經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課件-最優(yōu)方案的分析與選擇

最優(yōu)方案的分析與選擇名言汪應(yīng)洛管理就是用一定的資源創(chuàng)造盡量多的價(jià)值，在創(chuàng)造一定價(jià)值的時(shí)候使用盡量少的資源。換言之，就是要追求成本最小化與價(jià)值最大化之間的協(xié)調(diào)。故事

2004年10月，三元牛奶在大本營(yíng)北京退居第三，而在巔峰時(shí)期，三元曾占據(jù)了北京市場(chǎng)的8成。中國(guó)奶業(yè)的市場(chǎng)規(guī)模在近年增幅明顯減小，而在面對(duì)蒙牛、伊利等主要的對(duì)手競(jìng)爭(zhēng)下，三元牛奶品牌力不如對(duì)手，價(jià)格缺乏競(jìng)爭(zhēng)力，成本控制乏力，2004年三元牛奶在大本營(yíng)的失利是必然的。最近，面臨窘境的三元不得不走一步險(xiǎn)棋——產(chǎn)品漲價(jià)，原本賣0.95元的三元加鈣奶現(xiàn)在賣到了1元，原本賣1元的三元純鮮奶賣到了1.15元。很明顯，三元希望通過漲價(jià)擺脫虧損的困境，但這只是企業(yè)的一廂情愿。據(jù)報(bào)道，漲價(jià)后，北京一些社區(qū)的牛奶批發(fā)點(diǎn)減少了三元牛奶的進(jìn)貨數(shù)量，北京之外部分省市的終端上，三元的產(chǎn)品也已經(jīng)沒了蹤影。漲價(jià)是否會(huì)成為三元新一輪市場(chǎng)份額下滑的開端？這是他們的最優(yōu)方案嗎？目錄最大利潤(rùn)問題及解決方案1.使用微軟數(shù)學(xué)討論極值問題2.極值問題典型案例3.進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值4.第一節(jié)最大利潤(rùn)問題及解決方案一、問題引入引例1：某超市購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲取更多利潤(rùn)，商店決定提高銷售價(jià)格，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件；若按每件25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210件，但最高價(jià)格不能超過每件32元。假定每月銷售件數(shù)y(件)是價(jià)格

x

(元/件)的一次函數(shù)。(1)試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，銷售價(jià)格為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)？每月的最大利潤(rùn)是多少？問題分析：

第一節(jié)最大利潤(rùn)問題及解決方案(1)設(shè)y=kx+b,依題意,當(dāng)x=20時(shí),y=360;x=25時(shí)，y=210,故解得則第一節(jié)最大利潤(rùn)問題及解決方案(2)設(shè)每月所得總利潤(rùn)為L(zhǎng)元，總利潤(rùn)=總收入－總成本，則

顯然，當(dāng)x=24時(shí)，L有最大值。即銷售價(jià)格為24元/件時(shí)，可使每月所獲利潤(rùn)最大，每月的最大利潤(rùn)為1920元。在這個(gè)問題中，我們注意到,x=24時(shí)的邊際利潤(rùn)為0。那么邊際利潤(rùn)等于0的時(shí)候，是不是保證一定可達(dá)到最大利潤(rùn)呢？我們先把這個(gè)懸念留到后面。第一節(jié)最大利潤(rùn)問題及解決方案二、典型問題解決方案(1)式表明產(chǎn)出的邊際收益等于邊際成本，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為“最大利潤(rùn)原則”或“虧損最小原則”。

(1)

最大利潤(rùn)或最小成本問題:

設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(Q),總收益函數(shù)為R(Q),則總利潤(rùn)函數(shù)L(Q)可表示為L(zhǎng)(Q)=R(Q)-C(Q)

。我們知道，如果L(Q)的導(dǎo)數(shù)存在，則要使利潤(rùn)最大，必須使產(chǎn)量

Q滿足條件

，即第一節(jié)最大利潤(rùn)問題及解決方案當(dāng)然，滿足的產(chǎn)量并不能保證使利潤(rùn)最大，這時(shí)，我們的判斷辦法一般有兩種。第一種，如果在左側(cè)附近的值大于0、在右側(cè)附近的值小于0，那么可以判定為利潤(rùn)最大值點(diǎn)。第二種，如果使的只有一個(gè)，而根據(jù)問題的實(shí)際意義，利潤(rùn)最大值點(diǎn)又肯定存在，那么，當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，利潤(rùn)取得最大值。第一節(jié)最大利潤(rùn)問題及解決方案按照經(jīng)濟(jì)學(xué)的解釋，總成本由固定成本和可變成本兩部分構(gòu)成，且可變成本隨產(chǎn)量的增加而增加，因此總成本一般來說沒有最小值(除非不生產(chǎn))，在經(jīng)濟(jì)學(xué)上有意義的是單位成本(即平均成本)最小的問題，假設(shè)某種產(chǎn)品的總成本為C(Q)，則生產(chǎn)的平均成本為如果平均成本函數(shù)可導(dǎo)，則要使最小,就必須使產(chǎn)量Q滿足條件即

(2)(2)式表明產(chǎn)出的邊際成本等于平均成本，這是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要結(jié)論．第一節(jié)最大利潤(rùn)問題及解決方案案例1設(shè)每日生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為產(chǎn)品單價(jià)為60元，問每日產(chǎn)量為多少時(shí)可獲最大利潤(rùn)?解決方案總收益R(Q)=PQ=60Q,總利潤(rùn)令,得唯一駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn))＝200。第一節(jié)最大利潤(rùn)問題及解決方案根據(jù)問題的實(shí)際意義，總利潤(rùn)最大的點(diǎn)一定存在，所以，當(dāng)日產(chǎn)量為=200單位時(shí)可獲最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為第一節(jié)最大利潤(rùn)問題及解決方案案例2設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(Q)=54+18Q+6Q2

試求平均成本最小時(shí)的產(chǎn)量。解決方案因?yàn)椋?18+6Q，

令，得Q=3(Q=-3舍去)所以當(dāng)產(chǎn)量Q=3時(shí)可使平均成本最?。谝还?jié)最大利潤(rùn)問題及解決方案

注：由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)可得，在實(shí)際問題中，如果我們確定所討論的可導(dǎo)函數(shù)f(x)存在最大值或最小值，并且f(x)在x的取值范圍內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，那么該點(diǎn)就是所求的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)。第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論極值問題一、典型案例讓我們繼續(xù)來研究第一節(jié)的案例1，設(shè)每日生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為產(chǎn)品單價(jià)為60元，問每日產(chǎn)量為多少時(shí)可獲最大利潤(rùn)?第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論極值問題二、解決方案案例1的基本求解步驟如下：第一步：求出總利潤(rùn)函數(shù)L(Q)；第二步：求出邊際利潤(rùn)函數(shù)；第三步：求使邊際利潤(rùn)等于0的產(chǎn)量，也就是解方程第四步：判斷是否為利潤(rùn)最大值點(diǎn)；第五步：如果是，將代入利潤(rùn)函數(shù)，求出最大利潤(rùn)。其中，第二、第三和第五步都可以用微軟數(shù)學(xué)來實(shí)現(xiàn)。第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論極值問題三、微軟數(shù)學(xué)求解演算步驟第一步：在主界面左側(cè)的計(jì)算器鍵盤中依次點(diǎn)擊【微積分】→【】第二步：在右側(cè)工作表輸入窗口的括號(hào)“()”中輸入利潤(rùn)函數(shù)，如圖4-1所示。圖4-1輸入利潤(rùn)函數(shù)第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論極值問題第三步：?jiǎn)螕艄ぷ鞅碛蚁陆堑摹据斎搿?，將?jì)算出，如圖4-2所示。圖4-2計(jì)算利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論極值問題第四步：在右側(cè)工作表輸入窗口輸入如圖4-3所示內(nèi)容(可通過雙擊圖4-2的輸出結(jié)果簡(jiǎn)化等號(hào)左邊內(nèi)容的輸入)。圖4-3輸入方程

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論極值問題第五步：?jiǎn)螕簟据斎搿?，得?舍去)，如圖4-4所示。圖4-4計(jì)算的產(chǎn)量第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論極值問題第六步：在工作表中輸入如下內(nèi)容，如圖4-5所示，得產(chǎn)量為時(shí)的利潤(rùn)為3000元，這是最大利潤(rùn)。圖4-5計(jì)算最大利潤(rùn)第三節(jié)極值問題典型案例案例1以價(jià)格優(yōu)勢(shì)搶占市場(chǎng)份額，平均成本最低天虹彩電為了在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中以價(jià)格優(yōu)勢(shì)搶占市場(chǎng)份額，在集團(tuán)內(nèi)實(shí)施“以平均成本最低為目標(biāo)”的經(jīng)營(yíng)策略，根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)資料，生產(chǎn)總成本C（單位：百萬元）是月產(chǎn)量Q（單位：萬臺(tái)）的函數(shù)問：月產(chǎn)量應(yīng)為多少臺(tái)，才能實(shí)現(xiàn)平均成本最低的目標(biāo)？每臺(tái)彩電的平均成本為多少元？第三節(jié)極值問題典型案例解決方案本例以平均成本函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，由總成本函數(shù)得平均成本函數(shù)為令得=9.798(只取正值)，第三節(jié)極值問題典型案例且當(dāng)0＜Q<9.798時(shí)，

當(dāng)Q

＞9.798時(shí),故當(dāng)產(chǎn)量為Q=9.798(萬臺(tái))時(shí)，平均成本函數(shù)有極小值，其值為=1164（元/臺(tái)）。(百萬元/萬臺(tái))第三節(jié)極值問題典型案例案例2“薄利多銷”以使收益最大愛心牌襯衣，若定價(jià)為每件50元，一周可售出1000件，市場(chǎng)調(diào)查顯示，每件售價(jià)每降低2元，一周的銷售量可增加100件，問每件售價(jià)定為多少元時(shí)，能使商家的銷售額最大，最大銷售額是多少？解決方案銷售額最大，就是收益最大，所以目標(biāo)函數(shù)是總收益函數(shù)。設(shè)因降價(jià)可多銷售Q件襯衣，則銷售的總件數(shù)為1000+Q第三節(jié)極值問題典型案例依題設(shè)，每件襯衣售價(jià)每降低2元，銷售量可增加100件，現(xiàn)因降價(jià)多銷售了Q件襯衣，故每件襯衣應(yīng)降價(jià)

元，從而，每件襯衣的售價(jià)P應(yīng)為原售價(jià)減去每件襯衣應(yīng)降低的價(jià)格，即由上式，當(dāng)P=0時(shí)，Q=2500，即因降價(jià)最多可多銷售2500件。

第三節(jié)極值問題典型案例這時(shí)，總收益函數(shù)為售價(jià)與銷售件數(shù)的乘積，即令得Q=750第三節(jié)極值問題典型案例且＜750時(shí)，＞750時(shí)，故Q=750(件)時(shí)，銷售額最大。此時(shí)，每件襯衣的售價(jià)為P=50－0.02×750=35(元/件)，最大銷售額為R=35×(1000+750)=61250(元).第三節(jié)極值問題典型案例案例3確定組團(tuán)人數(shù)以使旅行社利潤(rùn)最大？某旅行社舉辦風(fēng)景區(qū)旅行團(tuán)，若每團(tuán)人數(shù)不超過30人，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠，每多1人，機(jī)票每張減少10元，直至每張機(jī)票降到450元為止。每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元，問每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少？解決方案這是求利潤(rùn)最大值問題，依題意，對(duì)旅行社而言，機(jī)票收入是收益，付給航空公司包機(jī)費(fèi)是成本。第三節(jié)極值問題典型案例設(shè)x表示每團(tuán)人數(shù),p表示飛機(jī)票的價(jià)格，因所以每團(tuán)人數(shù)最多為30+45=75(人)，飛機(jī)票的價(jià)格旅行社的利潤(rùn)函數(shù)為第三節(jié)極值問題典型案例因顯然，當(dāng)時(shí)，有x=60第三節(jié)極值問題典型案例又30＜x＜60時(shí)，

當(dāng)60＜x≤75時(shí)，

所以，當(dāng)x=60人時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)取極大值，即每團(tuán)60人時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值一、高階導(dǎo)數(shù)定義1

如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)

仍是x的可導(dǎo)函

數(shù)，則稱的導(dǎo)數(shù)為f(x)

的二階導(dǎo)數(shù)，記作或

或

或

即類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記作或四階或四階以上的導(dǎo)數(shù)記作或第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值稱為函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù),二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù),也常說成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo).例1設(shè),求解,,例2設(shè),求解,…,,,第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值二、函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在

的某鄰域內(nèi)有定義，且在此鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn),均有

，則稱

是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值；同樣，如果對(duì)此鄰域內(nèi)任一

點(diǎn)

，均有

，則稱

是函數(shù)f(x)

的一個(gè)極小值。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)

，稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。特別注意：函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上可能有幾個(gè)極大值和幾個(gè)極小值，其中有的極大值可能比極小值還小．第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值圖4-6如圖4-6所示：均是的極小值；均是的極大值．顯然，極小值大于極大值。從圖4-6可以看出，在函數(shù)取得極值處，曲線的切線是水平的，即極值點(diǎn)處，必有于是有下面定理：第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值定理1(極值的必要條件)

設(shè)

y=f(x)在點(diǎn)

處可導(dǎo)，且在點(diǎn)

處取得極值，那么

．定理1告訴我們，可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必是它的駐點(diǎn)。反過來，駐點(diǎn)卻不一定是f(x)的極值點(diǎn)。比如x=0是函數(shù)

的駐點(diǎn)，但不是它的極值點(diǎn)。第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值此外，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)還可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。例如，

函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)，但它在該點(diǎn)處取得極小值(圖4-7).圖4-7總之，連續(xù)函數(shù)f(x)的可能極值點(diǎn)只能是其駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。為了判斷函數(shù)在可能極值點(diǎn)處是否取得極值，有如下定理。

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值定理2(極值的第一充分條件)設(shè)f(x)在點(diǎn)

連續(xù)，在點(diǎn)

的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)．當(dāng)x

由小增大經(jīng)過時(shí)，如果（1）

由負(fù)變正，那么f(x)

在點(diǎn)

取得極小值；（2）

由正變負(fù)，那么f(x)

在點(diǎn)

取得極大值；（3）

不變號(hào)，那么不是極值點(diǎn)。定理3(極值的第二充分條件)設(shè)f(x)在點(diǎn)

具有二階導(dǎo)數(shù)

，且（1）

如果，那么f(x)

在點(diǎn)

取得極小值；（2）

如果，那么f(x)

在點(diǎn)

取得極大值。第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值例3求函數(shù)的極值．解(法一)

函數(shù)的定義域?yàn)?，且令，得駐點(diǎn)。在內(nèi)，，在內(nèi)，由定理2知，f(1)=7為函數(shù)f(x)的極大值。

同理，可得f(3)=3為f(x)的極小值。

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值有時(shí)，可將整個(gè)解題過程以表格形式表示如下：

1

3

+0

_

0

+極大值f(1)=7

極小值f(3)=3第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值（法二）函數(shù)的定義域?yàn)椋伊?，得駐點(diǎn)因?yàn)?，由定?知f(1)=7為極大值,f(3)=3為極小值。

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：極值與最值三、函數(shù)的最值如果把易拉罐視為圓柱體，你是否注意到可口可樂、雪碧、健力寶等大飲料公司出售的易拉罐的半徑與高之比是多少？請(qǐng)你不防去測(cè)量一個(gè)？為什么這些公司會(huì)選擇這種比例呢？企業(yè)?？紤]用最低的成本獲取最高的利潤(rùn)，在設(shè)計(jì)易拉罐時(shí)，大飲料公司除考慮外包裝