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線性變換及其矩陣本節(jié)內(nèi)容線性變換及其性質線性變換的矩陣表示小結

線性空間是某類客觀事物從量的方面的一個抽象，而線性變換則研究線性空間中元素之間的最基本聯(lián)系．１．變換一、線性變換的概念定義1設是實數(shù)域上的線性空間，若存在一個到自身的映射，則稱為上的一個變換.2.線性變換定義2.為線性空間的一個變換，如果對于中任意的元素和實數(shù)域中的任意數(shù)都有則稱為的線性變換.說明(2)一般用表示線性空間上的線性變換.證明設則有所以零變換是線性變換．例1線性空間中的零變換：是線性變換．證明則有設例2線性空間中的恒等變換（或稱單位變換）：是線性變換．所以恒等變換是線性變換．例3.在全體一元實系數(shù)多項式組成的實線性空間上定義變換D，即稱之為微分變換，則它是線性變換.事實上，對任意的，及，有于是D為線性變換.二、線性變換的性質三、線性變換的矩陣表示對于線性空間上的線性變換，取定的一組基，若在下的像為，于是對中任意向量由于線性變換保持線性關系不變，因此上式表明是完全確定的．因此線性變換是完全確定的．另一方面，是中的向量，可以由基唯一線性表示出來，不妨設為若記于是若用記號表示此時稱矩陣為線性變換在基下的矩陣．顯然，當線性變換確定，則它在給定基下的矩陣是由唯一確定．反過來，假設給定實數(shù)域上一個階矩陣，可以證明上存在唯一的線性變換，使得在基下的矩陣恰為．例4.對于線性空間，若為求導數(shù)的線性變換，即．在基下，因為因此在基下的矩陣為練習：求中的線性變換在基下的矩陣.解因為因此，在基下線性變換的矩陣由線性變換在一組基下的矩陣，很容易得出中任意向量的坐標和它的象的坐標之間的的關系.定理設是線性空間的一組基，線性變換在該基下的矩陣為．如果中向量在這組基下的坐標為，則在該基下的坐標為.線性變換的矩陣由線性空間的基決定.一般說來，一個線性變換在兩組不同基下的矩陣是不相同的，下面的定理給出了它們之間的關系.

定理同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的．四.小結

1.線性變換的概念與性質

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