【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-1教案：第2章-空間向量基本定理-參考教案

2.3.2空間向量基本定理教案一、教學(xué)目標(biāo)：1．學(xué)問(wèn)目標(biāo)：把握空間向量基底的概念；了解空間向量的基本定理及其推論；了解空間向量基本定理的證明。2．力氣目標(biāo)：理解空間任一向量可用空間三個(gè)不共面對(duì)量唯一線性表示，會(huì)在平行六面體、四周體為背景的幾何體中選用空間三個(gè)不共面對(duì)量作基底，表示其它向量。會(huì)作空間任一向量的分解圖。類比平面對(duì)量的基本定理學(xué)習(xí)空間向量基本定理，培育同學(xué)類比、聯(lián)想、維數(shù)轉(zhuǎn)換的思想方法和空間想象力氣。3．情感目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，從生活中的常見(jiàn)現(xiàn)象引入課題，開(kāi)頭就引起同學(xué)極大的學(xué)習(xí)愛(ài)好，讓同學(xué)簡(jiǎn)潔切入課題，培育同學(xué)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，體現(xiàn)新課程改革的理念之一，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活實(shí)踐的聯(lián)系。二、教學(xué)重難點(diǎn)：1.教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的分解作圖，用不同的基底表示空間任一向量。機(jī)敏運(yùn)用空間向量基本定理證明空間直線的平行、共面問(wèn)題。2.教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用空間向量基本定理表示空間任一向量，并能依據(jù)表達(dá)式推斷向量與基底的關(guān)系。三、教學(xué)方法：在多媒體和實(shí)物模型的環(huán)境下，同學(xué)分組自主與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，老師引導(dǎo)、參與同學(xué)活動(dòng)和爭(zhēng)辯的民主式的教學(xué)。四、教學(xué)過(guò)程（一）、引入：對(duì)比平面對(duì)量的基本定理，生活實(shí)際需要向三維空間進(jìn)展（播放美伊戰(zhàn)斗畫面，地面的坦克如何瞄準(zhǔn)空中的飛機(jī)畫面），推廣到空間向量的基本定理。用向量來(lái)描述：若空間三個(gè)向量不共面，那么空間的任一向量都可以用這三個(gè)向量表示。我們爭(zhēng)辯一下怎么表示。（提示同學(xué)思考平面的任一向量怎么用平面對(duì)量的基底表示）同學(xué)：、是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則該平面內(nèi)的任一向量都可以表示為=λ1+λ2，其中λ1、λ2是一對(duì)唯一的實(shí)數(shù)。（二）、推廣:請(qǐng)同學(xué)猜想推廣到空間向量的基本定理如何？同學(xué)：空間向量的基本定理：假如空間三個(gè)向量、、不共面，則空間的任一向量都可表示為x+y+z。師：若猜想正確，則給出證明，若猜想不正確，先給出定理，再證明。老師板演證明：設(shè)空間三個(gè)不共面的向量=，=，=，=是空間任一向量，過(guò)P作PD∥OC交平面OAB于D，則=+，由空間兩直線平行的充要條件知=z，由平面向量的基本定理知向量與、共面，則=x+y，所以，存在x,y,z使得=x+y+z。這樣的實(shí)數(shù)x,y,z是否唯一呢？用反證法證明：若另有不同于x,y,z的實(shí)數(shù)x1,y1,z1滿足=x1+y1+z1，則x+y+z=x1+y1+z1，即(x－x1)+(y－y1)+(z－z1)=又、、不共面，則x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x,y,z是唯一的實(shí)數(shù)。這樣，就把平面對(duì)量的基本定理推廣到空間向量的基本定理。老師介紹相關(guān)概念：其中{、、}叫做空間向量的一個(gè)基底，、、都叫做基向量。師：對(duì)于空間向量的基底{、、}的理解，要明確：①空間任意不共面的三個(gè)向量都可以作為向量的基底，基底不唯一；②三個(gè)向量不共面，隱含它們都是非零向量；③基底是一個(gè)集合，一個(gè)向量組，一個(gè)向量不能構(gòu)成基底，基向量是基底中的某一向量。④通常選擇共點(diǎn)不共面的三個(gè)向量作為空間向量的基底。⑤若{、、}是空間向量的一個(gè)基底，則由這三個(gè)基向量還能生成其它的基底嗎？引導(dǎo)同學(xué)舉例說(shuō)明，結(jié)果不唯一，通過(guò)思考培育同學(xué)的發(fā)散思維。如:+、+、+；2+3、4、等構(gòu)成向量的基底。能否由原來(lái)的基向量生成新的基底，取決于生成的新向量是否共面，即其中的一個(gè)向量能否用另兩個(gè)向量線性表示，請(qǐng)同學(xué)任憑說(shuō)一組向量，大家推斷這組向量能否構(gòu)成向量的基底。通過(guò)老師的引導(dǎo)，不僅讓同學(xué)理解空間向量的基本定理，還要讓同學(xué)學(xué)會(huì)把平面對(duì)量的學(xué)問(wèn)遷移到空間向量來(lái)，用進(jìn)展、聯(lián)系的觀點(diǎn)看以前在平面對(duì)量中成立的結(jié)論，空間向量比平面對(duì)量進(jìn)展了什么，保留了什么，滲透辨證法的思想。特殊地，當(dāng)x=0,則與、共面；若y=0，則與、共面；若z=0，則與、共面。當(dāng)x=0,y=0時(shí)，與共線；當(dāng)x=0,z=0時(shí)，與共線；當(dāng)\y=0,z=0時(shí)，與共線.說(shuō)明每一次維數(shù)增加了，高維數(shù)的定理不但進(jìn)展了低維數(shù)的定理，并包含了低維數(shù)的結(jié)論，使得原來(lái)的定理仍適用，這種進(jìn)展是繼承的進(jìn)展，是合理的進(jìn)展。這不僅體現(xiàn)在平面對(duì)空間的遷移，也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)中其它學(xué)問(wèn)的遷移（如數(shù)系的進(jìn)展）。（三）、類比：對(duì)比平面對(duì)量中成立的結(jié)論推廣到空間是什么相應(yīng)的結(jié)論：平面對(duì)量中成立的結(jié)論空間向量中成立的結(jié)論(同學(xué)回答)向量與非零向量共線存在唯一實(shí)數(shù)λ使得=λ向量與非零向量共線存在唯一實(shí)數(shù)λ使得=λ（用來(lái)證明空間向量共線或直線平行）同一平面的任意兩個(gè)向量都共面向量、是空間不共線的兩個(gè)向量，則向量與向量、共面存在唯一實(shí)數(shù)x,y使得=x+y（用來(lái)證明空間向量共面）若=，=，則+=，是平行四邊形的對(duì)角線AAOCB若=，=，=，則++是平行六面體的體對(duì)角線向量、不共線，則P在AB上存在實(shí)數(shù)λ、μ使得=λ+μ且λ+μ=1OPOPBA向量、、不共線，則P在平面ABC內(nèi)存在實(shí)數(shù)λ、μ、ω使得=λ+μ+ω且λ+μ+ω=1OPOPBCA（四）、例題：例1、在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，=，=，=，P是CA1的中點(diǎn)，M是CD1的中點(diǎn)，N是C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1，ABCDA1B1C1D1PABCDA1B1C1D1PMNQO分析：所求的向量與基底都共點(diǎn)，符合平行四邊形法則的特征，盡量將所求向量作為平行四邊形的對(duì)角線。解：（1）由P是CA1的中點(diǎn)，得=（+）=（++）=（++）（2）=+=+=（+）++=++法2：=+=++=++（3）=+=+=+（+）=+=(+)+例2、在例1中，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，推斷AQ和OC1所在直線的位置關(guān)系。解：由例1得：=(+)+，=+=+=（+）+則和與（+）和共面，又≠λ，則AQ和OC1所在直線不能平行，只能相交。追問(wèn)：要使AQ和OC1所在直線平行，則O應(yīng)在AC的什么位置？分析：要使AQ和OC1所在直線平行，則=λ=λ[(+)+]又=+，設(shè)=μ=μ（+）則λ[(+)+]=μ（+）+，即λ+λ+λ=μ+μ+，由、、不共面即空間向量基本定理的唯一性知：，所以，OC=AC同學(xué)可能不愿定用剛學(xué)過(guò)的不生疏的向量法去做，而是用平面幾何的方法，依據(jù)平行線分線段成比例定理，也應(yīng)加以確定，讓同學(xué)自己從中體會(huì)向量幾何與平面幾何風(fēng)格的不同，更深地了解向量幾何側(cè)重定量爭(zhēng)辯，即將空間任一向量放在空間坐標(biāo)系中，用向量的基底表示，再進(jìn)行運(yùn)算，思路簡(jiǎn)捷，不需要很強(qiáng)的演繹推理。A1A1AQCCC1OR易證△AA1Q≌△CC1R，則CR=A1Q=CQ，又，所以=（五）、練習(xí)：已知向量=－2+3，=2+，=6－2+6，推斷+與能否共面或共線？－3與－2能否共面或共線？+=3－+3，=