九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章圓3垂徑定理教案新版北師大版

Page13垂徑定理1．利用圓的軸對(duì)稱性探討垂徑定理及其逆定理．2．運(yùn)用垂徑定理及其逆定理解決問題．重點(diǎn)利用圓的軸對(duì)稱性探討垂徑定理及其逆定理．難點(diǎn)垂徑定理及其逆定理的證明，以及應(yīng)用時(shí)如何添加協(xié)助線．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入1．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？2．假如將一等腰三角形沿底邊上的高對(duì)折，可以發(fā)覺什么結(jié)論？3．假如以這個(gè)等腰三角形的頂角頂點(diǎn)為圓心，腰長為半徑畫圓，得到的圖形是否是軸對(duì)稱圖形呢？二、探究新知1．垂徑定理課件出示：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M.(1)該圖是軸對(duì)稱圖形嗎？假如是，其對(duì)稱軸是什么？(2)圖中有哪些等量關(guān)系？(3)你能給出幾何證明嗎？(寫出已知、求證并證明)解：(1)該圖是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線CD.(2)AM＝MB，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).(3)已知：如圖，AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的一條直徑，并且CD⊥AB，垂足為M.求證：AM＝BM，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).證明：連接OA，OB，則OA＝OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA＝OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM＝BM.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線CD對(duì)稱．∵⊙O關(guān)于直線CD對(duì)稱，∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，eq\o(AC,\s\up8(︵))和eq\o(BC,\s\up8(︵))重合，eq\o(AD,\s\up8(︵))和eq\o(BD,\s\up8(︵))重合．∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的?。?．垂徑定理的逆定理課件出示：如圖，AB是⊙O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點(diǎn)M.(1)下圖是軸對(duì)稱圖形嗎？假如是，其對(duì)稱軸是什么？(2)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由．(3)你能仿照垂徑定理的證明過程，自行證明逆定理嗎？(4)你能正確表述逆定理的內(nèi)容嗎？(5)“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的?。奔偃缭摱ɡ砩倭恕安皇侵睆健?，是否也能成立？分析：條件：CD是直徑；AM＝BM；結(jié)論(等量關(guān)系)：CD⊥AB；eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))；eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).歸納得到垂徑定理逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的?。?、舉例分析例1如圖，一條馬路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中eq\o(CD,\s\up8(︵))，點(diǎn)O是eq\o(CD,\s\up8(︵))所在圓的圓心)，其中CD＝600m，E為eq\o(CD,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，且OE⊥CD，垂足為F，EF＝90m．求這段彎路的半徑．引導(dǎo)學(xué)生思索如下問題：(1)如何利用所學(xué)定理添加協(xié)助線？(2)這樣添加協(xié)助線的目的是什么？(3)你想利用直角三角形的什么學(xué)問來解決問題？(4)大家能合作完成求解過程嗎？解：連接OC.設(shè)彎路的半徑為Rm，則OF＝(R－90)m.∵OE⊥CD，∴CF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×600＝300(m)．在Rt△OCF中，依據(jù)勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2.解這個(gè)方程，得R＝545.所以，這段彎路的半徑為545m.例2已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)．求證：AC＝BD.問：(1)證明兩條線段相等，最習(xí)慣用什么方法？(2)在此用三角形全等怎么證明？(3)用垂徑定理怎樣證明？處理方式：老師引導(dǎo)學(xué)生共同解決問題．四、練習(xí)鞏固1．如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，CE＝2，AE＝3，則△ACB的面積為()A．3B．5C．6D．82．在⊙O中，弦AB等于⊙O的半徑，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，則∠AOC＝________°.3．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C，D是直線AB上兩點(diǎn)，AC＝BD.求證：OC＝OD.五、課堂小結(jié)1．易錯(cuò)點(diǎn)：(1)垂徑定理中的兩個(gè)條件缺一不行——直徑(半徑)，垂直于弦；(2)垂徑定理的逆定理中“不是直徑”不行或缺，否則錯(cuò)誤．2．歸納小結(jié)：(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的??；(2)垂徑定理的逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的?。?．方法規(guī)律：解決有關(guān)弦的問題，常常是過圓心作弦的垂線、作垂直于弦的直徑、連接半徑等協(xié)助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)建條件．六、課外作業(yè)1．教材第76頁“隨堂練習(xí)”第1、2題．2．教材第76～77頁習(xí)題3.3第1～4題．垂徑定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)很重要的定理，由于它涉及的條件、結(jié)論比較多，學(xué)