【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(理科)人教B版-第五章-平面向量-5-2

第2講向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(2022·福建卷)在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)解析由題意知，A選項(xiàng)中e1＝0，C，D選項(xiàng)中兩向量均共線，都不符合基底條件，故選B.答案B2．(2022·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知在?ABCD中，eq\o(AD,\s\up8(→))＝(2，8)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3，4)，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)M，則eq\o(AM,\s\up8(→))＝ ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－6)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，6))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－6)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，6))解析由于在?ABCD中，有eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))，所以eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)×(－1，12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，6))，故選B.答案B3．(2022·青島質(zhì)量檢測(cè))已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的 ()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析由題意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要條件，故選A.答案A4．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，則c等于 ()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b解析設(shè)c＝λa＋μb，∴(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝λ＋μ，,2＝λ－μ，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.答案B5.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，且eq\o(BP,\s\up8(→))＝2eq\o(PA,\s\up8(→))，則 ()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析由題意知eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))，又eq\o(BP,\s\up8(→))＝2eq\o(PA,\s\up8(→))，所以eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案A二、填空題6．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值為________．解析由于a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u(píng)＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)．又由于u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7．若三點(diǎn)A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為________．解析eq\o(AB,\s\up8(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________．解析以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長為1)，則A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up8(→))＝(－1，1)，b＝eq\o(OB,\s\up8(→))＝(6，2)，c＝eq\o(BC,\s\up8(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(λ,μ)＝4.答案4三、解答題9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，eq\o(CA,\s\up8(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up8(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up8(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up8(→))的坐標(biāo)．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up8(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，∴M(0，20)．又∵eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up8(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2)．∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝(9，－18)．10．如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知eq\o(AM,\s\up8(→))＝c，eq\o(AN,\s\up8(→))＝d，試用c，d表示eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→)).解法一設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，則a＝eq\o(AN,\s\up8(→))＋eq\o(NB,\s\up8(→))＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b))， ①b＝eq\o(AM,\s\up8(→))＋eq\o(MD,\s\up8(→))＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a)). ②將②代入①，得a＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a))))，∴a＝eq\f(4,3)d－eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(2d－c)， ③將③代入②，得b＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(2,3)(2d－c)＝eq\f(2,3)(2c－d)．∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．法二設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b.因M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a，因而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a，,d＝a＋\f(1,2)b))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)（2d－c），,b＝\f(2,3)（2c－d），))即eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．力量提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為 ()A．30° B．60° C．90° D．120°解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，整理得b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又0°<C<180°，∴C＝60°.答案B12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)且∠AOC＝eq\f(π,4)，且|OC|＝2，若eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))，則λ＋μ＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4eq\r(2)解析由于|OC|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).答案A13．已知向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(0，－3)，eq\o(OC,\s\up8(→))＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________．解析由題意得eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2－m，1－m)，若A，B，C能構(gòu)成三角形，則eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))不共線，則－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠eq\f(5,4).答案m≠eq\f(5,4)

14.如圖，已知點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．解如圖所示，以A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形可以有三種狀況：①?ABCD；②?ADBC；③?ABDC.設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)，①若是?ABCD，則由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，得(0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x，y)，即(－1，2)＝(－1－x，－2－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－x＝－1，,－2－y＝2，))∴x＝0，y＝－4.∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－4)(如圖中所示的D1)．②若是?A