝p+6．分成△COD∽△CEP和△COD∽△CPE兩種情況進行討論即可求解．【解答】解：（1）x2﹣18x+72＝0即（x﹣12）（x﹣6）＝0，則x﹣12＝0，x﹣6＝0，解得：x＝12或x＝6，又∵OA＞OC，∴OA＝12，OC＝6，∴A的坐標(biāo)是（12，0），C的坐標(biāo)是（﹣6，0）．（2）∵OB=4∴OB=43則B的坐標(biāo)是（0，16）．AB=O作EF⊥x軸于點F．則△AEF∽△ABO，∴AFOA∴AF12∴AF＝9，EF＝12，則OF＝12﹣9＝3，則E的坐標(biāo)是（3，12）．∴CF＝3+6＝9，EF＝12，∴OE=9設(shè)直線CD的解析式是y＝kx+b，則?6k+b=03k+b=12解得：k=4則直線CD的解析式是y=43當(dāng)x＝0時，y=43x+8＝8，即CD=O設(shè)P的坐標(biāo)是（p，0），則PC＝p+6．當(dāng)△COD∽△CEP時，CDCP=OC解得：P＝19，則P的坐標(biāo)是（19，0）；當(dāng)△COD∽△CPE時，OCCP=CD解得：p＝3，則P的坐標(biāo)是（3，0）．總之，P的坐標(biāo)是（19，0）和（3，0）．【點評】本題考查了相似三角形的判定、根與系數(shù)的關(guān)系以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正確求得E的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（20，0）和（0，15），動點P從點A出發(fā)，在線段AO上以每秒2個單位長度的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動（即EF∥x軸），分別與y軸、線段AB交于點E、F，連接EP、FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，移動時間為t秒．（1）求t＝9時，求線段EF的長；（2）移動過程中，是否存在這樣的t值使得△PEF的面積等于40？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）移動過程中，是否存在t值使得以點E、O、P為頂點的三角形與△BOA相似？若存在，請求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由于EF∥x軸，則S△PEF=12?EF?OE，t=9時，OE＝9，關(guān)鍵是求EF．證明△BEF∽△BOA，則EF（2）假設(shè)存在這樣的t，使得△PEF的面積等于40，則根據(jù)面積公式列出方程，由根的判別式進行判斷，得出結(jié)論；（3）如果△EOP與△BOA相似，由于∠EOP＝∠BOA＝90°，則只能點O與點O對應(yīng)，然后分兩種情況分別討論：①∠EPO＝∠BAO；∠EPO＝∠ABO．【解答】解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF＝∠BOA又∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA當(dāng)t＝9時，OE＝9，OA＝20，OB＝15，BE＝OB﹣OE＝15﹣9＝6，∴EF=20×6（2）不存在．理由：∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE?OA∴12整理，得t2﹣15t+60＝0，∵△＝152﹣4×1×60＜0，∴方程沒有實數(shù)根．∴不存在使得△PEF的面積等于40的t值；（3）當(dāng)∠EPO＝∠BAO時，△EOP∽△BOA，∴OPOA=OE解得t＝6；當(dāng)∠EPO＝∠ABO時，△EOP∽△AOB，∴OPOB=OE解得t=80∴當(dāng)t＝6s或t=8011s時，△EOP【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式等知識點，要注意最后一問中，要分對應(yīng)角的不同來得出不同的對應(yīng)線段成比例，從而得出運動時間的值．不要忽略掉任何一種情況．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段CD向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段AC向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停止，設(shè)運動時間為t秒．（1）求線段CD的長；（2）當(dāng)t為何值時，C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？（3）是否存在某一時刻t，使得△CPQ為等腰三角形？若存在，求出滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先利用勾股定理求出AB＝10，再利用面積法求出CD；（2）先表示出CP，再判斷出∠ACD＝∠B，進而分兩種情況，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意畫出圖形，分CQ＝CP，PQ＝PC，QC＝QP三種情況，利用相似三角形進行求解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，根據(jù)勾股定理得：AB=A∵S△ABC∴CD=AC?BC（2）由（1）知，CD=24由運動知，CQ＝t，DP＝t，∴CP=CD?DP=24∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴①△CPQ∽△BCA，∴CPBC即245解得：t＝3；②△CPQ∽△BAC∴CPAB即245解得：t=9綜上，t為3或95時，C、P、Q為頂點的三角形與△ABC（3）①若CQ＝CP，如圖1，則t＝4.8﹣t．解得：t＝2.4；②若PQ＝PC，過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示，∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠HCP＝90°﹣∠DCB＝∠B，∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°，∴∠CPH＝∠ACB，∴△CHP∽△BCA，∴CHBC∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH=CH=1則t2解得：t=144③若QC＝QP，過點Q作QE⊥CP垂足為E，如圖3所示，同理可得：△CEQ∽△BCA，∴CEBC∵QC＝QP，QE⊥CP，∴CE=EP=1則12t=24綜上所述，存在某一時刻t，使得△CPQ為等腰三角形；滿足條件的t的值為2.4或14455或24【點評】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和動點三角形，利用等腰三角形“三線合一”將兩腰相等轉(zhuǎn)化為底邊上的兩條線段相等是解決第三小題的關(guān)鍵．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C（﹣4，0），點A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，線段OA、OB的長度都是方程x2﹣3x+2＝0的解，且OB＞OA．若點P從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連結(jié)AP．（1）如圖1，判斷三角形ABC的形狀，并說明理由；（2）在點P運動過程中，利用圖1及備用圖1探究，當(dāng)△AOP周長最短時，求點P運動的時間；（3）在點P的運動過程中，利用備用圖2探究，是否存在點P，使以點A，B，P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先解方程x2﹣3x+2＝0，得出AO＝1，0B＝2，再由OB2＝OA?OC＝4，即OAOB=OBOC，又∠AOB＝∠BOC＝90°，得到△AOB∽△BOC，則∠ABO＝∠BCO，證明∠（2）由于OA＝1為定值，所以O(shè)P+AP最小時，△AOP周長最短．由（1）知∠ABC＝90°，那么延長AB至點A′，使BA′＝AB，連接A′O，交BC于點P，此時△AOP周長最短．求出OA′的解析式，與直線BC的解析式聯(lián)立組成方程組，解方程組求出P點坐標(biāo)，進而得到點P運動的時間；（3）由于∠ABP＝∠AOB＝90°，所以分兩種情況進行討論：①當(dāng)BPOB=ABOA時，△ABP∽△AOB；②當(dāng)BPOA=ABOB時，△ABP∽△BOA，分別求出BP的長，再分點【解答】解：（1）△ABC為直角三角形；理由如下：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x1＝1，x2＝2，∴AO＝1，0B＝2．∵OC＝4，∴OB2＝OA?OC＝4，∴OAOB又∵∠AOB＝∠BOC＝90°，∴△AOB∽△BOC，∴∠ABO＝∠BCO，∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴△ABC為直角三角形；（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將點B，點C的坐標(biāo)代入得：b=2?4k+b=0解得k=1∴直線BC的解析式為y=1如圖，延長AB至點A′，使BA′＝AB，連接A′O，交BC于點P，此時△AOP周長最短．∵A′與A關(guān)于BC對稱，∴B是AA′的中點，∵B（0，2），A（1，0），∴A′（﹣1，4）．設(shè)直線OA′的解析式為y＝px，將點A′的坐標(biāo)代入得：﹣p＝4，解得：p＝﹣4，故OA′的解析式為y＝﹣4x，聯(lián)立得：y=?4xy=解得：x=?4∴P(?4∴CP=(?4+∴t=16（3）在點P的運動過程中，存在點P，能夠使以點A，B，P為頂點的三角形與△AOB相似；分兩種情況：①當(dāng)BPOB=ABOA時，△∴BP2解得BP=25在直角三角形OBC中，由勾股定理得：BC=O如果點P1在線段BC上，那么CP1=BC?BP1=25?25如果點P2在線段CB的延長線上，此時點P與點C關(guān)于點B對稱，∴P2（2×0+4，2×2﹣0）2，即P2（4，4）；②當(dāng)BPOA=ABOB時，△∴BP1解得BP=5如果點P3在線段BC上，過點P3作P3H⊥x軸，則CP可得P3H∥OB，∴△CP3H∽△CBO，∴CP∴35∴P3∴OH＝1，∴P3如果點P4在線段CB的延長線上，此時點P4與點P3關(guān)于點B對稱，∴P4(2×0+1，2×2?3綜上所述，在點P的運動過程中，存在點P，能夠使以點A，B，P為頂點的三角形與△AOB相似；P點坐標(biāo)為P1（﹣4，0）或P2（4，4）或P3(?1，3【點評】本題屬于相似形綜合題，主要考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質(zhì)，運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法等知識，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以2cm/s的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以3cm/s的速度向點B勻速運動，設(shè)運動時間為ts（0≤t≤5），連接MN（1）發(fā)現(xiàn)：BM＝2tcm，BN＝（53?3t）cm（用含（2）猜想：若BM＝BN，則t的值為（103?15）（3）探究：是否存在符合條件的t，使△BMN與△ABC相似？若存在，求出t的值：若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用路程等于速度乘以時間即可得出結(jié)論；（2）利用BM＝BN建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，利用