經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：樣本及抽樣分布

樣本及抽樣分布第一節(jié)總體與樣本第二節(jié)統(tǒng)計(jì)量第三節(jié)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾種常見分布第四節(jié)正態(tài)總體的抽樣分布第一節(jié)總體與樣本

從理論上講，只要對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行大量的觀測(cè)(或?qū)嶒?yàn))，被研究的隨機(jī)變量的概率特征一定能顯現(xiàn)出來。如：進(jìn)行大量射擊，則射手的水平高低、平均中靶環(huán)數(shù)、射中每個(gè)環(huán)數(shù)概率都可大概知曉?？墒菍?shí)際進(jìn)行的觀測(cè)（或?qū)嶒?yàn)）次數(shù)只能是有限的，有的甚至是少量的．因此，我們關(guān)心的問題就是怎樣有效地利用收集到的有限的資料，盡可能地對(duì)被研究的隨機(jī)變量的概率特征作出精確而可靠的結(jié)論．

例如，我們考察某廠生產(chǎn)的一大批燈泡的質(zhì)量。在正常生產(chǎn)情況下，燈泡的質(zhì)量主要表現(xiàn)為它們的平均壽命是穩(wěn)定的.然而，由于生產(chǎn)中各種隨機(jī)因素的影響，各個(gè)燈泡的壽命是不完全相同的．要檢驗(yàn)燈泡的平均壽命就需要測(cè)試每一個(gè)的壽命。實(shí)際上，由于受到人力、物力等的限制，不可能對(duì)每一個(gè)燈泡的壽命進(jìn)行測(cè)試，特別地，測(cè)定燈泡壽命的試驗(yàn)具有破壞性，因此對(duì)全部燈泡一一進(jìn)行測(cè)試也不可能。一般只是從所有燈泡中抽取一些進(jìn)行測(cè)試，再根據(jù)這一部分?jǐn)?shù)據(jù)來推斷整體的情況。如：上面的例子中，該廠生產(chǎn)的所有燈泡的壽命就是總體，而每一個(gè)燈泡的壽命就是個(gè)體．一、總體與個(gè)體總體：被研究的對(duì)象的全體，個(gè)體：組成總體的各個(gè)元素．

以X表示燈泡的壽命，每個(gè)燈泡的壽命對(duì)應(yīng)的X一個(gè)取值,則所有燈泡的壽命即為X取值的全體。二、抽樣與樣本上例中，從所有的燈泡中抽取一個(gè)測(cè)試其壽命，就相當(dāng)于對(duì)燈泡的壽命這個(gè)隨機(jī)變量X進(jìn)行一次試驗(yàn)（或觀測(cè)），得到的一個(gè)具體的燈泡壽命的數(shù)據(jù)。從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，就是對(duì)代表總體的隨機(jī)變量X進(jìn)行一次試驗(yàn)（或觀測(cè)），得到的一個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)（或觀測(cè)值）．

從總體中抽取一部分個(gè)體，就是對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行若干次試驗(yàn)（觀測(cè)），得到的若干個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)（或觀測(cè)值）．從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體的過程稱為抽樣。抽樣得到的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)（觀測(cè)值）稱為樣本。樣本中所含個(gè)體的數(shù)量稱為樣本容量。

由于樣本隨每次抽樣觀察而改變，所以容量為的樣本可以看做一個(gè)維隨機(jī)變量，而一旦取定一組樣本，就得到了個(gè)具體的數(shù)，稱為樣本的一次觀測(cè)值，簡(jiǎn)稱樣本觀測(cè)值．常用的抽樣方式是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：（1）代表性：

這種隨機(jī)的、獨(dú)立的抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由此得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．樣本中的每一個(gè)分量與總體X有相同的分布；（2）獨(dú)立性：每次抽樣的結(jié)果既不影響其它各次抽樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響，即是相互獨(dú)立的。如果是從總體X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則相互獨(dú)立且與總體X同分布．

今后，如不加特殊說明，本書中提到的抽樣和樣本指的都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．第二節(jié)統(tǒng)計(jì)量

為了對(duì)總體X進(jìn)行推斷，需要從總體中抽取樣本，再對(duì)樣本進(jìn)行加工處理，也就是說需要根據(jù)不同的問題構(gòu)造出適用的樣本函數(shù)．

由于總體X的分布未知，作為分布的重要特征的參數(shù)一般也未知，所以作為推斷的依據(jù)，我們要求構(gòu)造的樣本函數(shù)中不含有任何未知參數(shù)．定義1設(shè)為來自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，如果樣本函數(shù)中不含有任何未知參數(shù)，則稱這類樣本函數(shù)為統(tǒng)計(jì)量．例如：總體,是其樣本，當(dāng)未知時(shí)，因?yàn)槎际请S機(jī)變量，所以統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量，若是樣本觀測(cè)值，則即為統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值．不是統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量(1)樣本均值：觀測(cè)值：(2)樣本方差觀測(cè)值：數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最常用的統(tǒng)計(jì)量及其觀測(cè)值有：(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差：觀測(cè)值：(4)樣本k階原點(diǎn)矩：觀測(cè)值：(5)樣本k階中心矩：觀測(cè)值：

例1從總體中抽取一組樣本，其樣本觀測(cè)值如下：19.120.021.218.819.620.522.021.619.420.3計(jì)算樣本均值、樣本方差及樣本二階中心矩的觀測(cè)值．解：把上述10個(gè)數(shù)據(jù)逐個(gè)輸入計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中，不難求得第三節(jié)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾種常見分布一、分布則稱X服從自由度為n的

分布，記為定義1設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則隨機(jī)變量其中伽瑪函數(shù)通過積分來定義。服從的隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為的圖像：定義2設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)和,有則稱為隨機(jī)變量X的分布的上分位點(diǎn)．則稱為分布的上分位點(diǎn)。定義3若，且滿足例如：已知,．本書附表3中，對(duì)于不同的,給出了的值．二、t分布

的圖形如圖所示:定義4設(shè)，，且獨(dú)立服從自由度為的分布則隨機(jī)變量記為服從t(n)的隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

的圖形如圖所示:故當(dāng)足夠大時(shí),分布近似于分布。但對(duì)于較小的，分布與分布相差較大.的點(diǎn)為分布的上分位點(diǎn).對(duì)于給定的，，稱滿足條件

t分布的上分位點(diǎn)可由附表4查得。例如：已知隨機(jī)變量，則．三、F分布

的圖形如圖所示:定義6且相互獨(dú)立，服從自由度為的分布則隨機(jī)變量記為服從分布的隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為對(duì)于給定的,稱滿足條件的點(diǎn)為分布的上分位點(diǎn)定理3且相互獨(dú)立，服從自由度為的分布則隨機(jī)變量記為注：F分布的分位點(diǎn)可由附表5查得。利用這個(gè)等式，查附錄表，可以計(jì)算當(dāng)時(shí)的的值例如從總體X中抽取容量n的樣本，第四節(jié)正態(tài)總體的抽樣分布樣本均值與樣本方差分別是定理1若是來自正態(tài)總體的樣本，則樣本均值與樣本方差相互獨(dú)立，并且

例1設(shè)總體，從總體中抽取容量為9的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值小于2的概率,如果（1）已知總體方差；（2）總體方差未知，但已知樣本方差的觀測(cè)值解：（1）解：（2）例1設(shè)總體，從總體中抽取容量為9的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值小于2的概率,如果（1）已知總體方差；（2）總體方差未知，但已知樣本方差的觀測(cè)值（2）未知，求。解：（1）例2設(shè)總體，從總體中抽取容