【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(北師大版)必修五教案：2.3-考點歸納：解三角形

解三角形【考題回放】1．設分別是的三個內(nèi)角所對的邊，則是的（）（A）充分條件（B）充分而不必要條件（C）必要而充分條件（D）既不充分又不必要條件2．在中，已知，給出以下四個論斷：① ②③ ④其中正確的是（B）（A）①③ （B）②④ （C）①④（D）②③3．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為__________.4．假如的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值，則（）A．和都是銳角三角形B．和都是鈍角三角形C．是鈍角三角形，是銳角三角形D．是銳角三角形，是鈍角三角形5．己知A、C是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，且tanA,tanC是方程x2-px+1-p＝0(p≠0，且p∈R)，的兩個實根，則tan(A+C)=_______，tanA,tanC的取值范圍分別是____和_____，p的取值范圍是__________；(0，)；(0，)；［，1)6．在ΔABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA.【專家解答】設E為BC的中點，連接DE，則DE//AB，且，設BE=x在ΔBDE中可得，，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，【考點透視】本專題主要考查正弦定理和余弦定理．【熱點透析】三角形中的三角函數(shù)關系是歷年高考的重點內(nèi)容之一，本節(jié)主要掛念考生深刻理解正、余弦定理，把握解斜三角形的方法和技巧同學需要把握的力氣：(1)運用方程觀點結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；(2)嫻熟地進行邊角和已知關系式的等價轉(zhuǎn)化；(3)能嫻熟運用三角形基礎學問，正(余)弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式協(xié)作，通過等價轉(zhuǎn)化或構建方程解答三角形的綜合問題，留意隱含條件的挖掘【范例1】【文】在△ABC中，若tanA︰tanB＝，試推斷△ABC的外形．解析由同角三角函數(shù)關系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，sinB≠0．∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝．所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．【點晴】三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形外形時一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關系或角之間關系式，從而得到諸如a2＋b2＝c2，a2＋b2>c2（銳角三角形），a2＋b2＜c2（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其外形，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關系上，要進行探究．【范例2】【文】在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，.(1)求角A的度數(shù)；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.解析【點睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中應用比較廣泛.【范例3】已知△ABC的周長為6，成等比數(shù)列，求（1）△ABC的面積S的最大值；（2）的取值范圍．解析設依次為a，b，c，則a+b+c=6，b2=ac．在△ABC中得,故有．又從而．（１），即．（２）．．【點睛】三角與向量結(jié)合是高考命題的一個亮點.問題當中的字母比較多，這就需要我們接受消元的思想，想方法化多為少，消去一些中介的元素，保留適當?shù)闹髯冊髯冊墙獯饐栴}的基本元素，有效的把握和利用對調(diào)整解題思路是格外有好處的．【變式】在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,△ABC的外接圓半徑R=，且滿足.求角B和邊b的大小；求△ABC的面積的最大值。解析(1)由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB∴sin(B+C)=2sinAcosB∴sinA=2sinAcosB∴cosB=∴B=∵b=2RsinB∴b=3(2)∵=∴當A=時,的最大值是 ．【點睛】三角函數(shù)的最值問題在三角形中的應用【范例4】某觀測站C在城A的南20?西的方向上，由A城動身有一條大路，走向是南40?東，在C處測得距C為31千米的大路上B處有一人正沿大路向A城走去，走了20千米后，到達D處，此時C、D間距離為21千米，問還需走多少千米到達A城？解析據(jù)題意得圖02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60?．設∠ACD=α，∠CDB=β．在△CDB中，由余弦定理得：，．．在△ACD中得．所以還得走15千米到達A城．【點晴】運用解三角形的學問解決實際問題時，關鍵是把題設條件轉(zhuǎn)化為三角形中的已知元素，然后解三角形求之．1．在直角三角形中，兩銳角為A和B，則sinA·sinB(B)（A）.有最大值和最小值 （B）.有最大值但無最小值 （C）.既無最大值也無最小值（D）.有最大值1但無最小值2．已知非零向量與滿足且則為（D）（A）等邊三角形（B）直角三角形（C）等腰非等邊三角形（D）三邊均不相等的三角形3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，則∠C的大小是（A）（A）（B）（C）或（D）或4.一個直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為(A)(A)arccos(B)arcsin(C)arccos(D)arcsin5.已知a+1，a+2，a+3是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是.（0，2）6．已知定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,若的內(nèi)角A滿足,則A的取值范圍是___【文】在中，..的對邊分別為..。若a,b,c成等比數(shù)列，求f(B)=sinB+cosB的值域。若a,b,c成等差數(shù)列，且A-C=，求cosB的值。解析(1)∵,當且僅當時取等號,∵f(B)=sinB+cosB=∵∴的值域為(2)∵∴sinA+sinC=2sinB∵∴C=∴sin()+sin()=2sinB開