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溫馨提示:此套題為Word版,請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸,調(diào)整合適的觀看比例,答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(五十三)一、選擇題1.(2021·中山模擬)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點在圓x2+y2+2x-3=0上,則p=()(A)(B)1(C)2(D)32.設(shè)拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是()(A)4(B)6(C)8(D)123.(2021·深圳模擬)正三角形的一個頂點位于原點,另外兩個頂點在拋物線y2=4x上,則這個正三角形的邊長為()(A)4(B)8(C)8(D)164.已知拋物線y2=2px(p>0)上的一點M(1,m)(m>0)到其焦點的距離為5,雙曲線的左頂點為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實數(shù)a的值為()(A)(B)(C)(D)5.(2021·湛江模擬)過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,這樣的直線共有()(A)1條(B)2條(C)3條(D)4條6.直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A,B兩點,過A,B兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為P,Q,則梯形APQB的面積為()(A)48(B)56(C)64(D)727.若雙曲線(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,線段F1F2被拋物線x=的焦點分成3∶2的兩段,則此雙曲線的離心率為()(A)(B)(C)(D)8.(力氣挑戰(zhàn)題)若已知點Q(4,0)和拋物線y=上一動點P(x,y),則y+|PQ|最小值為()(A)2+2(B)11(C)1+2(D)6二、填空題9.以拋物線x2=16y的焦點為圓心,且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為________.10.(2021·肇慶模擬)拋物線y=的焦點與雙曲線的上焦點重合,則m=________.11.(力氣挑戰(zhàn)題)如圖,拋物線C1:y2=4x和圓C2:(x-1)2+y2=1,直線l經(jīng)過C1的焦點F,依次交C1,C2于A,B,C,D四點,則的值是__________.三、解答題12.求過定點P(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線的方程.13.(2021·揭陽模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點A(1,-2).(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程.(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點)的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點,且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.14.(2021·韶關(guān)模擬)設(shè)拋物線C的方程為x2=4y,M(x0,y0)為直線l:y=-m(m>0)上任意一點,過點M作拋物線C的兩條切線MA,MB,切點分別為A,B.(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-1)時,求過M,A,B三點的圓的方程,并推斷直線l與此圓的位置關(guān)系.(2)求證:直線AB恒過定點(0,m).答案解析1.【解析】選C.由已知(,0)在圓x2+y2+2x-3=0上,所以有即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).2.【解析】選B.∵點P到y(tǒng)軸的距離是4,延長使得和準(zhǔn)線相交于點Q,則|PQ|等于點P到焦點的距離,而|PQ|=6,所以點P到該拋物線焦點的距離為6.【方法技巧】拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離的求解技巧拋物線上的點到焦點的距離與拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化:(1)若求點到焦點的距離,則可聯(lián)想點到準(zhǔn)線的距離;(2)若求點到準(zhǔn)線的距離,則經(jīng)常聯(lián)想點到焦點的距離.解題時確定要留意.3.【解析】選B.設(shè)其中一個頂點為(x,2),∵是正三角形,∴,即∴x=12.∴除原點外的另外兩個頂點是(12,4)與(12,-4),∴這個正三角形的邊長為8.4.【解析】選A.由已知得1+=5,∴p=8.∴y2=16x,又M(1,m)在y2=16x上,∴m2=16(m>0),∴m=4,∴M(1,4).又雙曲線的左頂點A(-,0),一條漸近線為又kAM=,∴解得a=.5.【解析】選C.作出圖形,可知點(0,1)在拋物線y2=4x外.因此,過該點可作拋物線y2=4x的切線有兩條,還能作一條與拋物線y2=4x的對稱軸平行的直線,因此共有三條直線與拋物線只有一個交點.6.【解析】選A.由題不妨設(shè)A在第一象限,聯(lián)立y=x-3和y2=4x可得A(9,6),B(1,-2),而準(zhǔn)線方程是x=-1,所以AP=10,QB=2,PQ=8,故S梯形APQB=(AP+QB)·PQ=48.7.【解析】選D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),拋物線x=即y2=2bx的焦點F(,0),依題意即得:5b=2c?25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c=故雙曲線的離心率8.【解析】選D.拋物線的準(zhǔn)線是y=1,焦點F(0,3).用拋物線的定義:設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d,則y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6,(當(dāng)且僅當(dāng)F,Q,P共線時取等號)故y+|PQ|的最小值是6.9.【解析】拋物線x2=16y的焦點為(0,4),準(zhǔn)線方程為y=-4,故圓的圓心為(0,4),又圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,所以圓的半徑r=4-(-4)=8,所以圓的方程為x2+(y-4)2=64.答案:x2+(y-4)2=6410.【解析】由于拋物線y=的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=16y,焦點坐標(biāo)為(0,4),又由于雙曲線的上焦點坐標(biāo)為(0,),依題意有4=,解得m=13.答案:13【誤區(qū)警示】本題易毀滅y=的焦點為(0,)的錯誤,緣由是對拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程記憶不精確.11.【解析】由于拋物線C1的焦點F也是圓C2的圓心(1,0),則∴∴答案:112.【解析】①若直線的斜率不存在,則過點P(0,1)的直線方程為x=0.由得即直線x=0與拋物線只有一個公共點.②若直線的斜率存在,設(shè)過P點的直線方程為y=kx+1,由得k2x2+2(k-1)x+1=0.當(dāng)k=0時,解得y=1,即直線y=1與拋物線只有一個公共點.當(dāng)k≠0時,Δ=4(k-1)2-4k2=0,解得k=.即直線y=x+1與拋物線有一個公共點.綜上所述,所求直線方程為x=0或y=1或y=x+1.13.【解析】(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p×1,所以p=2.故所求的拋物線C的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.(2)存在.假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.∵直線l與拋物線C有公共點,∴Δ=4+8t≥0,解得t≥-.由直線OA與l的距離d=,可得解得t=±1.∵∴符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.14.【解析】(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-1)時,設(shè)過M點的切線方程為y=kx-1,代入x2=4y,整理得x2-4kx+4=0,令Δ=(4k)2-4×4=0,解得k=±1,代入方程得x=±2,不妨令A(yù)(2,1),B(-2,1),由于M到AB的中點(0,1)的距離為2,從而過M,A,B三點的圓的方程為x2+(y-1)2=4,易知此圓與直線l:y=-1相切.(2)設(shè)切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),過拋物線上點A(x1,y1)的切線方程為y-y1=k(x-x1),代入x2=4y,整理得x2-4kx+4(kx1-y1)=0,Δ=(4k)2-4×4(kx1-y1)=0,又由于x12=4y1,所以k=,從而過拋物線上點A(x1,y1)的切線方程為y-y1=(x-x1),即y=x-,又切線過點M(x0,y0),所以得y0=x0-①即y0=x0-y1,同理可得過點B(x2,y2)的切線為y=
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