第二章-厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析1

第二章厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析

1/11/2025 第一節(jié)厚壁圓筒的彈性應(yīng)力分析 如圖所示的內(nèi)半徑為，外半徑為的厚壁圓柱形筒體，承受內(nèi)壓為，外壓為。1/11/2025 在P點(diǎn)處用相距d的兩個(gè)同心圓柱面，互成d角的兩個(gè)相鄰縱截面及相距d的兩個(gè)水平面截取一個(gè)微小扇形六面體，如下圖所示。1/11/20251．平衡方程一、厚壁圓筒 基本方程1/11/20251/11/2025 因?yàn)橹岛苄?可取，化簡(jiǎn)并略去高階微量，得(2-1)1/11/2025 在-平面內(nèi)，沿r和z方向取微小長(zhǎng)度PA=dr，PC=dz。假設(shè)變形后P，A，C分別移動(dòng)到P

，A

，C

。

２.幾何方程1/11/2025由幾何變形關(guān)系，可求得線段的正應(yīng)變?yōu)榫€段PC的正應(yīng)變?yōu)镻A和PC間的直角變化，即剪應(yīng)變?yōu)?/11/2025 在r-

的平面內(nèi)，沿r和

方向取微元線段PA=dr，PB=rd

，變形后，P，A，B分別移動(dòng)到P

，A

，B

。由于對(duì)稱性，P點(diǎn)和B點(diǎn)移到P

點(diǎn)和B

的位移分量均為，A點(diǎn)移到A

點(diǎn)的位移分量為1/11/20251/11/2025 由此，空間軸對(duì)稱的幾何方程為(2-2)1/11/2025３．物理方程或?qū)懗?2-3)(2-4)1/11/2025 對(duì)于承受均勻內(nèi)、外壓的厚壁圓筒，若筒體的幾何形狀、載荷、支承情況沿z軸沒(méi)有變化，所有垂直于軸線的橫截面在變形后仍保持為平面，則，即只決定于r，只決定于z。1/11/2025則平衡方程（不計(jì)體力）為(2-5)1/11/2025 幾何方程為變形協(xié)調(diào)方程

(2-6)(2-7)1/11/2025物理方程或?qū)懗?2-8)(2-9)1/11/2025(2-10)由式（2-8）可得到

將以上兩式代入式（2-7），得到以應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào)方程

1/11/2025

本節(jié)采用位移法求解在均勻內(nèi)、外壓作用下的厚壁圓筒。將幾何方程式代入物理方程式，得出用位移分量表示的物理方程（2-11）

二、厚壁圓筒的應(yīng)力和位移解1/11/2025 將上式代入平衡方程式，得 它的通解為 （2-13）

式中為積分常數(shù)（2-12）1/11/2025將式（2-13）代入式（2-11），得到式中（2-14）（2-15）

1/11/2025 當(dāng)厚壁圓筒同時(shí)承受均勻內(nèi)壓和均勻外壓時(shí)，其邊界條件為將邊界條件代入式（2-14），得（b）（a）1/11/2025 將、值代入式（2-14），得

即為著名的拉美（）方程式。（2-16）1/11/2025 軸向應(yīng)力、軸向應(yīng)變和徑向位移分量u，根據(jù)端部支承條件不同，分兩種情況討論：（1）兩端不封閉(開(kāi)口)的筒體(如炮筒，熱套的筒節(jié)等） 軸向變形無(wú)約束，軸向應(yīng)力為零，即（2-17）1/11/2025 由式（2-14）的第三式及式（2-15），并代入、值，得（c）1/11/2025 將、值代入式（2-13），得兩端開(kāi)口的厚壁圓筒的位移表達(dá)式（2-18）1/11/2025（2）兩端封閉的筒體（筒體端部有端蓋）軸向應(yīng)力由軸向平衡條件求得即（2-19）1/11/2025 由式（2-14）的第三式、式（2-15），并代入、值，得（d）1/11/2025 將、值代入式（2-13），得兩端封閉的厚壁圓筒的位移表達(dá)式（2-20）1/11/2025（3）兩端封閉同時(shí)受軸向剛性約束的筒體（高壓管道或厚壁圓筒無(wú)限長(zhǎng)）軸向變形受到約束，1/11/2025

下面列出厚壁圓筒各種受力情況（兩端封閉）彈性狀態(tài)下的應(yīng)力及位移計(jì)算公式（1）厚壁圓筒同時(shí)作用內(nèi)、外壓（）時(shí)（2-21）1/11/2025 引入徑比K（外徑與內(nèi)徑之比K=Ro/Ri），上式可寫(xiě)為（2-22）（2-23）1/11/2025（2）厚壁圓筒僅作用內(nèi)壓()時(shí)（2-24）（2-25）1/11/2025（3）厚壁圓筒僅作用外壓（）時(shí)（2-26）（2-27）1/11/20251/11/2025

(1)在厚壁圓筒中，筒體處于三向應(yīng)力狀態(tài)，其中環(huán)（周）向應(yīng)力為拉應(yīng)力，徑向應(yīng)力為壓應(yīng)力，且沿壁厚非均勻分布；而軸向應(yīng)力介于和之間，即，且沿壁厚均勻分布。1/11/2025 （2）在筒體內(nèi)壁面處，環(huán)（周）向應(yīng)力、徑向應(yīng)力的絕對(duì)值比外壁面處為大，其中環(huán)（周）向應(yīng)力具有最大值，且恒大于內(nèi)壓力，其危險(xiǎn)點(diǎn)將首先在內(nèi)壁面上產(chǎn)生。1/11/2025

(3)環(huán)（周）向應(yīng)力沿壁厚分布隨徑比K值的增加趨向更不均勻，不均勻度為內(nèi)、外壁周向應(yīng)力之比，即 不均勻度隨成比例，K值愈大，應(yīng)力分布愈不均勻。（2-28）1/11/2025三、溫差應(yīng)力問(wèn)題1/11/2025 取基準(zhǔn)溫度為0

C，若彈性體的微單元體積加熱到t

C，且允許自由膨脹，則此單元體在各個(gè)方向產(chǎn)生的熱應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中

為彈性體的線膨脹系數(shù)，[1/

C]；t為溫度差，[℃]。1/11/2025 若彈性體受到約束，則在彈性體內(nèi)引起熱應(yīng)力，而熱膨脹不影響剪應(yīng)變，不產(chǎn)生剪應(yīng)力。因此，彈性體中每個(gè)單元體的應(yīng)變?yōu)闊釕?yīng)變與熱應(yīng)力引起的彈性應(yīng)變所組成，即（2-29）1/11/2025或（2-30）1/11/2025 不計(jì)體力分量,

溫差應(yīng)力問(wèn)題的平衡方程，（2-1a）1/11/2025幾何方程（2-2a）1/11/2025假設(shè)不計(jì)邊緣影響，在熱應(yīng)力狀態(tài)下，所有垂直于軸線的斷面變形相同，且保持平面，則，，且為常量，徑向位移只決定于r，軸向位移只決定于z，沒(méi)有

方向的位移。1/11/2025平衡方程幾何方程（2-5a）（2-6a）1/11/2025物理方程式中（2-31）1/11/2025 將物理方程代到平衡方程,有

上式中第一式可寫(xiě)成（2-32）1/11/2025對(duì)上式積分兩次，得將上式代入幾何方程式，得（2-33）（2-34）1/11/2025將式（2-33）代入式（2-31），得溫差應(yīng)力表達(dá)式（2-35）1/11/2025 若厚壁圓筒僅沿筒壁存在溫度差，不承受其它載荷，則邊界條件為（2-36）1/11/2025將邊界條件代入式（2-35），得聯(lián)立求解上述方程組，得 （2-37）1/11/2025 由傳熱學(xué)，圓筒體在穩(wěn)定傳熱情況下，沿壁厚任意點(diǎn)r處的溫度t分布為

（2-38）

將式（2-38）代入計(jì)算式中的積分式（2-39-a）

1/11/2025 由此將式（2-39-b）代入式（2-37），得（2-39-b）

（2-40）

1/11/2025 將式（2-39-a）、（2-40）代入式（2-35），經(jīng)化簡(jiǎn)整理得厚壁圓筒溫差應(yīng)力的表達(dá)式為（2-41-a）

1/11/2025 令，，，，則上式變?yōu)椋?-41-b）

式（2-41）是厚壁圓筒僅存在徑向溫差時(shí)的應(yīng)力表達(dá)式。1/11/2025溫差應(yīng)力沿筒壁厚度的分布如圖2-6所示1/11/2025厚壁圓筒中，溫差應(yīng)力與溫度差

t成正比，而與溫度本身的絕對(duì)值無(wú)關(guān)，因此在圓筒內(nèi)壁或外壁進(jìn)行保溫以減小內(nèi)、外壁的溫度差，可以降低厚壁圓筒的溫差應(yīng)力。三向應(yīng)力沿壁厚均為非均勻分布。其中，軸向應(yīng)力是環(huán)（周）向應(yīng)力與徑向應(yīng)力之和，即：在內(nèi)、外壁面處，徑向應(yīng)力為零，軸向應(yīng)力和環(huán)（周）向應(yīng)力分別相等，且最大應(yīng)力發(fā)生在外壁面處。溫差應(yīng)力是由于各部分變形相互約束而產(chǎn)生的，因此應(yīng)力達(dá)到屈服極限而發(fā)生屈服時(shí)，溫差應(yīng)力不但不會(huì)繼續(xù)增加，而且在很大程度上會(huì)得到緩和，這就是溫差應(yīng)力的自限性，它屬于二次應(yīng)力。1/11/2025四、組合圓筒的應(yīng)力分析

多層組合圓筒結(jié)構(gòu)是將厚壁圓筒分為兩個(gè)或兩個(gè)以上的單層圓筒，各層之間有一定的公盈尺寸，加熱使它們彼此套合在一起，冷卻后各層圓筒將產(chǎn)生預(yù)壓力，從而在各層套筒上產(chǎn)生預(yù)應(yīng)力。這種利用緊配合的方法套在一起制成的厚壁圓筒稱為“組合圓筒”。

1/11/2025 現(xiàn)以雙層熱套組合圓筒為例，如圖2-7所示，它是由內(nèi)、外兩層圓筒緊配合組成。套合前，內(nèi)筒內(nèi)半徑為R1i，外半徑為R1o；外筒內(nèi)半徑為R2i，，外半徑為R2o。設(shè)半徑過(guò)盈量為，且R1o-R2i

。1/11/2025 在套合壓力p1,2作用下，內(nèi)筒外壁產(chǎn)生一向內(nèi)壓縮的徑向位移，外筒內(nèi)壁產(chǎn)生一向外膨脹的徑向位移，從而使內(nèi)、外筒緊密配合在一起。

（2-42）

1/11/2025假定，所以組合圓筒預(yù)應(yīng)力為平面應(yīng)力問(wèn)題?？捎衫拦角蟪鼋M合圓筒預(yù)應(yīng)力；由變形協(xié)調(diào)條件，求出內(nèi)、外筒接觸面間的套合壓力p1,2與過(guò)盈量間的關(guān)系。1/11/2025（一）、組合圓筒預(yù)應(yīng)力 外筒（R2i

r

R2o）：僅受內(nèi)壓作用，由方程式（2-16）和式（2-18），

（2-43-a）

（2-44-a）1/11/2025在外筒內(nèi)壁面r=R2i

處

（2-43-b）

（2-44-b）1/11/2025 內(nèi)筒（R1i

r

R1o）：僅受外壓作用，由方程式（2-16）和式（2-18）

（2-45-a)

（2-46-a)1/11/2025 在內(nèi)筒外壁面r=R1o處

（2-45-b）

（2-46-b）

1/11/2025 將，代入式（2-42），且Rc

R1o

R2i，求得內(nèi)、外筒接觸面間的套合壓力為

（2-47）

1/11/2025（二）組合圓筒綜合應(yīng)力

式中，

表示組合圓筒中的綜合應(yīng)力，表示由pi

引起的筒壁應(yīng)力，為套合預(yù)應(yīng)力。（2-48）

1/11/2025以雙層熱套組合圓筒為例：內(nèi)筒（R1i

r

Rc）：承載時(shí)的綜合應(yīng)力由式（2-26）與式（2-45-a）疊加為

（2-49-a）

1/11/2025 在內(nèi)筒內(nèi)壁面r=R1i

處

（2-49-b）

1/11/2025 外筒（Rc

r

R2o）：承載時(shí)的綜合應(yīng)力由式（2-24）與式（2-43-a）疊加為

（2-50-a）

1/11/2025 在外筒內(nèi)壁面r=Rc處

(2-50-b)1/11/2025 由于疊加了套合應(yīng)力，使內(nèi)筒內(nèi)壁面的環(huán)向應(yīng)力降低，而外筒內(nèi)壁面的環(huán)向應(yīng)力增加，使整個(gè)組合圓筒的環(huán)向應(yīng)力沿壁厚方向趨于均勻分布。1/11/2025第二節(jié)厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析 當(dāng)應(yīng)力分量的組合達(dá)到某一值時(shí)，則由彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，即在厚壁圓筒的截面上將出現(xiàn)塑性變形，并從內(nèi)壁開(kāi)始形成塑性區(qū)。1/11/2025 彈性力學(xué)中，材料處于彈性范圍，物體受載后的應(yīng)力-應(yīng)變服從虎克定律，且加載、卸載時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變之間始終保持一一對(duì)應(yīng)的線性關(guān)系。而在塑性力學(xué)中，當(dāng)應(yīng)力超過(guò)屈服點(diǎn)而處于塑性狀態(tài)時(shí)，材料的性質(zhì)表現(xiàn)極為復(fù)雜。應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系呈非線性，且不相對(duì)應(yīng)，即應(yīng)力不僅取決于最終的應(yīng)變，而且有賴于加載的途徑。1/11/2025一、簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下的彈塑性力學(xué)問(wèn)題（一）簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)的塑性現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)分析是研究塑性變形基本規(guī)律和各種塑性理論的依據(jù)。在常溫靜載下，材料(通常指中低強(qiáng)度鋼為代表的金屬材料)的拉伸實(shí)驗(yàn)曲線。1/11/20251/11/2025 由上述實(shí)驗(yàn)看出； 在初始屈服點(diǎn)之前，材料處于彈性階段，應(yīng)力應(yīng)變服從虎克定律，

1/11/2025 在初始屈服極限之后，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)，應(yīng)力應(yīng)變呈非線性關(guān)系，可用一個(gè)函數(shù)表示為

其中為加載到E點(diǎn)的總應(yīng)變， 。為卸載時(shí)的彈性應(yīng)變，為不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變。1/11/2025 材料在經(jīng)歷塑性變形后，應(yīng)力和應(yīng)變之間不存在單值一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)力不僅取決于最終狀態(tài)的應(yīng)變，而且有賴于加載路線。1/11/2025 如果從E點(diǎn)完全卸載后，施以相反的應(yīng)力，由拉伸應(yīng)力轉(zhuǎn)為壓縮應(yīng)力，并且壓縮應(yīng)力的屈服限比原始的壓縮屈服限有所降低，即，如圖2-12所示，這種拉伸時(shí)強(qiáng)化影響到壓縮時(shí)壓應(yīng)力的屈服限降低的現(xiàn)象，稱為包辛格（Bauschinger）效應(yīng)。1/11/2025（二）變形體的簡(jiǎn)化模型1/11/2025

1．理想彈塑性材料模型 對(duì)于軟鋼或強(qiáng)化率較低的材料，具有明顯的塑性流動(dòng)，忽略材料的強(qiáng)化性質(zhì)，可得到如圖2-13（a）所示的理想彈塑性模型。其應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系為1/11/2025

2．理想剛塑性材料模型

若材料屈服前的彈性變形極其微小，視為絕對(duì)剛體?？蛇M(jìn)一步簡(jiǎn)化為如圖2-13（b）所示的理想剛塑性模型。在這種模型中，應(yīng)力達(dá)到屈服限前變形為零，一旦應(yīng)力等于屈服極限時(shí)，則塑性變形可無(wú)限制的延長(zhǎng)。1/11/20253．線性強(qiáng)化彈塑性材料模型 對(duì)于有顯著強(qiáng)化率的材料，應(yīng)力－應(yīng)變呈近似直線關(guān)系，可簡(jiǎn)化為如圖2-13（c）所示的線性強(qiáng)化彈塑性材料模型。其應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系為（2-52）

1/11/20254．線性強(qiáng)化剛塑性材料模型

對(duì)于有顯著強(qiáng)化率的材料，若材料屈服前的彈性變形很小，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為如圖2-13（d）所示的線性強(qiáng)化剛塑性材料模型。1/11/2025此外，還有冪次強(qiáng)化材料模型，其應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系為 （2-53）式中A與n分別為材料的強(qiáng)化系數(shù)與強(qiáng)化指數(shù)，且Ａ＞０，１＞ｎ＞０。當(dāng)n=0時(shí)，表示理想剛塑性材料；當(dāng)n=1時(shí)，表示理想線彈性材料，如圖2-13（e）所示。1/11/2025 （一）最大剪應(yīng)力和八面體剪應(yīng)力

1．最大剪應(yīng)力

設(shè)已知物體內(nèi)某點(diǎn)的主應(yīng)力及主方向，過(guò)該點(diǎn)截取一平行六面微單元體，假定微單元體的各面與主平面一致，見(jiàn)圖2-14。

二、屈服條件1/11/2025 微元體的主剪應(yīng)力作用在過(guò)每一個(gè)主方向與另外兩個(gè)主方向成45

夾角的斜面上，且與該主方向垂直，分別以表示，見(jiàn)圖2-15。1/11/2025 其中，，。當(dāng)作用在六面微元體上的主應(yīng)力時(shí)，上述三個(gè)剪應(yīng)力中為該六面微元體的最大剪應(yīng)力，即（2-54）

1/11/20252．八面體剪應(yīng)力

物體內(nèi)任一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量為已知，過(guò)該點(diǎn)作一特定平面，使此平面的法線與三個(gè)主方向成相等的夾角，這個(gè)斜面即為等傾面，見(jiàn)圖2-16(a)。在整個(gè)坐標(biāo)系中可以作出八個(gè)這種等傾面，形成一個(gè)封閉的八面體(圖2-17)，等傾面上的剪應(yīng)力稱為八面體剪應(yīng)力。1/11/2025 設(shè)等傾面ABC平面的法線用

表示，與坐標(biāo)軸（即主方向）的夾角為，，，與主平面的方向余弦分別為，即，，

。由等傾面的定義，它的外法線與三個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦相等，得。即，故。1/11/2025 設(shè)ABC平面上的總應(yīng)力為，可分解為正應(yīng)力和剪應(yīng)力，也可分解為沿主方向的三個(gè)應(yīng)力分量，，。從力的分解關(guān)系可以看出

（a）

（b）將S1，S2，S3投影到法線上有

（c）1/11/2025 設(shè)ABC面積為F

，三角形OCB，OAC，OAB的面積分別為F1、F2、F3，它們之間有如下關(guān)系，，。由力的平衡關(guān)系，可得到

1/11/2025

由此，，將這些關(guān)系代入(b),(c)

代入(a)，得八面體剪應(yīng)力為

（2-55）1/11/2025 特雷斯卡（Tresca）屈服條件

材料處在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，當(dāng)六面體上的最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料開(kāi)始進(jìn)入塑性狀態(tài)。1/11/2025 當(dāng)時(shí)，Tresca屈服條件可表示為

即 （2-56）

式中為最大剪應(yīng)力，為材料的剪切屈服限，為單向拉伸時(shí)材料的屈服限。1/11/2025 在單向拉伸時(shí)，，屈服條件為 （2-57） 純剪切試驗(yàn)時(shí)，屈服條件為（2-58）1/11/2025米賽斯（Mises)屈服條件

材料處在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，當(dāng)八面體剪應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，材料開(kāi)始進(jìn)入塑性狀態(tài)。1/11/2025 根據(jù)八面體剪應(yīng)力的計(jì)算，當(dāng)材料處于簡(jiǎn)單拉伸狀態(tài)時(shí)，材料的正應(yīng)力與八面體剪應(yīng)力的關(guān)系為 屈服條件為 （2-59）1/11/2025 在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，把綜合各應(yīng)力分量的當(dāng)量應(yīng)力與簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的拉伸應(yīng)力相當(dāng)，由式（2-59）有

屈服條件可表示為 （2-60-a） 即 （2-60-b）1/11/2025

Mises屈服條件認(rèn)為，材料承載時(shí)的最大剪應(yīng)力等于時(shí)，材料開(kāi)始進(jìn)入塑性狀態(tài)，即

（2-61）

1/11/2025 三、厚壁圓筒的彈塑性分析 厚壁圓筒在承受內(nèi)壓載荷作用下，隨著壓力的增加，筒壁應(yīng)力不斷增加。當(dāng)應(yīng)力分量的組合達(dá)到某一值時(shí)，由彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，即在筒體的截面上將出現(xiàn)塑性變形。首先由筒體內(nèi)壁面開(kāi)始，逐漸向外壁表面擴(kuò)展，直至筒壁全部屈服。1/11/2025 假設(shè)厚壁圓筒為理想彈塑性體，不考慮材料在塑性變形過(guò)程中的塑性強(qiáng)化，筒體僅受內(nèi)壓作用，筒體的內(nèi)半徑為，外半徑為。1/11/2025 （一）彈性極限分析 當(dāng)筒體僅受內(nèi)壓作用，且壓力較小時(shí)，筒體處于彈性狀態(tài)，其彈性應(yīng)力分量表達(dá)式為由上式可知，在內(nèi)壓作用下，彈性應(yīng)力沿壁厚分布，且，。當(dāng)內(nèi)壓達(dá)到筒體的某一極限壓力=時(shí)，筒體的內(nèi)壁首先開(kāi)始屈服。1/11/2025 假設(shè)筒體材料屈服時(shí)應(yīng)力符合Tresca屈服條件 將應(yīng)力值代入，得

式中為厚壁圓筒內(nèi)壁剛進(jìn)入屈服時(shí)所對(duì)應(yīng)的壓力，稱為彈性極限壓力。（2-62）

1/11/2025 （二）彈塑性應(yīng)力分析 當(dāng)

時(shí)，圓筒內(nèi)壁屈服區(qū)向外擴(kuò)展，筒體沿壁厚形成兩個(gè)不同區(qū)域，外側(cè)為彈性區(qū)，內(nèi)側(cè)為塑性區(qū)。設(shè)筒體彈塑性區(qū)交界面為一與圓筒同心的圓柱面，界面圓柱的半徑為。1/11/2025

假想從厚壁圓筒上遠(yuǎn)離邊緣處的區(qū)域截取一筒節(jié)，沿處將彈性區(qū)與塑性區(qū)分開(kāi)，并代之以相應(yīng)的力，如圖所示。設(shè)彈塑性區(qū)交界面上的壓力為，塑性區(qū)為一圓柱形筒，內(nèi)、外半徑分別為和，承受內(nèi)、外壓力分別為和；彈性區(qū)亦為一圓柱形筒，內(nèi)、外半徑分別為和，承受內(nèi)壓力為。1/11/20251．塑性區(qū)（

） 材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，筒壁微元體的平衡微分方程仍然成立，由式（2-5）

設(shè)材料塑性變形時(shí)應(yīng)力符合Tresca屈服條件，代入上式，得 積分上式為 （2-63）

1/11/2025 由邊界條件 （a） 由第一個(gè)邊界條件代入式（2-63），求出A，再代入Tresca屈服條件和，可得到塑性區(qū)各應(yīng)力分量的表達(dá)式

（2-64-a） 由第二個(gè)邊界條件代入式（2-64-a）第一式，可得彈-塑性區(qū)交界面壓力為

（2-65）1/11/2025 筒壁材料塑性變形符合Mises屈服條件，則式（2-64-a）可以寫(xiě)成

（2-64-b）

1/11/20252．彈性區(qū)（Rc

r

R0） 彈性區(qū)內(nèi)壁面為彈-塑性區(qū)交界面，即彈性區(qū)內(nèi)壁面呈塑性狀態(tài)。設(shè)Kc=R0/Rc，彈性區(qū)內(nèi)壁面處應(yīng)力表達(dá)式

（2-66）1/11/2025 若應(yīng)力符合Tresca屈服條件 將式（2-66）各值代入得

（2-67）

在彈-塑性區(qū)交界面Rc

處連續(xù)，即由式（2-65）和式（2-67）求得的Pc

應(yīng)為同一數(shù)值，由此可求出內(nèi)壓力pi與所對(duì)應(yīng)的塑性區(qū)圓柱面半徑Rc

間的關(guān)系

（2-68-a）1/11/2025 將式（2-67）代入拉美公式，可得彈性區(qū)各應(yīng)力分量表達(dá)式

（2-69-a）1/11/2025

若按Mises屈服條件， 內(nèi)壓力pi與所對(duì)應(yīng)的塑性區(qū)圓柱面半徑Rc

間的關(guān)系及彈性區(qū)各應(yīng)力分量表達(dá)式為 （2-68-b）

（2-69-b）1/11/2025 由圖2-19看出，塑性區(qū)由于存在塑性變形，應(yīng)力重新分布，使得筒體內(nèi)壁表面應(yīng)力有所下降。1/11/2025（三）塑性極限分析

由彈塑性分析可知，當(dāng)壓力p不斷增加時(shí)，塑性區(qū)不斷擴(kuò)大，彈性區(qū)不斷縮小。當(dāng)壓力增加到某一值時(shí)，塑性區(qū)擴(kuò)展到整個(gè)筒體，即RC=R0時(shí)，筒體全部進(jìn)入塑性狀態(tài)。1/11/2025 按Tresca屈服條件

（2-70-a）

（2-71-a）

1/11/2025 按Mises屈服條件

（2-70-b）

（2-71-b）

1/11/2025（四）厚壁圓筒的自增強(qiáng) 自增強(qiáng)處理是指筒體在使用之前進(jìn)行加壓處理，其壓力超過(guò)內(nèi)壁發(fā)生屈服的壓力（初始屈服壓力），使筒體內(nèi)壁附近沿一定厚度產(chǎn)生塑性變形，形成內(nèi)層塑性區(qū)，而筒體外壁附近仍處于彈性狀態(tài)，形成外層彈性區(qū)。 當(dāng)壓力卸除后，筒體內(nèi)層塑性區(qū)將有殘余變形存在，而外層彈性區(qū)受到內(nèi)層塑性區(qū)殘余變形的阻擋而不能完全恢復(fù)，結(jié)果使內(nèi)層塑性區(qū)受到外層彈性區(qū)的壓縮而產(chǎn)生殘余壓應(yīng)力，而外層彈性區(qū)由于收縮受到阻擋而產(chǎn)生殘余拉應(yīng)力。1/11/20251.自增強(qiáng)壓力計(jì)算 厚壁圓筒進(jìn)行自增強(qiáng)處理時(shí)，自增強(qiáng)壓力必須大于筒體內(nèi)壁的初始屈服壓力，使筒體內(nèi)層成為塑性區(qū)，外層仍為彈性區(qū)。設(shè)筒體塑性區(qū)與彈性區(qū)交界面半徑為RC，自增強(qiáng)壓力為Pa，通常按Mises屈服條件確定，由式(2-68-b)得自增強(qiáng)壓力計(jì)算公式 （2-72-a） 或改寫(xiě)為 （2-72-b）1/11/2025計(jì)算值最常用的方法是，假設(shè)若干個(gè)RC

值，計(jì)算自增強(qiáng)處理時(shí)所施加的壓力、殘余應(yīng)力（預(yù)應(yīng)力）及工作壓力下彈塑性區(qū)交界面處的合成應(yīng)力。求取最小合成應(yīng)力時(shí)的RC

值，從這個(gè)RC

值所計(jì)算的超應(yīng)變度，即為最適宜超應(yīng)變度的計(jì)算值。RC

值也可按下列關(guān)系近似估算

式中Ri,R0

分別為厚壁圓筒的內(nèi)半徑和外半徑。1/11/20252.自增強(qiáng)筒壁的應(yīng)力分析 經(jīng)過(guò)自增強(qiáng)處理的厚壁圓筒，工作時(shí)的應(yīng)力表達(dá)式可從下面三個(gè)方面求取：經(jīng)自增強(qiáng)處理時(shí)由自增強(qiáng)壓力Pa

作用下的筒壁應(yīng)力；卸載后筒壁的殘余應(yīng)力；工作壓力作用下筒壁的合成應(yīng)力。1/11/2025（1）在自增強(qiáng)壓力pa作用下的筒壁應(yīng)力

塑性區(qū)（Ri

r

RC

），按Mises屈服條件，得各應(yīng)力分量表達(dá)式

彈性區(qū)（RC

r

R0），按Mi