中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點精講專題26 點、直線與圓的位置關(guān)系（解析版）

專題26點、直線與圓的位置關(guān)系中考命題解讀中考命題解讀直線與圓位置關(guān)系的判定是中考考查的熱點，通常出現(xiàn)在選擇題中．考查的重點是切線的性質(zhì)和判定，題型多樣，常與三角形、四邊形、相似、函數(shù)等知識結(jié)合在一起綜合考查．圓與圓位置關(guān)系的判定一般借助兩圓公共點的個數(shù)或利用兩圓半徑與圓心距的關(guān)系來判定，通常出現(xiàn)在選擇題、填空題中.考標(biāo)要求考標(biāo)要求1.探索并了解點和圓、直線和圓以及圓和圓的位置關(guān)系．2．知道三角形的內(nèi)心和外心．3．了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)，會過圓上一點畫圓的切線.考點精講考點精講考點1點與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：d<r點P在⊙O內(nèi)；d=r點P在⊙O上；d>r點P在⊙O外?？键c2過三點的圓過三點的圓不在同一直線上的三個點確定一個圓。三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。考點3直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點；2、直線與圓相切有一個交點；3、直線與圓相交有兩個交點；考點4切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個?？键c5切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴；平分考點6三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心。注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。BOAD（3）S△ABC=BOAD（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C母題精講母題精講【典例1】（2022秋?寬城區(qū)校級期末）如圖，BD是⊙O的直徑，A是BD延長線上的一點，點E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延長線于點C，BC交⊙O于點F，且點E是的中點．求證：AC是⊙O的切線．【解答】證明：連接OE，∵E是的中點，∴∠OBE＝∠CBE．∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∴∠OEB＝∠CBE．∴OE∥BC．∵BC⊥AC，∴∠C＝90°．∴∠AEO＝∠C＝90°，∴DE⊥AC．又∵OE為半圓O的半徑，∴AC是⊙O的切線．【變式1-1】（2022秋?河西區(qū)校級期末）如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于點D，D是BC的中點．（1）求BC的長；（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．【解答】解：（1）連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，又∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴BD＝2，∵D是BC的中點，∴BC＝2BD＝4；（2）連接OD．∵D是BC的中點，O是AB的中點，∴DO是△ABC的中位線，∴OD∥AC，則∠EDO＝∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°∴DE是⊙O的切線．【變式1-2】（2022秋?天河區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AC的中點D在⊙O上，DE⊥BC于E．求證：DE是⊙O的切線．【解答】證明：連接OD，∵AO＝OB，D為AC的中點，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．【典例2】（2022秋?長樂區(qū)期中）如圖，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半徑為3．求證：AB是⊙O的切線．【解答】證明：如圖，過O作OC⊥AB于C，∵OA＝OB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，在Rt△OAC中，OC＝＝＝3，∵⊙O的半徑為3，∴OC為⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．【變式2-1】（2022秋?平潭縣校級期中）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，過點O作OD⊥AB于點D，以點O為圓心，OD的長為半徑作⊙O．求證：AC是⊙O的切線．【解答】證明：連接OA，作OF⊥AC于F，如圖，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切線．【典例3】（2022?鞍山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點E為⊙O上一點，EF∥AC交AB的延長線于點F，CE與AB交于點D，連接BE，若∠BCE＝∠ABC．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OE，∵∠BCE＝∠ABC，∠BCE＝∠BOE，∴∠ABC＝∠BOE，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠BCD，∵EF∥AC，∴∠FEC＝∠ACE，∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，即∠FEO＝∠ACB，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠FEO＝90°，∴FE⊥EO，∵EO是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．（2）解：∵EF∥AC，∴△FEO∽△ACB，∴，∵BF＝2，sin∠BEC＝，設(shè)⊙O的半徑為r，∴FO＝2+r，AB＝2r，BC＝r，∴，解得：r＝3，檢驗得：r＝3是原分式方程的解，∴⊙O的半徑為3．【變式3-1】（2022秋?河西區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，OD⊥AB交AC于點E，∠D＝2∠A．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求證：DE＝DC；（3）若OD＝10，CD＝6，求AE的長．【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，又∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COB．又∵OD⊥AB，∴∠COB+∠COD＝90°，∴∠D+∠COD＝90°，即∠DCO＝90°，∴OC⊥DC，又點C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線；（2）證明：∵∠DCO＝90°，∴∠DCE+∠ACO＝90°，又∵OD⊥AB，∴∠AEO+∠A＝90°，又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC；（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝10，DC＝6，∴OC＝＝＝8，∴OA＝OC＝8，又DE＝DC＝6，∴OE＝OD﹣DE＝4，在Rt△AEO中，由勾股定理得：AE2＝OA2+OE2＝82+42＝80，∴AE＝4．【變式3-2】（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點D、E，且D是AC的中點，過點D作DG⊥BC于點G，交BA的延長線于點H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．【解答】（1）證明：連接OD，∵AD＝DC，AO＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，OD＝BC，∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線HG是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x，則OH＝x+3，BC＝2x，∵OD∥BC，∴∠HOD＝∠B，∴cos∠HOD＝，即＝＝，解得：x＝2，∴BC＝4，BH＝7，∵cosB＝，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．真題精選真題精選命題點1切線性質(zhì)的有關(guān)證明與計算命題點1切線性質(zhì)的有關(guān)證明與計算1．（2022?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝25°，∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，∵PA是⊙O的切線，∴PA⊥AB，∴∠PAO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，故選：C．2．（2022?長沙）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點，若∠AOB＝128°，則∠P的度數(shù)為（）A．32° B．52° C．64° D．72°【答案】B【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB＝128°，∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝52°，故選：B．3．（2022?眉山）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為（）A．28° B．50° C．56° D．62°【答案】C【解答】解：連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝28°，∴∠AOB＝124°，∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP＝180°，∴∠APB+∠AOB＝180°；∴∠APB＝56°．故選：C．4．（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，連接AO交⊙O于點C，延長AO交⊙O于點D，連接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長度是（）A．3 B．4 C．3 D．4【答案】C【解答】解：如圖，連接OB，∵AB是⊙O的切線，B為切點，∴OB⊥AB，∴AB2＝OA2﹣OB2，∵OB和OD是半徑，∴∠D＝∠OBD，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，∴OD：BD＝BD：AD，∴BD2＝OD?AD，即OA2﹣OB2＝OD?AD，設(shè)OD＝x，∵AC＝3，∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（負(fù)值舍去），∴OA＝6，OB＝3，∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，∴AB＝3，故選：C．5．（2021?西寧）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則陰影部分的面積為（）A． B． C．4﹣π D．【答案】C【解答】解：連結(jié)AO、BO、DO，CO，設(shè)⊙O半徑為r，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點D，E，F(xiàn)，∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO∴＝，∴r＝＝2，∵∠C＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，OF＝OE∴四邊形OFCE是正方形，∴∠FOE＝90°，∴S陰影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，故選：C．6．（2022?衢州）如圖，AB切⊙O于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連結(jié)BC．若∠A＝40°，則∠C的度數(shù)為．【答案】25°【解答】解：如圖，連接OB．∵AB是⊙O切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBC，∵∠AOB＝∠C+∠OBC，∴∠C＝25°．故答案為：25°．7．（2022?青島）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，OA與⊙O交于點C，以點A為圓心、以O(shè)C的長為半徑作，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．若OC＝2，AB＝4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】4﹣π【解答】解：連接OB，∵AB是⊙O的切線，B為切點，∴∠OBA＝90°，∴∠BOA+∠A＝90°，由題意得：OB＝OC＝AE＝AF＝2，∴陰影部分的面積＝△AOB的面積﹣（扇形BOC的面積+扇形EAF的面積）＝AB?OB﹣＝×4×2﹣π＝4﹣π，故答案為：4﹣π．命題點2切線判定的有關(guān)證明與計算命題點2切線判定的有關(guān)證明與計算 8．（2022秋?任城區(qū)期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，交AC邊于點F，作DE⊥AC于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若△ABC的邊長為4，求EF的長度．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°．∴∠EDC＝30°．∴∠ODE＝90°．∴DE⊥OD于點D．∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接AD，BF，∵AB為⊙O直徑，∴∠AFB＝∠ADB＝90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等邊三角形，∴，．∵∠EDC＝30°，∴．∴FE＝FC﹣EC＝1．9．（2022秋?亭湖區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)為⊙O上一點，AC平分∠FAB交⊙O于點C．過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半徑．【解答】（1）證明：如圖：連接OC，∵AC平分∠FAB，∴∠FAC＝∠CAO，∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠FAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，∵OC為半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）解：過點O作OE⊥AF于E，∴，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°，∴四邊形OEDC為矩形，∴CD＝OE＝3，DE＝OC，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OC＝DE＝r，∴AE＝9﹣r，∵OA2﹣AE2＝OE2，∴r2﹣（9﹣r）2＝32，解得r＝5．∴⊙O半徑為5．10．（2022?東營）如圖，AB為⊙O的直徑，