【復(fù)習(xí)參考】2021年高考數(shù)學(xué)(理)提升演練：變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

2021屆高三數(shù)學(xué)（理）提升演練：變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例一、選擇題1.設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論正確的是()A．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率B．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間C．當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個數(shù)肯定相同D．直線l過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))2．通過隨機(jī)詢問110名性別不同的高校生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”3．一位母親記錄了自己兒子3～9歲的身高數(shù)據(jù)(略)，由此建立的身高與年齡的回歸模型為eq\o(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.93，用這個模型猜測這個孩子10歲時的身高，則正確的敘述是()A．身高肯定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm左右D．身高在145.83cm以下4．如圖5個(x，y)數(shù)據(jù)，去掉D(3,10)后，下列說法錯誤的是()A．相關(guān)系數(shù)r變大B．殘差平方和變大C．相關(guān)指數(shù)R2變大D．解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強(qiáng)5．某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x＋200 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝10x＋200C.eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x－200 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝10x－2006．下列四個命題正確的是()①線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱；②殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；③用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好；④隨機(jī)誤差e是衡量預(yù)報精確度的一個量，它滿足E(e)＝0.A．①③ B．②④C．①④ D．②③二、填空題7．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321.由回歸方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．8．某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法猜測他孫子的身高為________cm.9．其次十屆世界石油大會將于2011年12月4日～8日在卡塔爾首都多哈進(jìn)行，能源問題已經(jīng)成為全球關(guān)注的焦點(diǎn)．某工廠經(jīng)過技術(shù)改造后，降低了能源消耗，經(jīng)統(tǒng)計該廠某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位：噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位：噸)有如下幾組樣本數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5依據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，通過線性回歸分析，求得回歸直線的斜率為0.7.已知該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為10噸，則該工廠每年大約消耗的汽油為________噸．三、解答題10．已知x，y的一組數(shù)據(jù)如下表：x13678y12345(1)從x，y中各取一個數(shù)，求x＋y≥10的概率；(2)對于表中數(shù)據(jù)，甲、乙兩同學(xué)給出的擬合直線分別為y＝eq\f(1,3)x＋1與y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，試?yán)谩白钚∑椒椒?也稱最小二乘法)”推斷哪條直線擬合程度更好．11．為了分析某個高三同學(xué)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)供應(yīng)指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學(xué)成果x、物理成果y進(jìn)行分析．下面是該生7次考試的成果.數(shù)學(xué)888311792108100112物理949110896104101106(1)他的數(shù)學(xué)成果與物理成果哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明；(2)已知該生的物理成果y與數(shù)學(xué)成果x是線性相關(guān)的，若該生的物理成果達(dá)到115分，請你估量他的數(shù)學(xué)成果大約是多少？并請你依據(jù)物理成果與數(shù)學(xué)成果的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議．(其中，數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)))12．某同學(xué)對其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主．)甲(50歲以下)乙(50歲以上)15386784532023456789015676237964528158(1)依據(jù)莖葉圖，掛念這位同學(xué)說明其親屬30人的飲食習(xí)慣；(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2的列聯(lián)表：主食蔬菜主食肉類合計50歲以下50歲以上合計(3)能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)，并寫出簡要分析．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828詳解答案一、選擇題1.解析：回歸直線過樣本中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．答案：D2．解析：依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，正確選項(xiàng)為A.答案：A3．解析：用回歸模型eq\o(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.93，只能作猜測，其結(jié)果不肯定是一個確定值．答案： C4．解析：相關(guān)系數(shù)r越接近1，R2越大，殘差平方和越小，擬合效果越好．答案：B5．解析：由圖象可知，選項(xiàng)B、D為正相關(guān)，選項(xiàng)C不符合實(shí)際意義，只有A項(xiàng)符合要求．答案：A6．解析：線性相關(guān)系數(shù)r滿足|r|≤1，并且|r|越接近1，線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近0，線性相關(guān)程度越弱，故①錯誤；③相關(guān)指數(shù)是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)．相關(guān)指數(shù)越大，模型擬合效果越好．故②④正確答案：B二、填空題7．解析：以x＋1代x，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254(x＋1)＋0.321，與eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321相減可得，年飲食支出平均增加0.254萬元．答案：0.2548．解析：設(shè)父親身高為xcm，兒子身高為ycm，則x173170176y170176182eq\o(x,\s\up6(－))＝173，eq\o(y,\s\up6(－))＝176，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(0×－6＋－3×0＋3×6,02＋9＋9)＝1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝176－1×173＝3，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋3，當(dāng)x＝182時，eq\o(y,\s\up6(^))＝185.答案：1859．解析：由題知，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，故樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)為A(4.5,3.5)．設(shè)回歸方程為y＝0.7x＋b，將中心點(diǎn)坐標(biāo)代入得：3.5＝0.7×4.5＋b，解得b＝0.35，故回歸方程為y＝0.7x＋0.35，所以當(dāng)x＝10時，y＝0.7×10＋0.35＝7.35，即該工廠每年大約消耗的汽油為7.35噸．答案：7.35三、解答題10．解：(1)從x，y中各取一個數(shù)組成數(shù)對(x，y)，共有25對，其中滿足x＋y≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9對．故所求概率P＝eq\f(9,25).(2)用y＝eq\f(1,3)x＋1作為擬合直線時，所得y值與y的實(shí)際值的差的平方和為S1＝(eq\f(4,3)－1)2＋(2－2)2＋(3－3)2＋(eq\f(10,3)－4)2＋(eq\f(11,3)－5)2＝eq\f(7,3).用y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)作為擬合直線時，所得y值與y的實(shí)際值的差的平方和為S2＝(1－1)2＋(2－2)2＋(eq\f(7,2)－3)2＋(4－4)2＋(eq\f(9,2)－5)2＝eq\f(1,2).∵S2<S1，∴直線y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)的擬合程度更好．11．解：(1)∵eq\o(x,\s\up6(－))＝100＋eq\f(－12－17＋17－8＋8＋12,7)＝100，eq\o(y,\s\up6(－))＝100＋eq\f(－6－9＋8－4＋4＋1＋6,7)＝100，∴seq\o\al(2,數(shù)學(xué))＝eq\f(994,7)＝142，∴seq\o\al(2,物理)＝eq\f(250,7)，從而seq\o\al(2,數(shù)學(xué))>seq\o\al(2,物理)，∴該生的物理成果更穩(wěn)定．(2)由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xiyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)x\o\al(2,2)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(497,994)＝0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝100－0.5×100＝50，∴線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5x＋50.當(dāng)y＝115時，x＝13