matlab08-7數(shù)值計算與matlab培訓資料

2025/1/12電子信息工程學院1數(shù)值計算與MATLAB

電子信息工程學院2第四章求解非線性方程f(x)=0

在科學技術中，許多問題常歸結為一元函數(shù)方程f(x)=0。方程按f(x)是多項式或超越函數(shù)分別稱為代數(shù)方程或超越方程。如果在區(qū)間[a,b]內(nèi)只有方程f(x)=0的一個根，則稱區(qū)間[a,b]為隔根區(qū)間。描圖法逐步搜索法電子信息工程學院34.1求解f(x)=0的MATLAB符號法solve(s1,s2,…,sn,'v1','v2',…,'vn')solve(s1,s2,…,sn,'v1,v2,…,vn')[z1,z2,…,zn]=solve(s1,s2,…,sn,'v1',…,'vn')電子信息工程學院54.2求方程f(x)=0數(shù)值解的基本方法：

二分法

迭代法

牛頓法

弦截法電子信息工程學院64.2.1求實根的二分法原理零點存在定理：設方程f(x)=0中的函數(shù)f(x)為實函數(shù)，且滿足：①函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)、連續(xù)；②f(a)、f(b)異號則（a,b）內(nèi)至少存在一點ζ，使得f(ζ)=0。電子信息工程學院7電子信息工程學院8電子信息工程學院94.2.2迭代法迭代法基本原理：把方程等價地變換成形式f(x)=x-g(x)=0x=g(x)若函數(shù)g(x)連續(xù)，則稱上式為迭代函數(shù)。用它構造出迭代公式：

xk+1=g(xk),k=0,1,2,……從初始值x0出發(fā)，便可得出迭代序列

{xk}=x0,x1,x2,…,xk,…如果上述迭代序列收斂，且收斂于x*，則有：

(g(xk)-xk+1)=(g(x*)-x*)=f(x*)=0，可見x*便是方程的根。電子信息工程學院10電子信息工程學院11迭代公式收斂定理：方程x=g(x)在(a,b)內(nèi)有根x*，如果（1）當x∈[a,b]時，g(x)∈[a,b]；（2）g(x)可導，且存在正數(shù)q<1，使得對于任意x∈[a,b]都有||≤q<1。則：(1)方程x=g(x)在(a,b)內(nèi)有唯一的根x*；(2）迭代公式xk+1=g(xk)對(a,b)內(nèi)任意初始近似根x0均收斂于x*；（3）近似根xk的誤差估計公式為：|x*-xk|≤|x1-x0|

電子信息工程學院12電子信息工程學院134.2.3牛頓法（切線法）切線法原理：把函數(shù)f(x)在某一初始值x0點附近展開成泰勒級數(shù)，取其線性部分，近似地代替函數(shù)f(x)可得方程的近似式：f(x)≈f(x0)+(x-x0)f'(x0)=0設f′(x0)≠0，解該近似方程可得把函數(shù)f(x)在x1點附近展開成泰勒級數(shù)，取其線性部分替代函數(shù)f(x)。如此繼續(xù)作下去，就可以得到牛頓迭代公式電子信息工程學院14電子信息工程學院15切線法的收斂性：牛頓迭代法局部收斂性定理（P.92）。牛頓迭代法是平方收斂的。電子信息工程學院16電子信息工程學院174.2.4弦截法（割線法）應用切線法的牛頓迭代公式時，每次都得計算導數(shù)f'(xk)，若將該導數(shù)用差商代替，就成為割線法（有時稱快速弦截法）的迭代公式電子信息工程學院18電子信息工程學院19二分法簡單方便，但收斂速度慢；迭代法雖然收斂速度稍微快點，但需要判斷能否收斂；只要初值選取得當，切線法具有恒收斂且收斂速度快的優(yōu)點，但需要求出函數(shù)的導數(shù)；弦截法不需要求導數(shù)，特別是我們介紹的快速弦截法，收斂速度很快，但是需要知道兩個近似的初始根值才能作出弦，要求的初始條件較多。電子信息工程學院204.3方程f(x)=0數(shù)值解的MATLAB實現(xiàn)4.3.1代數(shù)方程的求根指令roots例4-4求方程x3=x2+1的解。解：鍵入roots([1-10-1])回車得出

ans=1.4656-0.2328+0.7926i-0.2328-0.7926i電子信息工程學院214.3.2求函數(shù)零點指令fzero例4-5求方程x2+4sin(x)=25的實數(shù)根（-2π<x<2π）。解：1）首先要確定方程實數(shù)根存在的大致范圍。電子信息工程學院222）直接使用fzero指令求出方程在x2≈5的根。x2=fzero('x^2+4*sin(x)-25',5)回車得出

x2= 5.3186 也可以用內(nèi)聯(lián)函數(shù)作為輸入?yún)?shù)，如鍵入f=inline('x^2+4*sin(x)-25');x1=fzero(f,-4),x2=fzero(f,5)回車得出

x1=-4.5861，x2=5.3186電子信息工程學院234.4求解非線性方程組數(shù)值解的迭代法對于非線性方程組（以二元方程組為例，其它可以類推）

的數(shù)值解求法，跟一元非線性方程的切線法（牛頓法）雷同，也是把非線性函數(shù)線性化，近似替代原方程得出數(shù)值解，所以也叫做牛頓迭代法。電子信息工程學院244.5求方程組數(shù)值解的指令

fsolve是用最小二乘法求解非線性方程組F(X)=0的指令，變量X可以是向量或矩陣,方程組可以由代數(shù)方程或者超越方程構成。它的使用格式為

fsolve('fun',X0,OPTIONS)

電子信息工程學院25解：首先將方程組變換成fj(x,y,z)=f(X)=0（j=1、2、3）的形式，設X為一個三維向量，令X(1)=x、X(2)=y、X(3)=z，則三維向量yy3=f(X)=fj(x,y,z)，然后編程計算。電子信息工程學院261）在編輯調(diào)試窗中鍵入：functionyy3=li4_8(X)yy3(1)=3*X(1)-cos(X(2)*X(3))-0.5;yy3(2)=2*X(1)^2-81*(X(2)+0.1)^2+sin(X(3))+1.06;yy3(3)=exp(-X(1)*X(2))+20*X(3)+10*pi/3-1;

以“l(fā)i4_8”為名存盤，退出編輯調(diào)試窗，回到指令窗。2）在指令窗中鍵入