2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圓

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圓一．選擇題（共10小題）1．如圖，已知點O是△ABC的外心，連接OA，OB，OC，若∠1＝40°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°2．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果∠BOD的度數(shù)為122°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．64° B．61° C．62° D．60°3．如圖，正五邊形ABCDE邊長為6，以A為圓心，AB為半徑畫圓，圖中陰影部分的面積為（）A．185π B．4π C．545π 4．如圖，OA為半徑，OA垂直于弦BC，垂足為D，連接OB，AC，若∠B＝20°，則∠A的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．55°5．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，若∠AOC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．50° D．65°6．如圖，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，以B為圓心、BC長為半徑畫弧AC，點P為菱形內(nèi)一點，連接PA，PB，PC．當(dāng)△BPC為等腰直角三角形時，圖中陰影部分的面積為（）A．83π-23+2 B．83π-7．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，且OD∥BC，若∠BAC＝α，則∠BAD的度數(shù)可以表示為（）A．2α B．90°﹣α C．45°-α2 8．如圖，在半徑為6的⊙O中，弦AB⊥CD于點E，若∠A＝30°，則弧AC的長為（）A．8π B．5π C．4π D．6π9．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，經(jīng)過A，B兩點的⊙O與邊AC切于點A，與邊BC交于點D，AE為⊙O直徑，連結(jié)DE，若∠C＝35°，則∠BDE的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°10．如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，連接AC，AD，則下列結(jié)論正確的是（）A．AC=BC B．BC=BD C．OE＝BE D二．填空題（共5小題）11．如圖，兩個邊長相等的正六邊形的公共邊為BD，點A，B，C在同一直線上，點O1，O2分別為兩個正六邊形的中心．則tan∠O2AC的值為．12．如圖，過⊙O外一點P作圓的切線PB，點B為切點，AB為⊙O直徑，連結(jié)AP交⊙O于點C，若AC＝BP，則CPAC=13．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，對角線AC，BD的交點為O，分別以A、D為圓心，AB的長為半徑畫弧，兩條圓弧恰好都經(jīng)過點O，則圖中陰影部分的面積為14．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，C是優(yōu)弧AB上的一個動點，若∠P＝50°，則∠ACB＝°．15．如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠CDA＝25°，則∠AOB＝°．三．解答題（共5小題）16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BC于點C，交△ABC的外接圓于點D．連接BD，AE⊥BD于點E，交BC的延長線于點F．（1）求證：∠BAF＝∠ABF；（2）當(dāng)AE＝1，BE＝2時，求線段EF的長及△ABC的外接圓的半徑長．17．如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點E，AB＝CD．（1）求證：AC＝BD；（2）連接BC，作直線EO，求證：EO⊥BC．18．如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上一點，過AC中點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，連結(jié)CF交AB點G，連結(jié)AF，BF．[認(rèn)識圖形]求證：△AFD∽△ACF．[探索關(guān)系]①求CF與DF的數(shù)量關(guān)系．②設(shè)CGFG=x，DEEF=[解決問題]若CG=22，F(xiàn)G=319．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D為AC的中點，CE⊥AB于E，BD與AC交于點G，與CE交于點F．（1）求證：CG＝CF；（2）若cos∠ABC=35，AC＝16，求20．如圖，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，點O在AB邊上，以點O為圓心，OA的長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC和AB邊于點F和E，連接AD，F(xiàn)D，ED．（1）求證：AD平分∠CAB；（2）求證：△DFC∽△ADE；（3）若CD＝1，求圖中陰影部分的面積．

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圓參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．如圖，已知點O是△ABC的外心，連接OA，OB，OC，若∠1＝40°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°【考點】三角形的外接圓與外心；圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)果．【解答】解：∵點O為△ABC的外心，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠1＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAC=12∠BOC故選：D．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心、圓周角定理，熟記圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．2．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果∠BOD的度數(shù)為122°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．64° B．61° C．62° D．60°【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠A，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BCD，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念求出∠DCE即可．【解答】解：∵∠BOD的度數(shù)為122°，∴∠A=12∠BOD∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝119°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝61°，故選：B．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，正五邊形ABCDE邊長為6，以A為圓心，AB為半徑畫圓，圖中陰影部分的面積為（）A．185π B．4π C．545π 【考點】正多邊形和圓；扇形面積的計算．【專題】正多邊形與圓；與圓有關(guān)的計算；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式計算即可．【解答】解：∵正五邊形的外角和為360°，∴每一個外角的度數(shù)為360°÷5＝72°，∴正五邊形的每個內(nèi)角為180°﹣72°＝108°，∵正五邊形的邊長為6，∴S陰影=108?π故選：C．【點評】考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計算的知識，解題的關(guān)鍵是求得正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)并牢記扇形的面積計算公式，難度不大．4．如圖，OA為半徑，OA垂直于弦BC，垂足為D，連接OB，AC，若∠B＝20°，則∠A的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．55°【考點】圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ODB＝∠ADC＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠BOD＝70°，從而利用圓周角定理可得∠C＝35°，最后再利用直角三角形的兩個銳角互余進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：∵OA⊥BC，∴∠ODB＝∠ADC＝90°，∵∠B＝20°，∴∠BOD＝90°﹣∠B＝70°，∴∠C=12∠BOD＝∴∠A＝90°﹣∠C＝55°，故選：D．【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，若∠AOC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．50° D．65°【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】D【分析】由平角定義求出∠BOC＝180°﹣50°＝130°，由圓周角定理得到∠BDC=12∠BOC＝【解答】解：∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，∴∠BDC=12∠BOC＝故選：D．【點評】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理得到∠BDC=12∠6．如圖，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，以B為圓心、BC長為半徑畫弧AC，點P為菱形內(nèi)一點，連接PA，PB，PC．當(dāng)△BPC為等腰直角三角形時，圖中陰影部分的面積為（）A．83π-23+2 B．83π-【考點】扇形面積的計算；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】B【分析】連接AC，延長AP，交BC于E，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出△ABC是等邊三角形，進(jìn)而通過三角形全等證得AE⊥BC，從而求得AE、PE，利用S陰影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得．【解答】解：連接AC，延長AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝4，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，AB=∴△APB≌△APC（SSS），∴∠PAB＝∠PAC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝2，∵△BPC為等腰直角三角形，∴PE=12BC＝在Rt△ABE中，AE=32AB＝2∴AP＝23-2∴S陰影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC=60π×42360-12×（23-2）×2故選：B．【點評】本題考查了扇形的面積，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求得PA、PE是解題的關(guān)鍵．7．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，且OD∥BC，若∠BAC＝α，則∠BAD的度數(shù)可以表示為（）A．2α B．90°﹣α C．45°-α2 【考點】圓周角定理；平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】C【分析】由圓周角定理得到∠ACB＝90°，求出∠B＝90°﹣α，由平行線的性質(zhì)推出∠BOD＝∠B＝90°﹣α，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠OAB＝∠ODA，由三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD＝45°-12【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝α，∴∠B＝90°﹣α，∵OD∥CB，∴∠BOD＝∠B＝90°﹣α，∵OD＝OA，∴∠OAB＝∠ODA，∵∠BOD＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，∴∠BAD=12×（90°﹣α）＝45°故選：C．【點評】本題考查圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由圓周角定理得到∠ACB＝90°，由平行線的性質(zhì)推出∠BOD＝∠B＝90°﹣α，由三角形外角的性質(zhì)即可求出∠BAD的度數(shù)．8．如圖，在半徑為6的⊙O中，弦AB⊥CD于點E，若∠A＝30°，則弧AC的長為（）A．8π B．5π C．4π D．6π【考點】弧長的計算；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】C【分析】連接OA、OC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ADC，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC，再根據(jù)弧長公式計算嗎，得到答案．【解答】解：連接OA、OC，∵AB⊥CD，∠A＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°，由圓周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°，∴AC的長為：120π×6180故選：C．【點評】本題考查的是弧長的計算，掌握弧長公式、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，經(jīng)過A，B兩點的⊙O與邊AC切于點A，與邊BC交于點D，AE為⊙O直徑，連結(jié)DE，若∠C＝35°，則∠BDE的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【考點】切線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠C＝35°，則∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°，由切線的性質(zhì)得AC⊥AE，則∠CAE＝90°，所以∠BDE＝∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝20°，于是得到問的答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝35°，∴∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵AE是⊙O的直徑，且⊙O與AC相切于點A，∴AC⊥AE，∴∠CAE＝90°，∴∠BDE＝∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝110°﹣90°＝20°，故選：C．【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、切線的性質(zhì)定理、圓周角定理等知識，正確地求出∠BAC的度數(shù)并且證明AC⊥AE是解題的關(guān)鍵．10．如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，連接AC，AD，則下列結(jié)論正確的是（）A．AC=BC B．BC=BD C．OE＝BE D【考點】圓周角定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，∴AC=AD，∴A錯誤，B正確；∵無法證明點E是半徑OB的中點，∴OE與BE的長無法判斷，∴C錯誤；∵AC與CD不一定相等，∴無法判斷∠CAD與∠CDA的關(guān)系，∴D錯誤．故選：B．【點評】本題考查的是圓周角定理，垂徑定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．如圖，兩個邊長相等的正六邊形的公共邊為BD，點A，B，C在同一直線上，點O1，O2分別為兩個正六邊形的中心．則tan∠O2AC的值為35【考點】正多邊形和圓；解直角三角形．【專題】正多邊形與圓；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可．【解答】解：如圖，連接O2C，過O2點作O2E⊥BC，垂足為E，設(shè)正六邊形的邊長為a，則O1A＝O1B＝O2C＝a，在Rt△O2CE中，O2C＝a，∠CO2E＝30°，∴EC=12O2C=12a＝BE，O2E=32∴AE＝2a+12a=∴tan∠O2AC=O故答案為：35【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．12．如圖，過⊙O外一點P作圓的切線PB，點B為切點，AB為⊙O直徑，連結(jié)AP交⊙O于點C，若AC＝BP，則CPAC=5【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；推理能力．【答案】5-【分析】連接BC，根據(jù)圓周角定理得到BC⊥AP，求得∠A+∠ABC＝90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABP＝90°，求得∠ABC+∠PBC＝90°，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接BC，∵AB為⊙O直徑，∴BC⊥AP，∴∠ACB＝∠PCB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵PB是⊙O的切線，∴∠ABP＝90°，∴∠ABC+∠PBC＝90°，∴∠A＝∠PBC，∴△ABP∽△BCP，∴PBAP∴PB2＝AP?PC，∵AC＝PB，∴AC2＝（AC+PC）PC，∴PC=5-∴CPAC故答案為：5-【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，對角線AC，BD的交點為O，分別以A、D為圓心，AB的長為半徑畫弧，兩條圓弧恰好都經(jīng)過點O，則圖中陰影部分的面積為914．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，C是優(yōu)弧AB上的一個動點，若∠P＝50°，則∠ACB＝65°．【考點】切線的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】65．【分析】連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥PA，OB⊥PB，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出∠AOB，再根據(jù)圓周角定理計算，得到答案．【解答】解：連接OA、OB，∵PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠ACB=12∠AOB=12故答案為：65．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．15．如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠CDA＝25°，則∠AOB＝50°．【考點】垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】50．【分析】先根據(jù)垂徑定理得到AC=AB，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOB＝【解答】解：∵OA⊥BC，∴AC=∴∠AOB＝2∠CDA＝2×25°＝50°．故答案為：50．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．三．解答題（共5小題）16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BC于點C，交△ABC的外接圓于點D．連接BD，AE⊥BD于點E，交BC的延長線于點F．（1）求證：∠BAF＝∠ABF；（2）當(dāng)AE＝1，BE＝2時，求線段EF的長及△ABC的外接圓的半徑長．【考點】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）EF的長為32，△ABC的外接圓的半徑長為5【分析】（1）先證得∠BAE+∠ABE＝90°，∠BCA+∠ACD＝90°，由圓周角定理的推論得出∠ABE＝∠ACD，于是推出∠BAE＝∠BCA，根據(jù)等邊對等角得出∠BCA＝∠ABC，問題得證；（2）過點A作AG⊥BC于G，設(shè)EF＝x，在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理即可求出EF的長；設(shè)BG＝m，分別在Rt△ABG和Rt△AFG中根據(jù)勾股定理表示出AG2，即可求出m的值，再證△BCD≌△BEF，即可求出BD的長，根據(jù)圓周角定理的推論得出BD為直徑，從而得出半徑長．【解答】（1）證明：∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCA+∠ACD＝90°，∵∠ABE＝∠ACD，∴∠BAE＝∠BCA，∵AB＝AC，∴∠BCA＝∠ABC，∴∠BAE＝∠ABC，即∠BAF＝∠ABF；（2）解：如圖，過點A作AG⊥BC于G，由（1）知∠BAF＝∠ABF，∴AF＝BF，設(shè)EF＝x，∵AE＝1，∴AF＝AE+EF＝x+1，∴BF＝x+1，∵AE⊥BD，∴由勾股定理得BF2＝BE2+EF2，∴（x+1）2＝22+x2，∴x=3即EF=3∴AF＝BF=5∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝CG=1設(shè)BG＝m，∴FG=5在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2＝AB2﹣BG2，在Rt△AFG中，由勾股定理得AG2＝AF2﹣FG2，∴AB2﹣BG2＝AF2﹣FG2，∴(5解得m＝1，∴BG＝CG＝1，∴BC＝2，∴BE＝BC，∵∠CBD＝∠EBF，∠BCD＝∠BEF＝90°，∴△BCD≌△BEF（ASA），∴BD＝BF=5∵∠BCD＝90°，∴BD為⊙O的直徑，∴△ABC的外接圓的半徑長為12BD=【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點E，AB＝CD．（1）求證：AC＝BD；（2）連接BC，作直線EO，求證：EO⊥BC．【考點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得出AB?+CD?=（2）因為AB＝CD，所以，即∠ACB＝∠DBC．結(jié)合OB＝OC，得出E、O都在BC的垂直平分線上，即可作答．【解答】證明：（1）∵AB＝CD，∴AB?∴AB?即BD?∴AC＝BD．（2）連接OB、OC、BC．∵AB＝CD，∴AB?∴∠ACB＝∠DBC．∴EB＝EC，∵OB＝OC，∴E、O都在BC的垂直平分線上．∴EO⊥BC．【點評】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．18．如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上一點，過AC中點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，連結(jié)CF交AB點G，連結(jié)AF，BF．[認(rèn)識圖形]求證：△AFD∽△ACF．[探索關(guān)系]①求CF與DF的數(shù)量關(guān)系．②設(shè)CGFG=x，DEEF=[解決問題]若CG=22，F(xiàn)G=3【考點】圓的綜合題．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）見解答；（2）①CF=2DF②y=1（3）57【分析】（1）由圓的性質(zhì)得出∠AFD＝∠B＝∠C即可得證；（2）①由相似三角形的性質(zhì)即可解答；②由△GEF∽△GHC，△ADE∽△AHC得出對應(yīng)邊成比例即可解答；（3）由題意知CF=52，DF＝5，再求出x，y，設(shè)AD＝a，則AF=2a，由勾股定理求出a，即可求出AD【解答】（1）證明：∵AB是直徑，∴∠AFB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠AFE+∠EFB＝∠B+∠EFB＝90°，∴∠AFD＝∠B＝∠C．又∵∠DAF＝∠FAC，∴△AFD∽△ACF；（2）解：①∵△AFD∽△ACF，點．AD∵AC＝2AD，∴AF2＝2AD2，即AF=∴CF=②過C作CH⊥AB于H，則EF∥CH，∴△GEF∽△GHC，△ADE∽△AHC，∴DECH=AD∴y=（3）解：∵CG=22，∴CF=52，DF＝∴x=∴y=13，即設(shè)AD＝a，則AF=由a2-(5∴AD=522，AF∴AF2﹣EF2＝AD2﹣（5﹣EF）2，解得EF=15∴AE2＝AF2﹣EF2＝25-225∴AE=【點評】本題考查與圓又關(guān)的概念和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題關(guān)鍵．19．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D為AC的中點，CE⊥AB于E，BD與AC交于點G，與CE交于點F．（1）求證：CG＝CF；（2）若cos∠ABC=35，AC＝16，求【考點】圓周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）185【分析】（1）根據(jù)等弧所對的圓周角相等得出∠ABD＝∠CBD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠ACB＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠CBD+∠CGF＝90°，∠ABD+∠BFE＝90°，結(jié)合對頂角相等即可∠CGF＝∠CFG，從而問題得證；（2）根據(jù)直角三角形面積公式計算即可求出CE的長，再證△AGB∽△CFB，即可得出AG與CF的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)AC的長即可求出CF的長，從而求出EF的長．【解答】（1）證明：∵D為AC的中點，∴AD=∴∠ABD＝∠CBD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠CGF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ABD+∠BFE＝90°，∵∠BFE＝∠CFG，∴∠ABD+∠CFG＝90°，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵cos∠ABC=3∴BCAB設(shè)BC＝3x，則AB＝5x，由勾股定理得AC＝4x，∵AC＝16，∴4x＝16，解得x＝4，∴BC＝12，AB＝20，∴S△∴16×12＝20CE，解得CE=48由（1）知∠CGF＝∠CFG，又∵∠CGF+∠AGB＝180°，∠CFG+∠CFB＝180°，∴∠AGB＝∠CFB，∵∠ABD＝∠CBD，∴△AGB∽△CFB，∴AGCF設(shè)AG＝5m，則CF＝3m，∴CG＝CF＝3m，∴AC＝AG+CG＝16，∴5m+3m＝16，解得m＝2，∴CF＝6，∴EF＝CE﹣CF=48【點評】本題考查了圓周角定理及推論，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．20．如圖，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，點O在AB邊上，以點O為圓心，OA的長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC和AB邊于點F和E，連接AD，F(xiàn)D，ED．（1）求證：AD平分∠CAB；（2）求證：△DFC∽△ADE；（3）若CD＝1，求圖中陰影部分的面積．【考點】圓的綜合題．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）見解答；（2）見解答；（3）1-π【分析】（1）連接OD．由切線的性質(zhì)得出OD∥AC，結(jié)合圓的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAD即可得證；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)得出∠ADE＝∠C＝90°和∠AED＝∠CFD即可得證；（3）先說明∠B＝∠BAC＝45°，得出∠BOD＝45°，設(shè)BD＝x，OB=2x，BC＝AC＝x+1，根據(jù)勾股定理求出x，圖中陰影部分的面積為S△BOD﹣S扇形ODE【解答】（1）證明：如圖連接OD．∵⊙O與BC相切于點D，∴∠ODB＝90°＝∠C．∴OD∥AC∴∠ODA＝∠CAD．∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA．∴∠BAD＝∠CAD．∴AD平分∠BAC；（2）證明：∵AE是⊙O的直徑，∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C＝90°，∵四邊形AEDF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AED＝∠CFD．∴△DFC∽△ADE；（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°．由（1）可知OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝45°．∴OD＝BD．設(shè)BD＝x，OB=2x∴BC＝AC＝x+1，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴2(x∴x=2，即BD＝OD=∴圖中陰影部分的面積為S△【點評】本題考查圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，與圓有關(guān)的位置關(guān)系，勾股定理，扇形的面積，相似三角形的判定，熟練掌握以上知識是解題關(guān)鍵．

考點卡片1．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．2．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．3．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．5．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．7．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：28．菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=12ab．（a、9．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．10．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?1．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．12．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系