【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中人教B版數(shù)學(xué)選修2-1課時(shí)作業(yè)：3.2.1

§3.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用3.2.1直線的方向向量與直線的向量方程課時(shí)目標(biāo)1.理解直線的方向向量，了解直線的向量方程.2.會(huì)用向量方法證明線線、線面、面面的平行.3.會(huì)用向量運(yùn)算證線線垂直，會(huì)求兩直線所成的角．1．用向量表示直線或點(diǎn)在直線上的位置(1)在直線l上給定一個(gè)定點(diǎn)A和它的一個(gè)方向向量a，對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝________或eq\o(OP,\s\up6(→))＝____________或eq\o(OP,\s\up6(→))＝________________(eq\o(AB,\s\up6(→))＝a)，上面三個(gè)向量等式都叫做空間直線的________________．向量a稱為該直線的方向向量．(2)線段AB的中點(diǎn)M的向量表達(dá)式eq\o(OM,\s\up6(→))＝________________.2．用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則由向量共線的條件，得l1∥l2或l1與l2重合?______________.(2)已知兩個(gè)不共線向量v1，v2與平面α共面，一條直線l的一個(gè)方向向量為v，則由共面對(duì)量定理，得l∥α或l在α內(nèi)?____________________________________.(3)已知兩個(gè)不共線向量v1，v2與平面α共面，則由兩平面平行的判定與性質(zhì)，得α∥β或α與β重合?____________________________________.3．用向量運(yùn)算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角(1)設(shè)兩條直線所成的角為θ(銳角)，則兩條直線的方向向量的夾角與θ________________.(2)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，l1與l2的夾角為θ，則l1⊥l2?______________，cosθ＝________________.一、選擇題1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為()A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)2．設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則m等于()A．1B．2C．33．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，則△ABC是()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么異面直線AM與CN所成角的余弦值為A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(3,5)D.eq\f(2,5)5．從點(diǎn)A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長(zhǎng)AB＝34，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)題號(hào)12345答案二、填空題6.如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分別為棱AB、CD、BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，①A1M∥D1P②A1M∥B1Q③A1M∥面DCC1D1④A1M∥面D1PQB1以上結(jié)論中正確的是________．(填寫正確的序號(hào))7.已知點(diǎn)A（4,1,3），B（2，-5,1），C為線段AB上一點(diǎn)且＝eq\f(1,3)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)___________．8．已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___________．9．已知線段AB的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為A(9，－3,4)，B(9,2,1)，則與線段AB平行的坐標(biāo)平面是____________．三、解答題10．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，求證：B1C∥平面ODC11．長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F(xiàn)分別是面A1B1C1D1與面B1BCC1的中心，求異面直線AF與BE力氣提升12．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝eq\r(2)，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．證明：AE⊥平面PBC.1．利用向量可以確定直線，表示點(diǎn)在直線上的位置．2．用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行(1)直線與直線平行、直線與平面平行的向量證法的依據(jù)是空間向量共線、共面定理．(2)利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時(shí)，要留意向量所在的直線與所證直線或平面無(wú)公共點(diǎn)．(3)關(guān)于直線與平面平行、平面與平面平行的證明，還可以用平面的法向量來(lái)完成．3．用向量運(yùn)算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0是證明兩條直線垂直的依據(jù)；兩條直線所成的角是通過(guò)求兩個(gè)向量的夾角得到的．§3.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用3．2.1直線的方向向量與直線的向量方程學(xué)問(wèn)梳理1．(1)taeq\o(OA,\s\up6(→))＋ta(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))向量參數(shù)方程(2)eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))2．(1)v1∥v2(2)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2(3)v1∥β且v2∥β3．(1)相等或互補(bǔ)(2)v1⊥v2|cos〈v1，v2〉|作業(yè)設(shè)計(jì)1．A[∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4,6)，而與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的非零向量都可以作為直線l的方向向量，故選A.]2．B[∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝0，∴m3．C4．D[如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，1))，C(0,1,0)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2))).∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)＝|eq\o(CN,\s\up6(→))|.∴cos〈eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(5),2)·\f(\r(5),2))＝eq\f(2,5).]5．B[設(shè)B(x，y，z)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．]6．①③④解析∵eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(D1P,\s\up6(→))，∴A1M∥D1P∵D1P?面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1又D1P?面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1∵B1Q為平面DCC1D1的斜線，∴B1Q與D1P不平行，∴A1M與B1Q不平行7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，－1，\f(7,3)))解析設(shè)C(x，y，z)，∵C為線段AB上一點(diǎn)且＝eq\f(1,3)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，即(x－4，y－1，z－3)＝eq\f(1,3)(－2，－6，－2)，∴x＝eq\f(10,3)，y＝－1，z＝eq\f(7,3).8．(－1,0,2)解析由已知，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,0,1)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x,1，－z)，由，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＋z＝0,－2x－z＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,z＝2)).∴P(－1,0,2)．9．yOz平面解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,5，－3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))平行于平面yOz.10．證明方法一∵eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1D,\s\up6(→))，B1在直線A1D外，∴B1C∥A1D，又A1D?平面ODC1∴B1C∥平面ODC1方法二∵eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(B1B,\s\up6(→))＝eq\o(B1O,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(D1O,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)).∴eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(OC1,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))共面．又B1C?平面ODC1，∴B1C∥平面ODC11．解以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，B(2,4,0)，C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，∴E(1,2,2)，F(xiàn)(1,4,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1,4,1)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1，－2,2)，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\r(18)＝3eq\r(2)，|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝eq\r(9)＝3，eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1－8＋2＝－5，∴cos〈eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝eq\f(－5,3\r(2)·3)＝－eq\f(5\r(2),18).∵異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，設(shè)AF與BE所成角為θ，則cosθ＝|cos〈eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉|＝eq\f(5\r(2),18).12．證明如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)D(0，a,0)，則B(eq\r(2)，0,0)，C(eq\r(2)，a,0)，P(0,0，eq\r(2))，E(eq\f(\r(2),2)，0，e