【三維設計】2021-2022學年新課標A版數(shù)學選修1-2習題-第2部分-模塊高考對接

一、學問體系全覽——理清學問脈絡主干學問一網(wǎng)盡覽二、高頻考點聚焦——鎖定備考范圍高考題型全盤突破統(tǒng)計案例1．題型既有選擇、填空題，也有解答題．主要考查回歸直線方程的求解與應用、獨立性檢驗中K2與相關系數(shù)的求解與推斷．2．對獨立性檢驗問題要精確?????記憶K2公式中各字母的意義并精確?????計算．解決線性回歸分析問題的關鍵是利用“一點一式”求方程，即利用數(shù)據(jù)的“中心點”和已知的公式．計算的精確?????性是解決此類問題最基本的要求．[例1](重慶高考)從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝80，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝20，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝184，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a；(2)推斷變量x與y之間是正相關還是負相關；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，猜想該家庭的月儲蓄．附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))，其中eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).[解](1)由題意知n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(80,10)＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi＝eq\f(20,10)＝2.又eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此可得b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(24,80)＝0.3，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回歸方程為y＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關．(3)將x＝7代入回歸方程可以猜想該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．1．(福建高考)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名．為爭辯工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關，現(xiàn)接受分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你依據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并推斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”？P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828附：χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：此公式也可以寫成K2＝\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)))解：(1)由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名．所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人)，記為A1，A2，A3；25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人)，記為B1，B2.從中隨機抽取2名工人，全部的可能結果共有10種，它們是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少1名“25周歲以下組”工人的可能結果共有7種，它們是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝eq\f(7,10).(2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25＝15(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375＝15(人)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計3070100所以得χ2＝eq\f(nn11n22－n12n21,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(100×15×25－15×452,60×40×30×70)＝eq\f(25,14)≈1.79.由于1.79<2.706，所以沒有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”.合情推理與演繹推理1．題型多為選擇題、填空題，主要考查歸納推理和類比推理，以及同學分析問題、解決問題的力氣和規(guī)律推理力氣．2．解決此類問題應重點關注以下兩點：(1)要生疏歸納推理、類比推理、演繹推理的一般原理、步驟、格式，搞清合情推理與演繹推理的聯(lián)系與區(qū)分；(2)要把握歸納推理、類比推理、演繹推理的基本應用，在給定的條件下，能夠運用歸納推理、類比推理獲得新的一般結論，能夠運用演繹推理對數(shù)學問題進行嚴格的證明.[例2](1)(陜西高考)觀看下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此規(guī)律，第n個等式可為________．(2)(湖北高考)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家爭辯過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù) N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形數(shù) N(n,4)＝n2，五邊形數(shù) N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n，……可以推想N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝________.(3)對一個邊長為1的正方形進行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構成如圖1所示的幾何圖形，其面積S1＝eq\f(5,9)；其次步，將圖1的5個小正方形中的每個小正方形都進行與第一步相同的操作，得到圖2所示的幾何圖形，其面積S2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))2；依此類推，到第n步，所得圖形的面積Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))n.若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積Vn＝________.[解析](1)觀看規(guī)律可知，第n個式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).(2)N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中數(shù)列{ak}是以eq\f(1,2)為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bk}是以eq\f(1,2)為首項，－eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列；所以N(n,24)＝11n2－10n，當n＝10時，N(10,24)＝11×102－10×10＝1000.(3)類比到空間中，第一步，將棱長為1的正方體分割成3×3×3＝27個相等的小正方體，接著取含正方體中心的那個小正方體和棱長為1的正方體的八個頂點處的8個小正方體，所得幾何體的體積V1＝eq\f(9,27)＝eq\f(1,3)；其次步，將第一步中的9個小正方體中的每個小正方體都進行與第一步相同的操作，所得幾何體的體積V2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2；依此類推，到第n步，所得幾何體的體積Vn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n.[答案](1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)(2)1000(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n2．由“正三角形的內切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出正四周體的內切球切于四個側面()A．各正三角形內任一點B．各正三角形的某高線的中點C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某點解析：選C正三角形的邊對應正四周體的面(正三角形)，所以邊的中點對應的就是正四周體各面(正三角形)的中心．3．下面的數(shù)組均由三個數(shù)組成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．(1)請寫出cn的一個表達式，cn＝________；(2)若數(shù)列{cn}的前n項和為Mn，則M10＝______.(用數(shù)字作答)解析：(1)通過觀看歸納，得an＝n，bn＝2n，cn＝an＋bn＝n＋2n.(2)M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2101.答案：n＋2n2101直接證明與間接證明1．題型多為解答題，難度為中、高檔．主要考查利用直接證明和間接證明解決數(shù)列，三角恒等式，立體幾何中的平行、垂直，不等式，解析幾何等問題．2．解決此類問題，要抓住關鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點，把握三種方法在解決問題中的一般步驟，生疏三種方法適用于解決問題的類型，同時也要加強訓練，達到熟能生巧、有效運用它們的目的．[例3]某同學在一次爭辯性學習中發(fā)覺，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)依據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)覺推廣為三角恒等式，并證明你的結論．[解](1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)法一：三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).法二：三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos60°－2α,2)－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)cos2α＋eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(1,4)(1－cos2α)＝1－eq\f(1,4)cos2α－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)cos2α＝eq\f(3,4).4．設{an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5，a3，a4成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的公比；(2)證明：對任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．解：(1)設數(shù)列{an}的公比為q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差數(shù)列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)法一：對任意k∈N*，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0.所以，對任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．法二：對任意k∈N*,2Sk＝eq\f(2a11－qk,1－q)，Sk＋2＋Sk＋1＝eq\f(a11－qk＋2,1－q)＋eq\f(a11－qk＋1,1－q)＝eq\f(a12－qk＋2－qk＋1,1－q)，2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝eq\f(2a11－qk,1－q)－eq\f(a12－qk＋2－qk＋1,1－q)＝eq\f(a1,1－q)[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]＝eq\f(a1qk,1－q)(q2＋q－2)＝0.因此，對任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列.復數(shù)1．題型多為選擇題，主要考查對復數(shù)概念的理解以及復數(shù)的加、減、乘、除四則運算．2．解決此類問題要明確復數(shù)的分類及復數(shù)運算、把握化歸思想，設出復數(shù)z的代數(shù)形式，即復數(shù)問題實數(shù)化．[例4](1)(新課標全國卷Ⅰ)若復數(shù)z滿足(3－4i)·z＝|4＋3i|，則z的虛部為()A．－4 B．－eq\f(4,5)C．4 D.eq\f(4,5)(2)(山東高考)復數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)eq\x\to(z)為()A．2＋i B．2－iC．5＋i D．5－i(3)(廣東高考)若復數(shù)z滿足iz＝2＋4i，則在復平面內，z對應的點的坐標是()A．(2,4) B．(2，－4)C．(4，－2) D．(4,2)[解析](1)由于|4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以已知等式為(3－4i)z＝5，即z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(53＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(53＋4i,25)＝eq\f(3＋4i,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以復數(shù)z的虛部為eq\f(4,5)，選擇D.(2)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋eq\f(5,2－i)＝3＋eq\f(52＋i,2－i2＋i)＝3＋2＋i＝5＋i，所以eq\x\to(z)＝5－i.(3)由iz＝2＋4i，可得z＝eq\f(2＋4i,i)＝eq\f(2＋4i·－i,i·－i)＝4－2i，所以z對應的點的坐標是(4，－2)．[答案](1)D(2)D(3)C5．若i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z＝5i(3－4i)在復平面內對應的點所在的象限為()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：選Az＝5i(3－4i)＝20＋15i，則復數(shù)對應的點在第一象限．6．已知復數(shù)z＝1＋ai(a∈R，i是虛數(shù)單位)，eq\f(\o(z,\s\up6(－)),z)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，則a＝()A．2 B．－2C．±2 D．－eq\f(1,2)解析：選B由題意可知：eq\f(1－ai,1＋ai)＝eq\f(1－ai2,1＋ai1－ai)＝eq\f(1－2ai－a2,1＋a2)＝eq\f(1－a2,1＋a2)－eq\f(2a,1＋a2)i＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，因此eq\f(1－a2,1＋a2)＝－eq\f(3,5)，化簡得5a2－5＝3a2＋3，a2＝4，則a＝±2，由－eq\f(2a,1＋a2)＝eq\f(4,5)可知a＜0，僅有a＝－2滿足.框圖1．題型為選擇題、填空題．主要考查基本學問和技能，如對條件結構和循環(huán)結構的機敏應用或補全程序框圖．2．在畫框圖時，需要有較高的抽象概括力氣和規(guī)律思維力氣，要生疏事物的來龍去脈，從頭至尾抓住主要脈絡進行分解，弄清各步的規(guī)律關系．[例5](1)(新課標全國卷Ⅱ)執(zhí)行右面的程序框圖，假如輸入的N＝4，那么輸出的S＝()A．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3×2)＋eq\f(1,4×3×2)C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)D．1＋e