經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課件：微分方程與經(jīng)濟(jì)決策

微分方程與經(jīng)濟(jì)決策名言鄧小平發(fā)展才是硬道理故事上個(gè)世紀(jì)80年代末和90年代初，日本、“四小龍”及一些東盟國(guó)家和地區(qū)，經(jīng)濟(jì)發(fā)展比我們快，處于高速發(fā)展時(shí)期；而我們一方面圍繞姓“社”姓“資”問(wèn)題爭(zhēng)論不休，另一方面又因強(qiáng)調(diào)治理整頓而放慢了經(jīng)濟(jì)發(fā)展的步伐。1989—1991年3年間，GDP只比上年分別增長(zhǎng)了4％、5％、4％。正在這個(gè)改革開(kāi)放的關(guān)鍵時(shí)刻，鄧小平提出了“發(fā)展才是硬道理”的著名論斷。鄧小平這樣說(shuō)：“對(duì)于我們這樣發(fā)展中的大國(guó)來(lái)說(shuō)，經(jīng)濟(jì)要發(fā)展得快一點(diǎn)，不可能總是那么平平靜靜、穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)。要注意經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定、協(xié)調(diào)地發(fā)展，但穩(wěn)定和協(xié)調(diào)也是相對(duì)的，不是絕對(duì)的，發(fā)展才是硬道理，這個(gè)問(wèn)題要搞清楚?！蹦夸泧?guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案1.使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程2.路線問(wèn)題典型案例3.進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：微分方程4.第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案一、問(wèn)題引入

引例1：（中國(guó)的GDP真的可以超越美國(guó)嗎？）中國(guó)2010年GDP超過(guò)日本成全球第二大經(jīng)濟(jì)體，中國(guó)GDP何時(shí)超越美國(guó)，這成為很多人討論的話題。2010年我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）約為5.98萬(wàn)億美元，如果我國(guó)能保持每年10.4%的相對(duì)增長(zhǎng)率；而美國(guó)2010年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為14.6萬(wàn)億美元，如果美國(guó)能保持每年5.8%的相對(duì)增長(zhǎng)率，問(wèn)到2030年我國(guó)的GDP能否超過(guò)美國(guó)？第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案一、問(wèn)題引入答案是：只要每年能保持10.4％的相對(duì)增長(zhǎng)率，到2030年，中國(guó)的GDP真有可能超越美國(guó)。問(wèn)題分析：求2030年中美兩國(guó)的GDP這一類(lèi)的問(wèn)題，其中相關(guān)變量隨時(shí)間的變化都有相似的規(guī)律，都有相同的解決路線，即在一定約束條件下，所研究的量在任一時(shí)刻（減少或增大）的速率與該時(shí)刻量的簡(jiǎn)單函數(shù)，或某一量的函數(shù)成正比，根據(jù)此條路線可直接建立微分方程，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)工具求解微分方程，在此基礎(chǔ)上對(duì)相關(guān)的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題做出更好地決策。第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案一、問(wèn)題引入在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程的方法來(lái)研究該問(wèn)題因此要獲得相關(guān)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的解決，首先要弄清楚什么是微分方程，怎樣求解微分方程，這些是我們接下來(lái)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱(chēng)為微分方程．其中未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱(chēng)為常微分方程．微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱(chēng)為微分方程的階．如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，能使該方程變成恒等式，這樣的函數(shù)稱(chēng)為微分方程的解．

．第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

如果微分方程的解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱(chēng)為微分方程的通解．

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

如果通解中的任意常數(shù)取某定值，或利用附加條件求出任意常數(shù)應(yīng)取的值，所得的解叫做微分方程的特解．

確定通解中任意常數(shù)的附加條件稱(chēng)為初始條件．第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

問(wèn)題：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題解決方案目的：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題的解決方案：通過(guò)尋找某種函數(shù)關(guān)系，得到量與量之間的變化規(guī)律，建立微分方程例2中國(guó)的GDP真的可以超越美國(guó)嗎？分析根據(jù)本例的已知條件，我們要把每年GDP的相對(duì)增長(zhǎng)率（每年GDP的相對(duì)增長(zhǎng)率指GDP的增長(zhǎng)率和當(dāng)年GDP的比值）作為突破口，建立微分方程運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解微分方程，從而獲得2030年中美GDP的預(yù)測(cè)值。

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

通過(guò)預(yù)測(cè)2030年中美的GDP，從而更好地判斷兩國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況，為決策者制訂戰(zhàn)略目標(biāo)、計(jì)劃規(guī)劃和財(cái)政金融政策提供依據(jù)；并且在對(duì)外交往中有重要意義：與我國(guó)承擔(dān)的國(guó)際義務(wù)相關(guān)，如承擔(dān)聯(lián)合國(guó)會(huì)費(fèi)；與我國(guó)享受的優(yōu)惠待遇有關(guān)，如世界銀行根據(jù)GDP來(lái)劃分給予優(yōu)惠的標(biāo)準(zhǔn)。

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案從圖中可以看出，交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的年份就是中國(guó)GDP即將超過(guò)美國(guó)的時(shí)候，這為我們判斷兩國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況，為決策者制訂戰(zhàn)略目標(biāo)提供了一條決策路線。當(dāng)然在實(shí)際操作過(guò)程中，還要配合其他因素綜合考慮。第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案在此類(lèi)問(wèn)題解決過(guò)程中，建立微分方程是非常關(guān)鍵的一步，怎樣才能做好這一關(guān)鍵步驟呢？需要遵循以下步驟：(1)理解表示導(dǎo)數(shù)的常用詞,如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用“邊際成本”,“邊際收益”;在生物學(xué)中常用種群的“增長(zhǎng)速率”;在化學(xué)反應(yīng)中常用“擴(kuò)散速率”等.(2)建立瞬時(shí)表達(dá)式,根據(jù)自變量Δt有微小改變時(shí),因變量的增量Δy,建立起在Δt時(shí)段上的增量表達(dá)式,令Δt→0,得到dy/dt的表達(dá)式.

第一節(jié)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值問(wèn)題及解決方案二、典型問(wèn)題解決方案

(3)根據(jù)已給的實(shí)際問(wèn)題確定條件,這些條件是關(guān)于系統(tǒng)在某一特定時(shí)刻或邊界上的信息,它們獨(dú)立于微分方程而成立,用以確定有關(guān)常數(shù).當(dāng)然給定的條件和已建立的方程能完整地以數(shù)學(xué)形式描述實(shí)際問(wèn)題.

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程一、典型案例中國(guó)的GDP真的可以超越美國(guó)嗎？選用第一節(jié)引例提出的問(wèn)題作為本案例二、解決方案我們根據(jù)中美兩國(guó)2010年的GDP以及兩國(guó)每年GDP的相對(duì)增長(zhǎng)率等已知條件，建立微分方程，然后在分離變量法的基礎(chǔ)上兩邊積分求出通解和特解，從而獲得2030年中美兩國(guó)GDP的預(yù)測(cè)值。

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程三、解決辦法將建立的微分方程分離變量，兩邊積分后利用微軟Mathemmatics軟件求出微分方程的通解和特解，從而獲得2030年中美兩國(guó)GDP的預(yù)測(cè)值。四、微軟Mathemmatics軟件演算步驟第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程四、微軟Mathemmatics軟件演算步驟

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程四、微軟Mathemmatics軟件演算步驟

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程四、微軟Mathemmatics軟件演算步驟

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程四、微軟Mathemmatics軟件演算步驟

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程四、微軟Mathemmatics軟件演算步驟

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程四、微軟Mathemmatics軟件演算步驟

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程四、微軟Mathemmatics軟件演算步驟

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程四、微軟Mathemmatics軟件演算步驟

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)求解微分方程四、微軟Mathemmatics軟件演算步驟

第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例案例：日本家用電器業(yè)界建立的電飯煲銷(xiāo)售模型第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例

第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例

第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例

第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例

第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例

第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例

第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例

第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例根據(jù)產(chǎn)品銷(xiāo)售增長(zhǎng)曲線這條路線分析表明：在銷(xiāo)售量小于最大銷(xiāo)量(需求量)的一半時(shí)，銷(xiāo)售速度是不斷增大的；銷(xiāo)售量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷(xiāo)，其后銷(xiāo)售速度開(kāi)始下降。

第三節(jié)路線問(wèn)題典型案例以上銷(xiāo)售增長(zhǎng)曲線與實(shí)際調(diào)查結(jié)果比較吻合，推廣速率的增長(zhǎng)過(guò)程一般在達(dá)到最大需求量的一半時(shí)結(jié)束。國(guó)外研究普遍認(rèn)為：從20％用戶到80％用戶采用某一新產(chǎn)品這段時(shí)期，應(yīng)為該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的較合適的時(shí)期，初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳，后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效益。

第四節(jié)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：微分方程第一節(jié)已經(jīng)介紹了微分方程的概念以及用分離變量法解微分方程，下面介紹的是一階線性微分方程

第四節(jié)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：微分方程

第四節(jié)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：微分方程

第四節(jié)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知