2021版《紅對勾·講與練》高中數學北師大版必修五：課時作業(yè)8-等比數列的性質及應用

課時作業(yè)8等比數列的性質及應用時間：45分鐘滿分：100分一、選擇題(每小題5分，共35分)1．在等比數列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，則公比為()A.eq\r(2)，eq\f(\r(2),2) B．±eq\r(2)C．±eq\f(\r(2),2) D．±eq\r(2)，±eq\f(\r(2),2)【答案】D【解析】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3·a7＝a2·a8＝36,a3＋a7＝15))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7＝12,a3＝3))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7＝3,a3＝12))，所以q4＝4或q4＝eq\f(1,4)，所以q＝±eq\r(2)，或q＝±eq\f(\r(2),2).2．已知等比數列{an}的公比為q，且a5a9＝4aeq\o\al(2,6)，a2＝1，則a1＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．±eq\f(1,2) D．±2【答案】C【解析】∵a5a9＝aeq\o\al(2,7)，∴aeq\o\al(2,7)＝4aeq\o\al(2,6)，∴eq\f(a\o\al(2,7),a\o\al(2,6))＝4，∴q＝eq\f(a7,a6)＝±2，∴a1＝±eq\f(1,2).3．在等比數列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3A．9 B．10C．11 D．12【答案】C【解析】am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q因此有m＝11.4．已知項數相同的等比數列{an}和{bn}，公比為q1，q2(q1，q2≠1)，則下列數列①{3an}；②{eq\f(2,an)}；③{3an}；④{2an－3bn}；⑤{2an·3bn}中為等比數列的個數是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】利用等比數列的定義或性質來處理．對于①，公比為q1；對于②，公比為eq\f(1,q1)；對于③，令an＝2n－1，則數列{3an}為：3,32,34,38，…，由于eq\f(32,3)≠eq\f(34,32)，故不是等比數列；對于④，數列的項可能為零；對于⑤，公比為q1q2.故選C.5．已知等比數列{an}中，an>0，(2a4＋a2＋a6)a4＝36，則a3＋a5A．3 B．6C．4 D．5【答案】B【解析】∵{an}是等比數列，an>0，∴(2a4＋a2＋a6)a4?2aeq\o\al(2,4)＋a2a4＋a4a6＝36?2a3a5＋aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,5)＝36?(a3＋a5)2＝36?a3＋a5＝6.6．設等差數列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k等于()A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【解析】由{an}是等差數列且a1＝9d，得ak＝a1＋(k－1)d＝(k＋8)d，a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d，又由于ak是a1與a2k的等比中項，則有aeq\o\al(2,k)＝a1·a2k.即[(k＋8)d]2＝9d×[(2k＋8)d]，整理得k2－2k－8＝0，解之得k1＝4，k2＝－2(舍去)．7．抽氣機每次抽出容器內空氣的60%，要使容器內剩下的空氣少于原來的0.1%，則至少要抽(參考數據：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．15次 B．14次C．9次 D．8次【答案】D【解析】容器內的空氣剩余量為{an}，則an＝(1－0.6)n＝0.4n，要使容器內剩余空氣少于原來的0.1%，則有an<0.1%，即0.4n<0.001＝10－3，兩邊取對數有nlg0.4<－3，∴n>7.5，又n∈N＋，∴n＝8.二、填空題(每小題5分，共15分)8．設數列{an}的前n項和為Sn＝3n－c，若數列{an}為等比數列，則c的值為________．【答案】1【解析】∵Sn＝3n－c，∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1，若{an}為等比數列，則eq\f(an,an－1)＝3＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(2×3,3－c)，得c＝1.9．等差數列{an}中，a1＝2，公差不為零，a1，a3，a11恰為某等比數列的前三項，那么該等比數列的公比等于________．【答案】4【解析】解法一：設a1，a3，a11組成的等比數列公比為q，∴a3＝a1q＝2q，a11＝a1q2＝2q2，又∵數列{an}是等差數列，∴a11＝a1＋5(a3－a1)，∴2q2＝a1＋5(2q－a1)，∴2q2＝2＋5(2q－2)，解得q＝4或q＝1(舍)，∴q＝4.解法二：∵a3＝a1＋2d＝2＋2d，a11＝2＋10d，∴(2＋2d)2＝2(2＋10d)，∴d＝3或0(舍)，∴a3＝8，∴q＝eq\f(a3,a1)＝4.10．b既是a和c的等差中項，又是a和c的等比中項，則數列a，b，c的公比為________．【答案】1【解析】∵2b＝a＋c，ac＝b2，∴ac＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝eq\f(a＋c2,4)，∴4ac＝a2＋c2＋2∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2∴a＝c，∴a，b，c的公比為1.三、解答題(共50分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)11．(15分)已知等比數列{an}．(1)若a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42，求a5與a7的等比中項；(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求【解析】(1)設等比數列的公比為q，首項為a1，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＋a1q2＝168,a1q－a1q4＝42))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝168①,a1q1－q3＝42②))由于1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，eq\f(②,①)得q(1－q)＝eq\f(1,4)，故q＝eq\f(1,2)，所以a1＝eq\f(42,\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4)＝96.設G是a5，a7的等比中項，則應有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aeq\o\al(2,1)q10＝962×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10＝9，G＝±3.故a5，a7的等比中項是±3.(2)解法一：由于a1a3＝aeq\o\al(2,2)，所以a1a2a3＝aeq\o\al(3,2)＝8，所以a2＝2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＝5,a1a3＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,a3＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4,a3＝1)).所以an＝2n－1或an＝23－n.解法二：設公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＋a1q2＝7,a1·a1q·a1q2＝8))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝7③,a1q＝2④))由④得a1＝eq\f(2,q)，代入③得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝eq\f(1,2).由④得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4,q＝\f(1,2)))，所以an＝2n－1或an＝23－n.12．(15分)已知數列{an}的首項a1＝a≠eq\f(1,4)，且滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)an，n為偶數，,an＋\f(1,4)，n為奇數.))記bn＝a2n－1－eq\f(1,4)，n＝1,2,3，….(1)求a2，a3.(2)推斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論．【解析】(1)a2＝a1＋eq\f(1,4)＝a＋eq\f(1,4)，a3＝eq\f(1,2)a2＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,8).(2)由于a4＝a3＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,8)，所以a5＝eq\f(1,2)a4＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,16).所以b1＝a1－eq\f(1,4)＝a－eq\f(1,4)≠0，b2＝a3－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)(a－eq\f(1,4))，b3＝a5－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)(a－eq\f(1,4))．猜想：{bn}是首項為a－eq\f(1,4)，公比為eq\f(1,2)的等比數列．證明如下：由于bn＋1＝a2n＋1－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)a2n－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)(a2n－1＋eq\f(1,4))－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)(a2n－1－eq\f(1,4))＝eq\f(1,2)bn(n∈N＋)，又a≠eq\f(1,4)，所以bn≠0，所以eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(1,2)(常數)．所以{bn}是首項為a－eq\f(1,4)，公比為eq\f(1,2)的等比數列．13．(20分)已知數列{an}前n項和Sn＝2n2－3n，數列{bn}是各項為正的等比數列，滿足a1＝－b1，b3(a2－a1)＝b1.(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；(2)記cn＝an·bn，求cn的最大值．【解析】(1)∵an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2))，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1n＝1,4n－5n≥2))，即an＝4n－5(n∈N＋)，由已知b1＝1