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文檔簡(jiǎn)介

在上一節(jié)我們已經(jīng)看到，直接用定義計(jì)算定積分是十分繁難的，因此我們期望尋求一種計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便而又一般的方法。我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)定積分與不定積分之間有著十分密切的聯(lián)系，從而可以利用不定積分來(lái)計(jì)算定積分。微積分基本公式變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為另一方面這段路程可表示為

一、問(wèn)題的提出考察定積分記積分上限函數(shù)

二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)由積分中值定理得一般情況注此定理表明連續(xù)函數(shù)取變上限定積分再對(duì)上限自變量x

求導(dǎo)，其結(jié)果就等于被積函數(shù)在上限自變量

x

處的函數(shù)值若上限不是

x

而是

x

的函數(shù)a(x)，則求導(dǎo)時(shí)必須按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行例1求[分析]：這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.解

證證證令定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.

定理2（原函數(shù)存在定理）

前述變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題表明：定積分的值等于被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的增量，這個(gè)事實(shí)啟發(fā)我們?nèi)タ疾煲话愕那闆r，得到肯定的回答。這就是微積分基本公式。定理3（微積分基本公式）

三、Newton-Leibniz公式令令牛頓—萊布尼茨公式

證注微積分基本公式表明：

（2）N-L公式揭示了積分學(xué)兩類基本問(wèn)題——不定積分與定積分兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系（3）求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.

（4）為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)普遍、有效而又簡(jiǎn)便的方法，使得定積分的計(jì)算大為簡(jiǎn)化。注意解原式例5設(shè)

,求.解

例4求

例6求

解由圖形可知例7求

解解

面積1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.微積分基本公式牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系．稱之為微積分基本公式。注意使用公式的條件（1）被積函數(shù)f(x)連續(xù)（2）F（x）

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