【高考解碼】2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新課標(biāo))-立體幾何測(cè)試題

建議用時(shí)實(shí)際用時(shí)錯(cuò)題檔案45分鐘一、選擇題1．(猜測(cè)題)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(3,5)【解析】不妨設(shè)CB＝1，則B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)．∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－2,2,1)．cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AB1,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))|·|\o(AB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(0＋4－1,\r(5)×3)＝eq\f(\r(5),5)，故選A.【答案】A2．(創(chuàng)新題)P是二面角α-AB-β棱上的一點(diǎn)，分別在α、β平面上引射線PM、PN，假如∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α-AB-β的大小為()A．60°B．70°C．80°D．90°【解析】不妨設(shè)PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，如圖．∵∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝eq\f(\r(2),2)a，PF＝eq\f(\r(2),2)b.∴Eeq\o(M,\s\up6(→))·Feq\o(N,\s\up6(→))＝(Peq\o(M,\s\up6(→))－Peq\o(E,\s\up6(→)))·(Peq\o(N,\s\up6(→))－Peq\o(F,\s\up6(→)))＝Peq\o(M,\s\up6(→))·Peq\o(N,\s\up6(→))－Peq\o(M,\s\up6(→))·Peq\o(F,\s\up6(→))－Peq\o(E,\s\up6(→))·Peq\o(N,\s\up6(→))＋Peq\o(E,\s\up6(→))·Peq\o(F,\s\up6(→))＝abcos60°－a×eq\f(\r(2),2)bcos45°－eq\f(\r(2),2)abcos45°＋eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(2),2)b＝eq\f(ab,2)－eq\f(ab,2)－eq\f(ab,2)＋eq\f(ab,2)＝0.∴Eeq\o(M,\s\up6(→))⊥Feq\o(N,\s\up6(→)).∴二面角α-AB-β的大小為90°.【答案】D3.(2022·遼寧沈陽(yáng)4月)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別在A1D、AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC.則()A．EF至多與A1D、AC之一垂直B．EF是A1D、AC的公垂線C．EF與BD1相交D．EF與BD1異面【解析】設(shè)AB＝1，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(eq\f(1,3)，0，eq\f(1,3))，F(xiàn)(eq\f(2,3)，eq\f(1,3)，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，Eeq\o(F,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，Eeq\o(F,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))·Eeq\o(F,\s\up6(→))＝Aeq\o(C,\s\up6(→))·Eeq\o(F,\s\up6(→))＝0，從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故選B.【答案】B4.(2022·濟(jì)寧模擬)已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB、AC，M、N分別是邊OA、CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使MG＝2GN，則用向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))正確的是()A.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))【解析】eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).故選C.【答案】C5．(2022·福建泉州二模)設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(2\r(3),3)【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，∴eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝2x＋2z＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0.))令x＝1，則n＝(1，－1，－1)，∴點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是d＝eq\f(|\o(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).【答案】D二、填空題6.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________．【解析】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝1，則D(0,0,0)，N(0,1，eq\f(1,2))，M(0，eq\f(1,2)，0)，A1(1,0,1)，∴eq\o(DN,\s\up6(→))＝(0,1，eq\f(1,2))，eq\o(MA1,\s\up6(→))＝(1，－eq\f(1,2)，1)，∴eq\o(DN,\s\up6(→))·eq\o(MA1,\s\up6(→))＝1×0＋1×(－eq\f(1,2))＋eq\f(1,2)×1＝0，∴eq\o(DN,\s\up6(→))⊥eq\o(MA1,\s\up6(→))，∴A1M與DN所成的角的大小是90°.【答案】90°7．已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于________．【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)面ABC的法向量為n1＝(0,0,1)，面AEF的法向量為n2＝(x，y，z)．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，∵A(1,0,0)，E(1,1，eq\f(1,3))，F(xiàn)(0,1，eq\f(2,3))，∴Aeq\o(E,\s\up6(→))＝(0,1，eq\f(1,3))，Eeq\o(F,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\f(1,3))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,3)z＝0，,－x＋\f(1,3)z＝0，))取x＝1，則y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)，∴cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(3\r(11),11)，∴面AEF與面ABC所成的二面角的平面角α滿足cosα＝eq\f(3\r(11),11)，sinα＝eq\f(\r(22),11)，∴tanα＝eq\f(\r(2),3).【答案】eq\f(\r(2),3)8．(猜測(cè)題)將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD所成的角為60°；④AB與CD所成的角為60°.其中正確的序號(hào)是______．(寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào))【解析】取BD中點(diǎn)O，連接AO、CO，則AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥面AOC，∴AC⊥BD，又AC＝eq\r(2)AO＝AD＝CD，∴△ACD是等邊三角形．而∠ABD是AB與平面BCD所成的角，應(yīng)為45°.又Aeq\o(C,\s\up6(→))＝Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Beq\o(D,\s\up6(→))＋Deq\o(C,\s\up6(→))(設(shè)AB＝a)，則a2＝a2＋2a2＋a2＋2·a·eq\r(2)a·(－eq\f(\r(2),2))＋2a·eq\r(2)·a(－eq\f(\r(2),2))＋2a2cos〈Aeq\o(B,\s\up6(→))，Deq\o(C,\s\up6(→))〉，∴cos〈Aeq\o(B,\s\up6(→))，Deq\o(C,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)，∴AB與CD所成角為60°.【答案】①②④三、解答題9．(2022·天津高考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．(1)證明：BE⊥DC；(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；(3)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．【解】依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1)．(1)向量eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,0,0)，故eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0.所以，BE⊥DC.(2)向量eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0，－2)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面PBD的法向量．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＝0，,x－2z＝0.))不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)為平面PBD的一個(gè)法向量，于是有cos〈n，eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(BE,\s\up6(→)),|n|·|\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(6)×\r(2))＝eq\f(\r(3),3).所以，直線BE與平面PBD所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).(3)向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,2,0)，eq\o(CP,\s\up6(→))＝(－2，－2,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)．由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)eq\o(CF,\s\up6(→))＝λeq\o(CP,\s\up6(→))，0≤λ≤1.故eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋λeq\o(CP,\s\up6(→))＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(3,4).即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(3,2))).設(shè)n1＝(x，y，z)為平面FAB的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(BF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(3,2)z＝0.))不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)為平面FAB的一個(gè)法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，則cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(－3,\r(10)×1)＝－eq\f(3\r(10),10).易知，二面角F－AB－P是銳角，所以其余弦值為eq\f(3\r(10),10).10．(猜測(cè)題)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.(1)若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一點(diǎn)D，使得二面角B1－CD－C1的大小為60°？【解】(1)證明：如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即eq\o(C1B1,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,0,1)．由eq\o(C1B1,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)