2022-2023學年北師大版七年級數(shù)學上冊壓軸題：線段上的動點問題（解析版）

專題09線段上的動點問題

類型一、求線段長度問題

例1.數(shù)軸上有/,B,C三點，A,3表示的數(shù)分別為〃（機<〃），點C在2的右側，AC-AB=2.

_j-------1---

ABC

圖1

AEFBC>

圖2

—1---------1-------->

AB

備用圖

⑴如圖1,若多項式（〃-1卜3一2^+"1+3》-1是關于》的二次三項式，請直接寫出〃?，〃的值：

（2）如圖2,在（1）的條件下，長度為1的線段E尸（E在尸的左側）在4,8之間沿數(shù)軸水平滑動（不與

A,8重合），點M是EC的中點，N是3尸的中點，在E尸滑動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化，請判

斷并說明理由；

⑶若點。是/C的中點.

①直接寫出點。表示的數(shù)（用含相，"的式子表示）；

②若4D+2BD=4,試求線段48的長.

【答案】（1）加=-5,"=1；⑵不變化，理由見解析；⑶①等+1；②?

【解析】⑴解:由題可知，77-1=0,7+5=2,

???〃=1,m=-5

故答案為：m=-5,?=1

⑵解：的長不發(fā)生變化，理由如下：

由題意，得點C表示的數(shù)為3,

設點￡表示的數(shù)為無，則點廠表示的數(shù)為x+1

AB=6,BC=2,AE=x+5,AF=x+6,EC=3—x,BF=—x,

???點/是EC的中點，N是B尸的中點

：.MC=ME=^~,NF=—,^MN=ME-EF-FN=^^-l--=-

22222

AEFNMBC

⑶解：①，.?/，8表示的數(shù)分別為"?，?(?<?)

又點C在8的右側，-加

vAC—AB=2,.'.AC=n-m+2

,??點。是/c的中點，??.4D=!/C=I(w-m+2)

22

1rn+n

表示的數(shù)為：m+—(n-m+2)---------Fl

22

②依題意，點C表示的數(shù)分別為〃+2

/八m+nin-m,

/.AB=n—m,AD=-------\-\—m=---------F1

22

八一m+n,m-n,八八一_m-n,?7

:.BD=-------Fl—AZ=-----------i-l,2BD=2-------Fl=\m—n+2\

22211

n—mI7，

vAD+2BD=4,a即n+41+1加一〃+2|=4

當加一〃+2>0時.--——Fl+(加一〃+2)=4,m-n=2

?.?加<〃，.?.加一〃二2不符合題意,舍去

當加一〃+2<0時.n；+]_(加_〃+2)=4,n-m=^-

綜上所述，線段N5的長為g.

―?-------------------------?_?------------------1——>

ADBC

例2.已知在數(shù)軸上點/、B、C對應的數(shù)分別為。、b、c.

⑴如圖1是一個正方體的表面展開圖，已知正方體的每一個面都有一個有理數(shù)，其相對面上的兩個數(shù)互為

相反數(shù)，并且圖2中，點C為線段的中點，則°=,b=,c=；

(2)如圖3若〃，b,c滿足卜+5|+20+4|+(C-3)2=0,

①Q二，b=,c-；

②若點/、8沿數(shù)軸同時出發(fā)向右勻速運動，點4速度為2個單位長度/秒，點5速度為1個單位長度/

秒.設運動時間為，秒，運動過程中，當4為5C的中點時，求，的值.

【答案】(1)-7,3,-2；(2)①5-4,3,②當/為5c的中點時，/=3

【解析】⑴解:"與"7"相對，*"與"-3"相對,

???相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，"=-7,6=3,

???點C為線段的中點，q?3=2

故答案為：-7,3,-2；

(2)解：①解a+5|N0,2|Z>+4|>0,(c-3)2>0,

.,-(2+5=0,Z?+4=0,c-3=0,?,.?=-5,6=4c=3,

故答案為：-5,-4,3；

②當點4與點。重合時，貝IJ2U3-(-5),解得片4,

當點5與點。重合時，則U3-(-5),解得六8,

可見點A先到達點C,

只存在AB=AC,且點A在點B右側而在點C左側的情況，

???---=-5+2f,解得：f=3.

2

???當4為的中點時，U3.

例3,已知：如圖L"是定長線段45上一定點，。、。兩點分別從M、5出發(fā)以lcm/s、3cm/s的速度沿直

線A4向左運動，運動方向如箭頭所示(。在線段上，。在線段8”上)

<——<--------.

ill?I

ACMDB

圖1

l______________i______________________I

AMB

圖2

⑴若，8=llcm,當點C、。運動了Is,求NC+MD的值.

⑵若點C、。運動時，總有M)=3/C,直接填空：AM=BM.

2MN

⑶在(2)的條件下，N是直線48上一點，且AN-BN=MN,求7一的值.

3AB

11?

【答案】(l)7cm；(2)-；(3)§或§

【解析】⑴解：當點C、。運動了1s時，CM=lcm,BD=3cm

■■AB=llcm,CM=1cm,BD=3cm

■?.AC+MD=AB-CM-BD=11-1-3=7cm.

(2)解：設運動時間為3則CN=3BD=3t,

■：AC=AM-t,MD=BM-3t,

又MD=3AC,-.BM-3t=3AM-3t,即2M=3/M,：.AM=^BM

故答案為：—.

⑶解：由(2)可得：

■：BM=AB-AM.-.AB-AM=3AM,：.AM=-AB,

4

①當點N在線段48上時，如圖

I___________I____________I______I

AMNB

■■AN-BN=MN,

p112MN1

又■:AN-AM=MN,：.BN=AM=-AB,：.MN=~AB,即----=-.

423AB3

②當點N在線段的延長線上時，如圖

|??I

AMBN

■■■AN-BN=MN,

?MN2MN2

5L--AN-BN=AB,：.MN=AB,：.——=1,a即n----=-.

N33AB3

綜上所述黑=:或:

3AB33

【變式訓練1】【新知理解】

如圖①，點M在線段上，圖中共有三條線段48、和若其中有一條線段的長度是另外一條線

段長度的2倍，則稱點〃是線段AB的“和諧點”.

圖③"

⑴線段的中點()這條線段的“和諧點"(填"是"或"不是")；

(2)【初步應用】如圖②，若CD=12cm,點N是線段CD的和諧點，則CN=()cm；

(3)【解決問題】如圖③，已知/3=15cm,動點P從點/出發(fā)，以lcm/s速度沿48向點2勻速移動：點

。從點8出發(fā)，以2〃?/s的速度沿8/向點N勻速移動，點P、。同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動

停止，設移動的時間為3請直接寫出f為何值時，/、P、。三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段

的和諧點.

【答案】(1)是；(2)6或4或8c,,⑶f為3或當或9或當或學或6

74o7

【解析】⑴解：若點〃是線段的中點時，滿足

???線段的中點是這條線段的“和諧點"，

故答案為：是；

(2)解：①當N為中點時，CN=^CD=6cm；

②N為CD的三等分點，且N靠近C時，CN=；CO=4cm；

③N為CD的三等分點且N靠近。時，CN=-CD=8cm.

故答案為：6cm或4cm或8cm；

(3)解：-AB=15cm,."秒后，AP=t,^0=15-2t(0<Z<7.5),

由題意可知，4不可能為。、。的和諧點，此情況排除；

①P為4、。的和諧點，有三種情況：

1)P為中點，AP=^-AQ,即(15-2。，解得看:；

2)P為的三等分點，且尸靠近/,AP^^AQ,即才=；(15-2力，解得f=3；

3)P為N0的三等分點，且P靠近。，AP=^AQ,即(15-2?),解得f=］；

②0為/、尸的和諧點，有三種情況：

1)0為中點，AP=^AQ,即15—9，解得f=6；

1145

2)0為4P的二等分點，且P靠近4,即15-2%=§3解得￡=不；

7945

3)0為/尸的三等分點，且尸靠近0,AP=-AQ即15-2%=力，解得/=?.

JfJX

綜上所述，f為3或夕或，或不或/或6時，/、P、。三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的

和諧點.

【變式訓練2】已知：如圖1,M是定長線段N8上一定點，C、。兩點分別從M、8出發(fā)以lcm/s、3cm/s

的速度沿直線A4向左運動，運動方向如箭頭所示(C在線段上，。在線段3M上)

I____I_<_——___I_________<-I_--_--_--_-_--_--_--_--_,I

ACMDB

圖1

I__________i________________I

AMB

圖2

(1)若N8=llcm,當點C、。運動了Is,求NC+MD的值.

(2)若點C、。運動時，總有M)=3/C,直接填空：4M=BM.

2MN

⑶在(2)的條件下，N是直線上一點，旦AN-BN=MN,求式「的值.

3AB

11?

【答案】(l)7cm；(2)］；(3)§或§

【解析】⑴解：當點。、。運動了1s時，CM=lcm,BD=3cm

^AB=llcm,CM=1cm,BD=3cm

:?AC+MD=AB-CM-BD=11-1-3=7cm.

(2)解：設運動時間為3則BD=3t,

-AC=AM-t,MD=BM-3t,

又MD=3/C,.g/-3t=3/〃-33即故答案為：

⑶解：由(2)可得：

1

■：BM=AB-AM,：.AB-AM^SAM,：.AM=-AB,

4

①當點N在線段上時，如圖

I_____________I______________I_______I

AUNB

■■■AN-BN=MN,

r112MN1

又?:AN-AM=MN,；.BN=AM=—AB,.-.MN=-AB,即-------=-.

423AB3

②當點N在線段48的延長線上時，如圖

I111

AMBN

-AN-BN=MN,

立MN2MN2

又'-'AN-BN=AB,：.MN=AB,,???-----=1,即an-------=一.

AB3AB3

綜上所述篝或:

3AB33

【變式訓練3】已知點C在線段上，AC=2BC,點、D、E在直線48上，點。在點E的左側.若

48=18,DE=8,線段。E在線段48上移動.

ADCE_BACB

圖1備用圖

⑴如圖1,當E為8C中點時，求的長；

(2)點尸(異于A,B,C點)在線段42上，AF=3AD,CE+EF=3,求的長.

【答案】⑴7；(2)3或5

【解析】(1)/C=22C,AB=1S,BC=6,/C=12,

如圖1,

I-------------1-------------1--------11

ADCEB

圖1

為8c中點，:.CE=BE=3,

;DE=8,：.BD=DE+BE=8+3=\l,：.AD=AB-DB=18-11=1,

(2)1、當點E在點尸的左側，如圖2,

?-------------1-----------------1_LJ--------1

Ab圖21力

或4D圖2(而C尸3

?:CE+EF=3,BC=6,點尸是8C的中點，

/.CF=BF=3,：.AF=AB-BF=1S-3=15,：.AD=-AF=5,

3

,:CE+EF=3,故圖2(6)這種情況求不出；

II、如圖3,當點E在點尸的右側，

AD~Ec彳

圖3

或4"DCEi

一圖3(b)

AC=12,CE+EF=CF=3,:.AF=AC-CF=9,

：.AF=3AD=9,

/.AD=3.

?；CE+EF=3,故圖3(b)這種情況求不出;

綜上所述：的長為3或5.

類型二、定值問題

例.如圖1,線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動,

M為AP的中點，設P的運動時間為X秒.

~~AMPB~

ffll

~~AMBNP-

圖2

⑴P在線段AB上運動，當=時，求x的值.

(2)當P在線段AB上運動時，求(2西-8尸)的值.

(3汝口圖2,當P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，MN的長度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長

度.如變化，請說明理由.

【答案】⑴x=6；(2)23-8尸為定值24；⑶初V=12.

【解析】⑴解：YM是線段AP的中點，=

PB=AB-AP=24-2x,

PB=2AM,24-2x=2x,解得x=6.

(2)解：AM^x,BM^24-x,PB=24-2x,

.-.2W-5P=2(24-x)-(24-2x)=24,

即23河-8尸為定值24.

⑶解：當P在AB延長線上運動時，點P在B點的右側.

-.■PA=2x,AM=PM=x,PB=2x-24,PN=-PB=x-12,

2

.-.MN=PM-PN=x-{x-12)=\2,

所以MN的長度無變化是定值.

【變式訓練1】如圖，數(shù)軸上點A,8表示的有理數(shù)分別為-6,3,點P是射線42上的一個動點(不與點

A,8重合)，M是線段4P靠近點A的三等分點，N是線段AP靠近點B的三等分點.

A????B>

-6013

(1)若點？表示的有理數(shù)是0,那么的長為；若點尸表示的有理數(shù)是6,那么九W的長為

（2）點尸在射線22上運動（不與點A,3重合）的過程中，的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出

求的長的過程；若改變，請說明理由.

【答案】（1）6；6；（2）不發(fā)生改變，MN為定值6,過程見解析

【詳解】解：（1）若點P表示的有理數(shù)是0（如圖1）,則AP=6,BP=3.

AMpNB

..一B,■?

-63

圖1

???M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點.

22

.-.MP=-AP=4,NP=§BP=2,.?.MN=MP+NP=6；

若點P表示的有理數(shù)是6（如圖2）,則AP=12,BP=3.

A??MB?N??p>

-6圖23

???M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點.

2?

.-.MP=-AP=8,NP=§BP=2,.-.MN=MP-NP=6.故答案為：6；6.

（2）MN的長不會發(fā)生改變，理由如下：

設點P表示的有理數(shù)是a（a>-6且辭3）.

當-6<aV3時（如圖1）,AP=a+6,BP=3-a.

是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點.

2222

.-.MP=-AP=-（a+6）,NP=-BP=-（3-a）,；.MN=MP+NP=6；

當a>3時（如圖2）,AP=a+6,BP=a-3.

???M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點.

2222

.-.MP=-AP=y（a+6）,NP=§BP=§（a-3）,；.MN=MP-NP=6.

綜上所述：點P在射線AB上運動（不與點A,B重合）的過程中，MN的長為定值6.

【變式訓練2】如圖，點尸是定長線段上一點，C、。兩點分別從點P、3出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒

的速度沿直線48向左運動（點C在線段/尸上，點。在線段2P上）.

（1）若點C、。運動到任一時刻時，總有PD=2/C,請說明點尸在線段48上的位置；

（2）在（1）的條件下，點。是直線N8上一點，且/。-求當?shù)闹担?/p>

（3）在（1）的條件下，若點C、。運動5秒后，恰好有=此時點C停止運動，點。繼續(xù)運動

2

(點。在線段P8上)，點M、N分別是。、尸。的中點，下列結論：①尸M-PN的值不變；②坦的值

AB

不變.可以說明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值.

11111

ACPDB

【答案】(1)點P在線段AB的(處；(2)(或1；(3)結論②3的值不變正確，空二.

33ABAB12

【詳解】解:(1)設運動時間為t秒，則尸A==

由PZ)=24C得尸8-2/=2(/P-f),即必=2/尸

QAP+PB=4B,AP+2AP=AB,3AP=AB,即4P=；4B,所以點P在線段AB的;處；

(2)①如圖，當點Q在線段AB上時，

I?1__________I

APQB

由=尸?？芍狽Q=尸0+20,

QAQ=AP+PQ,PQ=AP=-AB,:.^=-

3AB3

②如圖，當點Q在線段AB的延長線上時，

1,1一

APBQ

QAQ-BQ=AB,AQ-BQ=PQ,AB=PQ,.)=1

AB

綜合上述，岑的值為:或1;

AB3

(3)②出^的值不變.

AB

由點。、。運動5秒可得C尸=5,50=5x2=10,

如圖，當點M、N在點P同側時，

1----'_1-----H---1-------1

ACPMNDB

點C停止運動時，CD=^AB,

?.?點M、N分別是CD、尸。的中點，.?.CW=LCD,PN=L/Y),:.CM=-AB

224

:.PM=CM-CP=-AB-5

4

21211

QPD=PB—BD=—AB—U),PN=-(-AB-10)=-AB-5,MN=PN-PM=—AB

323312

_4R

當點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以12_1;

AB~AB~12

如圖，當點M、N在點P異側時，

II11J，---------------------------------------------1

ACMPNDB

點C停止運動時，CD=^AB,

???點〃、N分別是C。、尸。的中點，.?.CW=gc2PN=gp。,:.CM=^AB

:.PM=CP-CM=5--AB

4

21211

QPD=PB-BD=-AB-\Q,PN=-（-AB-10）=-AB-5,MN=PN+PM=-AB

323312

A

當點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以迫=L邁蘭B=，；

AB~AB~12

所以②竽的值不變正確，黑=卜

ABAB12

【變式訓練3】（1）如圖1,在直線23上，點尸在A、3兩點之間，點初為線段PB的中點，點N為線段/P

的中點，若AB=n,且使關于x的方程（〃-4）x=6-〃無解.

①求線段48的長；

②線段九W的長與點尸在線段N8上的位置有關嗎？請說明理由；

pA_i_PR

⑵如圖2,點C為線段的中點，點?在線段的延長線上，試說明的值不變.

111IJ

AypMB

圖i

ACBP

即2

【答案】（1）①AB=4；②線段MN的長與點P在線段43上的位置無關，理由見解析；（2）見解析.

【詳解】解：（1）①???關于x的方程（"-4）x=6-”無解..-.n-4=0,解得：n=4.故AB=4.

②線段九W的長與點尸在線段42上的位置無關，理由如下：

為線段PB的中點，；.PM=yPB.

同理：PN=yAP..

.?.MN=PN+PM=y(PB+AP)=yAB=yx4=2.

???線段MN的長與點P在線段AB上的位置無關.

(2)設AB=a,BP=b,則PA+PB=a+b+b=a+2b.

???C是AB的中點，.=

22

1PA+PBa+2b.

/.PC=PB+BC=-a+b'pcI

2—af+b

2

pAPR

所以二靠_i_色的值不變.

類型三、數(shù)量關系

例.已知線段45,點C在直線上，。為線段5C的中點.

--------------------------------------------?----------------------------------?----------------

AB

AB

（備用圖）

⑴若45=8,AC=2,求線段的長.

⑵若點E是線段4C的中點，請寫出線段DE和AB的數(shù)量關系并說明理由.

【答案】⑴3或5

⑵AB=2DE,理由見解析

【解析】（1）解：如圖L當。在點4右側時，

?----------?-------------------?-------------------?

ACDB

圖1

???45=8,AC=2,BC=AB-AC=6,

是線段2c的中點，：.??C〃=；3C=3；

如圖2,當C在點/左側時，

■--------->--------------■------------------------■

CADB

圖2

vAB=S,AC=2,；,BC=AB+AC=10,

是線段2C的中點，二。=；8c=5；綜上所述，0=3或5；

（2）解：AB=2DE.

理由是：如圖3,當C在點/和點3之間時，

?-------?---------?-------------------------------?-------------------------------?

AECDB

圖3

???￡是/C的中點，。是5c的中點，.%。=2及\BC=2CD,

：.AB=4C+BC=2EC+2CD=2DE；

如圖4,當C在點4左側時，

?------??-----------------------?----------------------------------------?

CEADB

圖4

同理可得：AB=BC-AC=2CD-ICE=2（CD-CE）=2DE；

如圖5,當C在點8右側時，

?------------------------------?~~?-------------?-------------?

AEBDC

圖5

同理可得：4B=AC-BC=2EC-2CD=2（EC-CD）=2DE.

、.4

【變式訓練1】如圖，已知線段延長線段氏4至C,使C5=§/反

AB

AT

（1）請根據題意將圖形補充完整.直接寫出-示=_______；

AB

（2）設=9cm，點。從點5出發(fā)，點￡從點力出發(fā)，分別以3cm/s,lcm/s的速度沿直線向左運

動.

①當點D在線段N8上運動，求名的值；

②在點。，￡沿直線AB向左運動的過程中，M,N分別是線段DE、N2的中點.當點C恰好為線段的

三等分點時，求的長.

【答案】（1）（2）3,（3）12cm或24cm.

【詳解】解：（1）圖形補充完整如圖，

CAB

4iAT1i

*.*CB——AB,CA—BC—AB=—AB,-----=—,故答案為：—；

33AB33

(2)①=9cm,由(1)得，CA=jAB=3(cm),設運動的時間為f秒,

Ar)Q_Q#

￡M=(9-37)cm,C￡=(37)cm,|^=y^=3,

CEADB

②當=3c時，???/B=9cm,G4=3cm,..CB=2CD=12cm,

CD=6cm,BD=3CD=lScm,

運動時間為：18+3=6(秒)，則NE=6cm,

BE=BA+AE=15cm,ED=BD-BE=3cm,

,:M,N分別是線段。E、48的中點..?.DM=1.5cm,BN=45cm,

MN=BD-DM-BN=\2cm,

DMECANB

當=3cB時，r/B=9cm,C/=3cm,二C8=12cm,BD=3CB=36cm,

運動時間為：364-3=12(秒)，貝！J/E=12cm,BE=BA+AE=21cm,ED=BD-BE=15cm,

■：M,N分別是線段。E、的中點.二。朋=7.5cm,57V=4.5cm,

MN=BD—DM-BN=24cm,

DMECANB

綜上，MV的長是12cm或24cm.

【變式訓練2】已知代數(shù)式〃=(a-16)x3+20x?+10x+9是關于x的二次多項式，且二次項系數(shù)為6.如圖,

在數(shù)軸上有/、B、C三個點，且/、B、C三點所表示的數(shù)分別是a、b、c,已知NC=64B.

(1)直接依次寫出a、b、c的值：,,；

(2)若動點P、。分別從C、。兩點同時出發(fā)，向右運動，且點。不超過點/.在運動過程中，￡為線段

/尸的中點，尸為線段2。的中點，若動點尸的速度為每秒2個單位長度，動點。的速度為每秒3個單位長

度,則的值是_______;

EF

(3)若動點P、。分別從/、5兩點同時出發(fā)，都以每秒2個單位長度的速度向左運動，動點M從點C出

發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，設運動時間為/秒，若動點尸、。分別從C、。兩點同時

出發(fā)，時，數(shù)軸上有一點N與點河的距離始終為2個單位長度，且點N在點M的左側，7為線段

九W上的一點(點7不與M、N重合)，在運動的過程中，若滿足MQ-N7=3尸7(點7不與點P重合)，求

出此時線段尸7的長度.

COA_B

【答案】(1)16,20,-8；(2)2；(3)尸7=1或尸7=]

【詳解】解：(1)：M=m-16)x3+20x2+i0x+9是關于x的二次多項式，二次項的系數(shù)為6

.,.?=16,b=20,；.4B=4,

9：AC=6AB,???4C=24,A16-c=24,；.c=—8,

故答案為：16,20,-8

(2)設點尸的出發(fā)時間為/秒，由題意得：①當時，

EF=AE-AF=^AP-^BQ+AB=~(24-2t)-1(20-3?)+4=6+；,

：.BP-AQ=(28-It')-(16-3/)=12+3BP~A^=2.

1EF

②當此2時，此時點。與點A重合，即40=0,點尸對應的數(shù)值為:(16+20)=18；

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此時點尸在點。的右側，即OP=2-8,而尸8=|2「8-20|=|28-2(

則點￡對應的值為。(2?-8+16)=/+4,則所=|18-