【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆數(shù)學(xué)一輪(理科)北師大版-課時(shí)作業(yè)10-3-第十章-統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

第3講相關(guān)性、最小二乘估量與統(tǒng)計(jì)案例基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(2021·湖北七市(州)聯(lián)考)為爭(zhēng)辯語(yǔ)文成果和英語(yǔ)成果之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)兩科成果得到如圖所示的散點(diǎn)圖(兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相同)，用回歸直線y＝bx＋a近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，依據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是 ()A．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為3.25B．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為0.83C．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為－0.87D．線性相關(guān)關(guān)系太弱，無爭(zhēng)辯價(jià)值解析依題意，留意到題中的相關(guān)的點(diǎn)均集中在某條直線的四周，且該直線的斜率小于1，結(jié)合各選項(xiàng)知，故選B.答案B2.設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論正確的是 ()A．直線l過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率C．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間D．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)肯定相同解析由樣本的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關(guān)系數(shù)表示為x與y之間的線性相關(guān)程度，不表示直線l的斜率，故B錯(cuò)；x和y的相關(guān)系數(shù)應(yīng)在－1到0之間，故C錯(cuò)；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)并不確定平均，無論樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故D錯(cuò)．答案A3．(2022·重慶卷)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是 ()A．y＝0.4x＋2.3B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5D．y＝－0.3x＋4.4解析由于變量x和y正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排解選項(xiàng)C和D.由于樣本點(diǎn)的中心在回歸直線上，把點(diǎn)(3,3.5)的坐標(biāo)分別代入選項(xiàng)A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可以排解B，故選A.答案A4．(2021·鄭州質(zhì)量猜測(cè))通過隨機(jī)詢問110名性別不同的同學(xué)是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110附表：P(χ2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828若由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.參照附表，得到的正確結(jié)論是 ()A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”解析依題意，由于P(7.8≥6.635)＝0.010，因此有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，故選A.答案A5．(2022·寶雞復(fù)習(xí)檢測(cè))下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個(gè)線性回歸方程y＝3－5x，變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y平均增加5個(gè)單位；③設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，則|r|越接近于0，x和y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；④在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由計(jì)算得χ2的值，則χ2的值越大，推斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是 ()A．0 B．1C．2 D．3解析方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故①正確；在回歸方程y＝3－5x中，變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y平均減小5個(gè)單位，故②不正確；依據(jù)線性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，|r|越接近于1，相關(guān)程度越強(qiáng)，故③不正確；對(duì)分類變量x與y的隨機(jī)變量的值χ2來說，χ2越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故④正確．綜上所述，錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)為2，故選C.答案C二、填空題6．已知回歸方程y＝4.4x＋838.19，則可估量x與y的增長(zhǎng)速度之比約為________．解析x每增長(zhǎng)1個(gè)單位，y增長(zhǎng)4.4個(gè)單位，故增長(zhǎng)的速度之比約為1∶4.4＝5∶22.事實(shí)上所求的比值為回歸直線方程斜率的倒數(shù)．答案5∶227．(2021·嘉興聯(lián)考)為了推斷高中三班級(jí)同學(xué)是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名同學(xué)，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系的可能性約為________．解析∵χ2≈4.844，依據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)當(dāng)斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種推斷的可能性約為95%.答案95%8．某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法猜測(cè)他孫子的身高為________cm.解析兒子和父親的身高可列表如下：父親身高173170176兒子身高170176182設(shè)線性回歸方程為y＝a＋bx，由表中的三組數(shù)據(jù)可求得b＝1，且過中心點(diǎn)(173,176)，故a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝176－173＝3，故線性回歸方程為y＝3＋x，將x＝182代入得孫子的身高為185cm.答案185三、解答題9．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的修理費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下表的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x(年)23456修理費(fèi)用y(萬(wàn)元)2.23.85.56.57.0若由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：(1)線性回歸直線方程；(2)依據(jù)回歸直線方程，估量使用年限為12年時(shí)，修理費(fèi)用是多少？解(1)列表i12345合計(jì)xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xeq\o\al(2,i)4916253690eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5；eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90；eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝1.23，于是a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.所以線性回歸直線方程為y＝1.23x＋0.08.(2)當(dāng)x＝12時(shí)，y＝1.23×12＋0.08＝14.84(萬(wàn)元)，即估量使用12年時(shí)，修理費(fèi)用是14.84萬(wàn)元．10．(2021·深圳調(diào)研)某企業(yè)通過調(diào)查問卷(滿分50分)的形式對(duì)本企業(yè)900名員工的工作滿足度進(jìn)行調(diào)查，并隨機(jī)抽取了其中30名員工(16名女員工，14名男員工)的得分，如下表：女47363248344443474641434250433549男3735344346363840393248334034(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，估量該企業(yè)得分大于45分的員工人數(shù)；(2)現(xiàn)用計(jì)算器求得這30名員工的平均得分為40.5分，若規(guī)定大于平均得分為“滿足”，否則為“不滿足”，請(qǐng)完成下列表格：“滿足”的人數(shù)“不滿足”的人數(shù)合計(jì)女16男14合計(jì)30(3)依據(jù)上述表中數(shù)據(jù)，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法推斷，能否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿足”有關(guān)？解(1)從表中可知，30名員工中有8名得分大于45分，所以任選一名員工，他(她)的得分大于45分的概率是eq\f(8,30)＝eq\f(4,15)，所以估量此次調(diào)查中，該單位約有900×eq\f(4,15)＝240名員工的得分大于45分．(2)完成下列表格：“滿足”的人數(shù)“不滿足”的人數(shù)合計(jì)女12416男31114合計(jì)151530(3)假設(shè)H0：性別與工作是否滿足無關(guān)，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得χ2＝eq\f(30×12×11－3×42,15×15×16×14)≈8.571＞6.635，∴有99%的把握認(rèn)為性別與工作是否滿足有關(guān)．力量提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)依據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程y＝bx＋a，若某同學(xué)依據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是 ()A．b>b′，a>a′ B．b>b′，a<a′C．b<b′，a>a′ D．b<b′，a<a′解析由題意可知，b′＝2，a′＝－2，b＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(5,7).a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×eq\f(7,2)＝－eq\f(1,3)，∴b<b′，a>a′，選C.答案C12．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，依據(jù)大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成果，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30合計(jì)已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成果優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，則下列說法正確的是 ()A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的牢靠性要求，能認(rèn)為“成果與班級(jí)有關(guān)系”D．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的牢靠性要求，不能認(rèn)為“成果與班級(jí)有關(guān)系”解析由題意知，成果優(yōu)秀的同學(xué)數(shù)是30，成果非優(yōu)秀的同學(xué)數(shù)是75，所以c＝20，b＝45，選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.6>3.841，因此有95%的把握認(rèn)為“成果與班級(jí)有關(guān)系”．答案C13．某醫(yī)療爭(zhēng)辯所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得χ2≈3.918，對(duì)此，四名同學(xué)得出了以下的推斷：p：有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；q：若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；s：這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.則下列結(jié)論中，真命題的序號(hào)是________．①p且綈q；②綈p且q；③(綈p且綈q)且(r或s)；④(p或綈r)且(綈q或s)．解析∵χ2≈3.918＞3.841，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”，即命題p正確，命題q，r，s均不正確．對(duì)①②③④依次進(jìn)行推斷，可知①④正確．答案①④14．某中學(xué)爭(zhēng)辯性學(xué)習(xí)小組，為了爭(zhēng)辯高中同學(xué)的作文水平是否與愛看課外書有關(guān)系，在本校高三班級(jí)隨機(jī)調(diào)查了50名同學(xué)．調(diào)查結(jié)果表明：在愛看課外書的25人中有18人作文水平好，另外7人作文水平一般；在不愛看課外書的25人中有6人作文水平好，另外19人作文水平一般．(1)試依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表，并運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想，指出有多大把握認(rèn)為高中同學(xué)的作文水平與愛看課外書有關(guān)系；愛看課外書不愛看課外書總計(jì)作文水平好作文水平一般總計(jì)(2)將其中某5名愛看課外書且作文水平好的同學(xué)分別編號(hào)為1,2,3,4,5，某5名愛看課外書且作文水平一般的同學(xué)也分別編號(hào)為1,2,3,4,5，從這兩組同學(xué)中各任選1人進(jìn)行學(xué)習(xí)溝通，求被選取的2名同學(xué)的編號(hào)之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率．參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：P(χ2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)2×2列聯(lián)表如下：愛看課外書不愛看課外書總計(jì)作文水平好18624作文水平一般71926總計(jì)252550由于χ2＝eq\f(50×18×19－6×72,25×25×24×26)＝eq\f(150,13)≈11.538>10.828，由表知P(χ2≥10.828)＝0.001，所以有99.9%的把握認(rèn)為高中同學(xué)的作文水平與愛看課外書有關(guān)系．(2)設(shè)“被選取的2名同學(xué)的編號(hào)之和為3的倍數(shù)”為大事A，“被選取的2名同學(xué)的編號(hào)之和為4的倍數(shù)”為大事B.則基本大事為123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2