2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（蘇科版）第九章 中心對稱圖形平行四邊形（坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)、矩形折疊、特殊四邊形動點）（解析版）

第九章中心對稱圖形平行四邊形坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問題典例1如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,將線段繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn),再將其長度伸長為的倍,得到線段;又將線段繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn),長度伸長為的倍,得到線段;如此下去,得到線段,,…（n為正整數(shù)）,則點的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查勾股定理,旋轉(zhuǎn),規(guī)律變化知識．正確分析出變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解:∵點的坐標(biāo)為,∴,∵將線段繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn),再將其長度伸長為的倍,得到線段,∴,∵將線段繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn),長度伸長為的倍,得到線段,∴,∴,∴,∵每次旋轉(zhuǎn),∴,∴點應(yīng)旋轉(zhuǎn)到軸負(fù)半軸位置,∴,故選:C．典例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點A順指針旋轉(zhuǎn)到的位置，點B、O分別落在點、處，點在x軸上，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在x軸上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在x軸上，依次進(jìn)行下去…，若點、，則點的橫坐標(biāo)為（）

A．10110 B． C． D．10120【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求得的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)找到點之間的規(guī)律，即可得每偶數(shù)之間的C相差10個單位長度，根據(jù)這個規(guī)律可得到結(jié)果．【詳解】解：∵點、，是直角三角形，∴，∴，根據(jù)邊長之間的關(guān)系可得：，根據(jù)點C旋轉(zhuǎn)的規(guī)律可得，∴即，∴的橫坐標(biāo)為，故答案選：D．【點睛】本題考查了圖形的坐標(biāo)規(guī)律，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用旋轉(zhuǎn)求出三角形的三邊長．典例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OAB，，點O為坐標(biāo)原點，點B在x軸上，點A的坐標(biāo)是．若將繞點O順時針方向依次旋轉(zhuǎn)45°后得到，，，…，可得，，，…則的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，點坐標(biāo)的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出一般性規(guī)律．根據(jù)題意求出：，，，，，的坐標(biāo)，推導(dǎo)出每旋轉(zhuǎn)8次為一個循環(huán)，再由，求出對應(yīng)的點坐標(biāo)即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，，，，，，…，∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律：點坐標(biāo)的變化每旋轉(zhuǎn)8次為一個循環(huán)，∵，∴的坐標(biāo)是．故答案為：．典例4如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，將，，繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次得到，如果點A的坐標(biāo)為，那么點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)圖形可知：點B在以O(shè)為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動，由旋轉(zhuǎn)可知：將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到，相當(dāng)于將線段繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，可得對應(yīng)點的坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，然后按此規(guī)律解答即可．根據(jù)題意、歸納出點B的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，點A的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可知：，∵將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到，∴相當(dāng)于將線段繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，依次得到：，∴，，，，，，，，……∴每8次完成一個循環(huán)，∵，∴的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，∴的坐標(biāo)為．故答案為：．跟蹤訓(xùn)練1如圖，將邊長為1的正三角形沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2023次，點P依次落在點，，，…，的位置，則點的橫坐標(biāo)為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．【答案】B【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)圖形的翻轉(zhuǎn)，分別得出、、…的橫坐標(biāo)，再根據(jù)規(guī)律即可得出各個點的橫坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過P作軸，垂足為Q，∵正三角形的邊長為1，∴，可知、的橫坐標(biāo)是1，的橫坐標(biāo)是，、的橫坐標(biāo)是4，的橫坐標(biāo)是，依此類推下去，，則的橫坐標(biāo)是2023，故選B．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在中，，，將沿軸依次以點、、為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，分別得到圖②、圖③則旋轉(zhuǎn)得到的第個三角形的直角頂點的坐標(biāo)為.

【答案】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化—旋轉(zhuǎn)，勾股定理；利用勾股定理得到的長度，結(jié)合圖形可求出圖③的直角頂點的坐標(biāo)．根據(jù)圖形不難發(fā)現(xiàn)，每3個圖形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，且下一組的第一個圖形與上一組的最后一個圖形的直角頂點重合．據(jù)此可得出結(jié)果．【詳解】解：，，，，根據(jù)圖形，每個圖形為一個循環(huán)組，，且第、個三角形的直角頂點在同一個位置；，第、個三角形的直角頂點在軸上，橫坐標(biāo)為，第個三角形的直角頂點的坐標(biāo)為，故答案為：．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形，如果點的坐標(biāo)為，那么點的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當(dāng)于將線段繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，可得，，，，根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是正方形，且，∴，如圖，

由旋轉(zhuǎn)得：，∵將正方形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當(dāng)于將線段繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，依次得到，，∴，，，，∵8次一循環(huán)，∴余4，∴點的坐標(biāo)為．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了坐標(biāo)與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標(biāo)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．矩形與折疊問題典例5如圖①所示，四邊形是長方形，將長方形折疊，點恰好落在邊上的點處，折痕為，如圖②所示：(1)圖②中，證明：：(2)將圖②折疊，點與點重合，折痕為，如圖③所示，當(dāng)時：①當(dāng)時，求長方形的面積；②將圖③中的繞著點旋轉(zhuǎn)，使點與點重合，點與點重合．如圖④，求證：．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【分析】本題考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定．（1）由折疊得：，再由平行線的性質(zhì)可得：，所以；（2）①先求的長，再作的高線，并利用面積法求，根據(jù)面積公式求長方形的面積；②由（1）得：，同理，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：，再證明，根據(jù)可證明兩三角形全等．【詳解】（1）證明：如圖②，由翻折知，，又，，，；（2）解：①過點作于點，如圖③，，，，，長方形的面積，②由旋轉(zhuǎn)的特征知，，又，點三點共線，與（1）同理，可得，且，，由（1）得，由圖③，知，故，，，，，，．．典例6同學(xué)們，折紙中也有很大的學(xué)問呢．張老師出示了以下三個問題，小聰、小明、小慧分別在黑板上進(jìn)行了板演，請你也解答這個問題：在一張長方形紙片中，，，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊，請解決下列問題．(1)如圖1，折痕為，點A的對應(yīng)點F在上，則折痕的長為cm；(2)如圖2，H，G分別為，的中點，A的對應(yīng)點F在上，折痕為，則°．重疊部分的面積為；(3)如圖3，在圖2中，把長方形沿著對開，變成兩張長方形紙片，將兩張紙片任意疊合后，發(fā)現(xiàn)重疊部分是一個形，證明你的結(jié)論；(4)在（3）的條件下，這個重疊部分的周長最短是cm，重疊部分的周長最大周長是cm．【答案】(1)(2)30，(3)菱，理由見詳解(4)40，58【分析】（1）根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）連接，由題意易得四邊形是矩形，則有是等邊三角形，然后再根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)得到的長，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)平行四邊形的判定首先證得四邊形是平行四邊形，因為兩條矩形的寬度相等，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式即可證得四邊形的鄰邊相等，進(jìn)而證得四邊形是菱形；（4）當(dāng)矩形紙片互相垂直時，這個菱形的周長最短，最小值是，如圖2所示放置時，重疊部分的菱形面積最大，設(shè)，則，利用勾股定理即可求出的值，進(jìn)而可得出菱形的周長．【詳解】（1）解：由折疊可知四邊形是正方形，∴，；故答案為；（2）解：連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，，分別為，的中點，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴垂直且平分線段，∴，由折疊可知，，∴是等邊三角形，∴，由折疊可知，∴，即，；故答案為30，．（3）解：重疊四邊形的形狀是菱形；理由如下：因紙片都是矩形，則重疊四邊形的對邊互相平行，則四邊形是平行四邊形．如圖1，過作于點，于點，又，，，四邊形的形狀是菱形；故答案為菱．（4）解：由（2）可知：分開的兩張矩形紙片的寬都為，根據(jù)點到直線垂線段最短可知：當(dāng)矩形紙片互相垂直時，這個菱形的周長最短，最短周長為．最大的菱形如圖2所示放置時，重疊部分的菱形面積最大．設(shè)，則．在中，，解得．則菱形的最大周長為；故答案為40，58．【點睛】本題考查的是圖形的翻折變換、菱形及矩形的性質(zhì)、三角形的面積公式，熟知圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練4長方形中，點E是的中點，將沿向下折疊后得到，將延長線交直線于點F．

(1)若點G恰好落在邊上，則與的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如果點G在長方形的內(nèi)部，如圖所示：①試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若，，求的長度．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②的長度為【分析】（1）由四邊形是長方形得，當(dāng)點G在邊上，則，所以；（2）①由折疊得，則，即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理“”證明，得，即可得出結(jié)論；②設(shè)，則，，所以，，根據(jù)勾股定理得，求出符合題意的x的值即可．此題重點考查軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．【詳解】（1）解：如圖1，點G在邊上，

∵四邊形是長方形，，由折疊得，，，∵點E是的中點，，故答案為：；（2）解：①，理由如下：如圖，連接，

由圖形的翻折可知，，，∵點E是的中點，，，在和中，，，，，即；②設(shè)，則，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），，即的長度為重疊面積問題典例7如圖，有A、B兩個正方形，若將這兩個正方形疊放在一起可得到圖①，則圖中陰影部分面積為1，若將A，B并列放置構(gòu)造出新的正方形可得到圖②，圖中陰影部分面積為24，則新構(gòu)造出的正方形面積為（

）A．49 B．65 C．78 D．97【答案】A【分析】分別設(shè)A、B兩個正方形的邊長為和，利用正方形性質(zhì)，可知疊放在一起后陰影部分的小正方形邊長是，并列在一起后邊長為，用和表示出陰影部分面積，列出方程組解答即可求出和的長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)A正方形邊長為，B正方形邊長為，由圖可知①中小正方形的邊長為，面積為1，，，，由圖可知②中新構(gòu)造出的正方形邊長為，面積，，，，解得：或（舍去），當(dāng)時，，新構(gòu)成的正方形面積為．故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式及其變形是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練5如圖，兩個正方形的邊長都為2．其中一個正方形的一頂點在另一個正方形的中心，則兩個正方形重疊部分的面積是（

）A．0.5 B．1 C．2 D．無法確定【答案】B【分析】如圖：連接ABCD的對角線，根據(jù)題意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面積為△OCD的面積．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，∴∠DOC＝∠EOF＝90°，∴∠DOE＝∠COF，在△COF和△DOE中，，∴△COF≌△DOE（ASA），∴S△COF＝S△DOE，∴四邊形OECF的面積＝S△OCD＝S正方形ABCD＝，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積、全等三角形的判定和性質(zhì)．解題關(guān)鍵在于找到全等三角形進(jìn)行代換．跟蹤訓(xùn)練6如圖，正方形、、、的邊長分別為2、4、6、4，四個正方形按照如圖所示的方式擺放，點、、分別位于正方形、、、對角線的交點，則陰影部分的面積和為（）A．12 B．13 C．14 D．18【答案】C【分析】根據(jù)正方形的中心對稱性，得到每一個陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的，即可解答．【詳解】解：∵正方形具有中心對稱性，則每一個陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的，∴==14故選：C．【點睛】本題考查了正方形的中心對稱性，根據(jù)中心對稱性得到每一個陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的是解題的關(guān)鍵．1．如圖，已知菱形的頂點，，若菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時，菱形的對角線交點D的坐標(biāo)為【答案】【分析】菱形的頂點,,得D點坐標(biāo)為，每秒旋轉(zhuǎn),則第2025秒時,菱形旋轉(zhuǎn)了253.125圈,可得D點的坐標(biāo)為.【詳解】解：菱形的頂點,,得點坐標(biāo)為,即每秒旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時，得菱形旋轉(zhuǎn)了253.125圈，菱形的對角線交點D的坐標(biāo)為故答案為：.2．如圖，正方形的定點與正方形的對角線交點O重合，正方形和正方形的邊長都是，則圖中重疊部分的面積是．【答案】1【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是題中重合的部分的面積是不變的，且總是等于正方形面積的．根據(jù)題意可得：，所以，從而可求得其面積．【詳解】解：如圖，正方形和正方形的邊長都是，，，，在和中，，，；則圖中重疊部分的面積是，故答案為：1．3．如圖，正方形的對角線相交于點，以為頂點的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為．【答案】【分析】本題考查對正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，推出，證出可得答案，證明是解此題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，在與中，，∴，∴，∴，故答案為：．4．如圖，兩個邊長為4的正方形重疊在一起，點是其中一個正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】連接、，證明，得到，再由，代值求解即可得到答案．【詳解】解：連接、，如圖所示：，，是正方形，為正方形的中心，，，在和中，，，，，故答案是：4．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形得到陰影部分的面積等于的面積是解決問題的關(guān)鍵．5．綜合與實踐：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．在矩形中，為邊上一點，為邊上一點，連接、，分別將和沿、翻折，點、的對應(yīng)點分別為點、，且、、三點共線．(1)如圖1，若為邊的中點，，點與點重合，則，；(2)如圖2，若為的中點，，，求的長．(3)，，若為的三等分點(圖僅供參考)，請直接寫出的長．【答案】(1)，(2)(3)2或【分析】（1）證明四邊形是正方形，由正方形的性質(zhì)得出，，由勾股定理及折疊的性質(zhì)可得出答案；（2）延長，交于點，連接，證明，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解．（3）分兩種情況：①當(dāng)時，如圖，過點作，交的延長線于點，連接，則四邊形為矩形，，，證明（），由全等三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，，，得出，則可得出答案；②當(dāng)時，如圖，過點作，交的延長線于點，連接，則四邊形為矩形，，，設(shè)，，，由勾股定理得出，求出則可得出答案．【詳解】（1）解：，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，為的中點，，將和沿、翻折，點、的對應(yīng)點分別為點、，，，設(shè)，則，，，，，．將和沿、翻折，點、的對應(yīng)點分別為點、，，，，．故答案為：45；2；（2）解：如圖2，延長，交于點，連接，∵四邊形是矩形，∴∵是的中點，∴∵折疊，∴在中，∴∴設(shè)，在中，，，即解得：,即∵∴，設(shè)，則，在中，,∴解得：即；（3）2或．分兩種情況：①當(dāng)時，如圖3，過點作，交的延長線于點，連接，則四邊形為矩形，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，，，，解得，．②當(dāng)時，如圖4，過點作，交的延長線于點，連接，則四邊形為矩形，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，．設(shè)，，，，，解得，．綜上可知，的長為2或．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．綜合與實踐：操作體驗：數(shù)學(xué)活動《折紙與證明》中，有這樣一段活動材料：①如圖1-①，把正方形對折后再展開，折痕為；②如圖1-②，將點A翻折到上的點處，且使折痕過點B；③如圖1-③，沿折疊，得（如圖1-④）．（1）根據(jù)以上操作，試證明是等邊三角形；初步探究：（2）某活動小組發(fā)現(xiàn)另一種折等邊三角形的方法：如圖2，點N在邊上，翻折，使得點B落在折痕上的點H處，連接，則是等邊三角形，若；①求的長；②連接并延長交的延長線于點M，交于點G，如圖3，求的長；深入探究：（3）另一活動小組將沿翻折到位置，延長交于點Q，如圖4，求證：點Q是的三等分點．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②1；（3）證明見解析【分析】（1）根