【名師一號】2020-2021學年人教A版高中數學選修2-2雙基限時練6

雙基限時練(六)1．若f(x)＝eq\f(lnx,x)(0<a<b<e)，則有()A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b) D．f(a)·f(b)>1解析∵f′(x)＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)，當x∈(0，e)時，lnx∈(0,1)，∴1－lnx>0，即f′(x)>0.∴f(x)在(0，e)上為增函數，又0<a<b<e，∴f(a)<f(b)．答案C2．若在區(qū)間(a，b)內有f′(x)>0，且f(a)≥0，則在(a，b)內有()A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．f(x)≥0解析由題意知f(x)在(a，b)上為增函數，又f(a)≥0，∴在(a，b)內恒有f(x)>0.答案A3．設f(x)在(a，b)內可導，則f′(x)<0是f(x)在(a，b)內單調遞減的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件解析f(x)在(a，b)內有f′(x)<0，則f(x)在(a，b)內單調遞減；反過來，f(x)在(a，b)內單調遞減，則f′(x)≤0.∴f′(x)<0是f(x)在(a，b)內單調遞減的充分不必要條件．答案A4．設f′(x)是函數f(x)的導數，y＝f′(x)的圖象如右圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是()解析分析導函數y＝f′(x)的圖象可知，x<－1時，f′(x)<0.∴y＝f(x)在(－∞，－1)上為減函數；當－1<x<1時，f′(x)>0，∴y＝f(x)在(－1,1)內為增函數；當x>1時，f′(x)<0，∴y＝f(x)在(1，＋∞)上為減函數，只有B符合條件．答案B5．設函數f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若實數a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則()A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0解析∵f′(x)＝ex＋1>0，∴f(x)＝ex＋x－2在其定義域內是增函數．又f(a)＝0，f(1)＝e－1>0，f(0)＝－1<0，∴0<a<1.∵x>0，∴g′(x)＝eq\f(1,x)＋2x>0，∴g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞)上為增函數，而g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，∴g(b)＝0?1<b<2.∴g(a)<0，f(b)>0.故g(a)<0<f(b)．答案A6．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)等于________．解析∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，∴f′(x)＝2x＋2f′∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.答案－47．已知導函數y＝f′(x)的圖象如下圖所示，請依據圖象寫出原函數y＝f(x)的遞增區(qū)間是________．解析由圖象可知，當－1<x<2，或x>5時，f′(x)>0，∴f(x)的遞增區(qū)間為(－1,2)和(5，＋∞)．答案(－1,2)，(5，＋∞)8．下列命題中，正確的是________．①若f(x)在(a，b)內是增函數，則對于任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0；②若在(a，b)內f′(x)存在，則f(x)必為單調函數；③若在(a，b)內的任意x都有f′(x)>0，則f(x)在(a，b)內是增函數；④若x∈(a，b)，總有f′(x)<0，則在(a，b)內f(x)<0.答案③9．已知R上的可導函數f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x2－2x－3)f′(x)<0的解集為________．解析由f(x)的圖象可知，f′(x)<0?－1<x<1；f′(x)>0?x<－1或x>1.因此(x2－2x－3)f′(x)<0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3>0，,f′x<0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3<0，,f′x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>3，,－1<x<1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<3，,x<－1或x>1，))即1<x<3.答案{x|1<x<3}10．已知f(x)＝ex－ax，求f(x)的單調區(qū)間．解∵f(x)＝ex－ax.∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a.當a≤0時，有f′(x)>0在R上恒成立；當a>0時，有x≥lna.令f′(x)≤0，得ex≤a，當a>0時，x≤lna.綜上，當a≤0時，f(x)的單調增區(qū)間為(－∞，＋∞)；當a>0時，f(x)的增區(qū)間為[lna，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，lna]．11．若函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)上為減函數，在區(qū)間(6，＋∞)上為增函數，試求實數a的取值范圍．解函數f(x)的導數f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1，或x＝a－1.當a－1≤1，即a≤2時，函數f(x)在(1，＋∞)上為增函數，不合題意．當a－1>1，即a>2時，函數f(x)在(－∞，1)上為增函數，在(1，a－1)上為減函數，在(a－1，＋∞)上為增函數．依題意應有當x∈(1,4)時，f′(x)<0，當x∈(6，＋∞)時，f′(x)>0.所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.所以a的取值范圍是[5,7]．12．設函數f(x)＝xekx(k≠0)．(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)求函數f(x)的單調區(qū)間；(3)若函數f(x)在區(qū)間(－1,1)內單調遞增，求k的取值范圍．解(1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝x.(2)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－eq\f(1,k)(k≠0)．若k>0，則當x∈(－∞，－eq\f(1,k))時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；當x∈(－eq\f(1,k)，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．若k<0，則當x∈(－∞，－eq\f(1,k))時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；當x∈(－eq\f(1,k)，＋∞)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減．(3)由(2)知，若k>0，