2015-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用大題綜合（學(xué)生版）

專題23導(dǎo)裁及其瘙用人感除含

十年考情-探規(guī)律1

考點十年考情(2015-2024)命題趨勢

2024?全國新H卷、2024?天津卷、2023?北京卷1.能理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會

2023?全國乙卷、2023?全國乙卷、2023?天津卷求切線方程，會求參數(shù)

2022?天津卷、2022?全國甲卷、2022?全國乙卷2.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之

2022?北京卷、2021?天津卷、2021?北京卷間的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函

考點1切線方程2021?全國乙卷、2020?北京卷、2020?全國卷數(shù)的單調(diào)性，并會求單調(diào)區(qū)間，

及其應(yīng)用2019?北京卷、2018?北京卷、2018?北京卷能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)

（10年10考）2018?全國卷、2018?天津卷、2017?天津卷性的綜合問題，該內(nèi)容是新高

2017?山東卷、2017?北京卷、2016?北京卷考卷的必考內(nèi)容，近年來導(dǎo)數(shù)

2016?北京卷、2016?全國卷、2015?重慶卷和其他版塊知識點關(guān)聯(lián)密集，

2015?全國卷、2015?天津卷、2015?山東卷是新高考備考的重要內(nèi)容。

2015?北京卷3.能夠利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大

考點2具體函數(shù)值、極小值以及在給定閉區(qū)間

2024?北京卷、2023?全國甲卷、2023?全國甲卷

及含參函數(shù)的單上的最大值、最小值，體會導(dǎo)

2022?全國新H卷、2021?全國甲卷、2020?全國卷

調(diào)性數(shù)與極大（?。┲怠⒆畲螅ㄐ。┲档?/p>

2018?全國卷

（10年6考）關(guān)系，該內(nèi)容是新高考卷的必

2024?全國甲卷、2023?北京卷、2023?全國新I卷考內(nèi)容，會結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷或

2022?浙江卷、2022?北京卷、2021?全國新II卷證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得

2021?浙江卷、2021?全國甲卷、2021.全國乙卷函數(shù)的極值或給定區(qū)間上的最

2021?全國新I卷、2020?全國卷、2020?全國卷值，熱點內(nèi)容，需綜合復(fù)習(xí)

考點3含參函數(shù)

2018?天津卷、2018?全國卷、2017?全國卷4.能進行函數(shù)轉(zhuǎn)化證明不等式，

的單調(diào)性

2017?天津卷、2017.天津卷、2017?全國卷會函數(shù)中的恒成立問題與有解

（10年10考）

2017?全國卷、2016?山東卷、2016?四川卷問題，會求零點及其應(yīng)用，會

2016?全國卷、2016?北京卷、2016?山東卷隱零點、雙變量、極偏等內(nèi)容

2016?四川卷、2016?全國卷、2015?江蘇卷的學(xué)習(xí)，都可能成為高考命題

2015?重慶卷、2015?天津卷、2015?四川卷方向

2015?四川卷、2015?北京卷

2024?全國新H卷、2024?全國甲卷、2023?北京卷

2023?全國乙卷、2023,全國新H卷、2022?全國乙卷

2022?全國新I卷、2021?北京卷、2021?天津卷

2021?全國乙卷、2020?北京卷、2019?全國卷

考點4極值最值2019?江蘇卷、2018?北京卷、2018?北京卷

及其應(yīng)用2018?全國卷、2018?全國卷、2017?山東卷

（10年10考）2017?江蘇卷、2017?全國卷、2017?山東卷

2017?北京卷、2016?山東卷、2016?天津卷

2016?全國卷、2015?重慶卷、2015?重慶卷

2015?山東卷、2015?湖南卷、2015?安徽卷

2015?山東卷、2015?全國卷

2024?全國甲卷、2024?全國新I卷、2023?天津卷

2022?全國新II卷、2021?全國乙卷、2019?北京卷

考點5證明不等

2018?全國卷、2018?全國卷、2018?全國卷

式

2017?全國卷、2016?浙江卷、2016?全國卷

（10年9考）

2015?全國卷、2015?湖北卷、2015?福建卷

2015?北京卷

2024?天津卷、2024?全國甲卷、2023?全國甲卷

2023?全國甲卷、2022?全國新I卷、2022?全國甲卷

考點6恒成立與

2021?天津卷、2020?山東卷、2020?全國卷

能成立（有解）

2019?全國卷、2017?天津卷、2017?全國卷

問題

2016?江蘇卷、2016?全國卷、2016?四川卷

（10年9考）

2015?四川卷、2015?山東卷、2015?湖南卷

2015?湖南卷、2015?福建卷、2015?北京卷

2022?全國乙卷、2022.全國乙卷、2021?全國新II卷

2020?浙江卷、2020?全國卷、2020?全國卷

2020?全國卷、2019?全國卷、2019?全國卷

考點7零點問題

2018?浙江卷、2018?全國卷、2017?全國卷

（10年8考）

2016?江蘇卷、2016?北京卷、2016?全國卷

2015?江蘇卷、2015?全國卷、2015?全國卷

2015?陜西卷、2015?北京卷

考點8方程的根2022?浙江卷、2022?全國新I卷、2021?浙江卷

（10年4考）2021?全國甲卷、2019?全國卷、2018?江蘇卷

考點09雙變量2024?天津卷、2022?浙江卷、2022?北京卷

問題2021?浙江卷、2020?天津卷、2018?全國卷

（10年6考）2015?湖北卷

考點10隱零點

2023?全國甲卷、2017?全國卷

問題

2016?全國卷、2015?全國卷

（10年4考）

考點11極值點偏

2022?全國甲卷、2019?天津卷

移問題

2016?全國卷、2015?天津卷

（10年4考）

考點12導(dǎo)數(shù)與

其他知識點聯(lián)動2024?北京卷、2023?全國新I卷

問題2021?全國新n卷、2021?全國乙卷

（10年4考）

分考點?精準練

考點01切線方程及其應(yīng)用

1.（2024?全國新n卷?高考真題）已知函數(shù)/（》）=1一內(nèi)-/.

⑴當(dāng)4=1時，求曲線y=/（x）在點。，了⑴）處的切線方程；

2.（2024?天津?高考真題）設(shè)函數(shù)4%）=攻比.

⑴求“X）圖象上點（L/⑴）處的切線方程；

3.（2023?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)，（無）=尤-人血"曲線y=f（x）在點（I,”））處的切線方程為y=-x+i.

⑴求a,b的值；

4.（2023,全國乙卷?高考真題）已知函數(shù)"了）=匕+。卜（1+X）.

⑴當(dāng)a=-L時，求曲線y=/（x）在點（1,/。））處的切線方程.

5.（2023?全國乙卷?高考真題）已知函數(shù)/（x）=11+a）n（l+x）.

⑴當(dāng)a=-l時，求曲線y=〃x）在點（1J。））處的切線方程；

6.（2023?天津?高考真題）已知函數(shù)"x）='+；］n（x+l）.

⑴求曲線y=/（x）在x=2處的切線斜率；

7.（2022?天津,高考真題）已知a,6eR,函數(shù)/（x）=e*-asinx,g（x）=64

⑴求函數(shù)y=/（x）在（o,〃o））處的切線方程；

8.（2022?全國甲卷?高考真題）已知函數(shù)/（x）=V-尤,g（x）=Y+。，曲線y=/（元）在點（占,“占））處的切線

也是曲線y=g（尤）的切線.

⑴若%=-1,求a；

9.（2022?全國乙卷?高考真題）已知函數(shù)〃x）=ln（l+x）+依0

⑴當(dāng)a=l時，求曲線y=〃x）在點（OJ（O））處的切線方程；

10.（2022?北京?高考真題）已知函數(shù)/（x）=e'ln（l+x）.

⑴求曲線y=/（x）在點（o,/（o））處的切線方程；

11.（2021?天津?高考真題）已知〃＞0,函數(shù)=-旄x.

（|）求曲線＞=/（、）在點（。"（0））處的切線方程：

12.（2021?北京?高考真題）已知函數(shù)

（I）若a=0,求曲線y=/（x）在點。，/⑴）處的切線方程；

13.（2021?全國乙卷?高考真題）已知函數(shù)/0）=》3-/+依+1.

（1）討論/⑴的單調(diào)性；

（2）求曲線y=/⑺過坐標原點的切線與曲線y=“X）的公共點的坐標.

14.（2020?北京?高考真題）已知函數(shù)/（x）=12-

（回）求曲線y=/。）的斜率等于-2的切線方程；

15.（2020?全國?高考真題）設(shè)函數(shù)/。）=/+笈+*曲線＞=/（尤）在點?,/《））處的切線與y軸垂直.

（1）求b.

16.（2019,北京?高考真題）已知函數(shù)/（x）=/+x.

（回）求曲線y=/（x）的斜率為1的切線方程；

17.（2018?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)〃%）=[加-（44+1）%+4°+3]靖.

（1）若曲線y=/（x）在點（1,/（1））處的切線與X軸平行，求。；

18.（2018,北京?高考真題）設(shè)函數(shù)。（尤）=[tzx?-（3a+l）x+3a+2]e”.

（回）若曲線y=/（x）在點（2"（2））處的切線斜率為0,求a；

19.（2018?全國?高考真題）已知函數(shù)〃x）=竺二口.

（1）求曲線產(chǎn)/'（X）在點（0,-1）處的切線方程；

20.（2018?天津,高考真題）已知函數(shù)f（x）=a*,g（x）=log“無，其中a>L

（I）求函數(shù)//（x）=/（x）-xlna的單調(diào)區(qū)間；

（||）若曲線y=〃x）在點（％,八％））處的切線與曲線y=g（x）在點（孫g（無?））處的切線平行，證明:

（川）證明：當(dāng)時，存在直線/，使/是曲線y=〃x）的切線，也是曲線y=g（x）的切線.

21.（2017?天津?高考真題）設(shè)a,力e7?,|a區(qū)1.已知函數(shù)/（尤）=/-6/-3a（a-4）尤+6,g（x）=e"（x）.

（0）求〃x）的單調(diào)區(qū)間;

（回）已知函數(shù)，=8。）和〉="的圖象在公共點（xo,加）處有相同的切線，

（i）求證：/⑺在x=x°處的導(dǎo)數(shù)等于0；

（ii）若關(guān)于x的不等式g（x）v"在區(qū)間區(qū)-L%+1］上恒成立，求b的取值范圍.

22.（2017?山東?高考真題）已知函數(shù)=依2,aeR.

（I）當(dāng)a=2時,求曲線y=/（x）在點（3,〃3））處的切線方程；

23.（2017?北京?高考真題）已知函數(shù)/（%）=e"cosx—%.

（0）求曲線y=/a）在點?A。））處的切線方程；

24.（2016?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)〃%）=%3+62+陵+。.

（回）求曲線y=/（x）在點（0,/（0））處的切線方程；

25.（2016?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)y（x）=xHT+6x,曲線y=/（尤）在點（2"（2））處的切線方程為

y=（6—1）%+4,

（1）求a,6的值；

26.（2016?全國?高考真題）已知函數(shù)/'（%）=（尤+l）lnx-a（尤-1）.

（I）當(dāng)。=4時，求曲線y=/（x）在（1,7（1））處的切線方程；

27.（2015?重慶?高考真題）設(shè)函數(shù)=辦（ae?

（1）若在龍=0處取得極值，確定”的值，并求此時曲線y=/（x）在點（1J。））處的切線方程；

28.（2015?全國?高考真題）已知函數(shù)/（尤）=^+ax+1,g（尤）=Tnx.

4

（1）當(dāng)〃為何值時，九軸為曲線>=/（%）的切線；

29.（2015?天津?高考真題）已知函數(shù)/（x）=幾%-％",?！瓿?，其中〃￡N*,〃>2.

（回）討論）（九）的單調(diào)性；

（團）設(shè)曲線y=/（x）與x軸正半軸的交點為p,曲線在點P處的切線方程為y=g（無），求證：對于任意的正

實數(shù)x,都有/（元）4gQ）；

30.（2015?山東,高考真題）設(shè)函數(shù)"（案）=9已知曲線加〃{p,q}在點（L/⑴）處的

切線與直線—v二0平行.

（回）求〃的值；

1_i_y

31.（2015?北京?高考真題）已知函數(shù)f（x）=ln「.

（回）求曲線y=/（x）在點（。，/⑼）處的切線方程；

考點02具體函數(shù)的單調(diào)性

1.（2024?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)〃”=尤+而（1+尤）（心0）,直線/是曲線y=/（x）在點（f,〃f））（f>0）處

的切線.

⑴當(dāng)人=-1時，求/（x）的單調(diào)區(qū)間.

2.（2023?全國甲卷?高考真題）已知函數(shù)〃尤）=c0s”，x[0,5.

⑴當(dāng)a=1時，討論〃x）的單調(diào)性；

cinYI7T?

3.（2023?全國甲卷?高考真題）已知函數(shù)/（x）=ar———,xe0,-

cosxI2J

⑴當(dāng)a=8時，討論了（盼的單調(diào)性；

4.（2022?全國新II卷?高考真題）已知函數(shù)/（x）=xe「-e"

⑴當(dāng)。=1時，討論了（盼的單調(diào)性；

5.（2021,全國甲卷?高考真題）已知。>0且arl,函數(shù)/（x）=t（x>0）.

ax

（1）當(dāng)4=2時，求“X）的單調(diào)區(qū)間；

6.（2020?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=e*-a（x+2）.

（1）當(dāng)。=1時，討論"X）的單調(diào)性;

7.（2018?全國?高考真題）已知函數(shù)無-。（丁+X+1）.

（1）若。=3,求〃x）的單調(diào)區(qū)間；

考點03含參函數(shù)的單調(diào)性

1.（2024?全國甲卷?高考真題）已知函數(shù)〃x）=a（x-1）-lnx+1.

⑴求“X）的單調(diào)區(qū)間；

2.（2023?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)，（無）=尤-人血",曲線y=/（x）在點處的切線方程為y=-x+L

⑴求a,b的值；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f'（無），求g（無）的單調(diào)區(qū)間；

⑶求“幻的極值點個數(shù).

3.（2023?全國新I卷?高考真題）已知函數(shù)/（x）=a（e*+a）-x.

⑴討論了⑺的單調(diào)性；

A

4.（2022?浙江?高考真題）設(shè)函數(shù)/（尤）=『+lnx（x>0）.

LX

⑴求/"）的單調(diào)區(qū)間；

5.（2022?北京?高考真題）已知函數(shù)/0）=6*111（1+苫）.

⑴求曲線y=/a）在點（0"（。））處的切線方程；

⑵設(shè)g（x）=7'（x）,討論函數(shù)g（x）在［0,+8）上的單調(diào)性；

6.（2022全國新II卷?高考真題）已知函數(shù)/0）=（尤-1）屆一辦2+6.

（1）討論了（元）的單調(diào)性；

7.（2021?浙江?高考真題）設(shè)a,6為實數(shù)，且。>1,函數(shù)/（%）=優(yōu)一法+/（尤eR）

（1）求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間；

8.（2021■全國甲卷?高考真題）設(shè)函數(shù)/（勸=42%2+以-31nx+1,其中a>0.

（1）討論的單調(diào)性;

9.（2021?全國乙卷,高考真題）已知函數(shù)/（x）=x3-X2+辦+1.

（1）討論/（元）的單調(diào)性；

10.（2021?全國新I卷?高考真題）已知函數(shù)〃x）=x（l-Inx）.

（1）討論/（x）的單調(diào)性;

11.（2020,全國?高考真題）已知函數(shù)（（x）=2lnx+l.

（1）若/（x）<2x+c,求c的取值范圍；

（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=/⑴一7⑷的單調(diào)性.

x—a

12.（2020?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=sin2xsin2x.

（1）討論/（x）在區(qū)間（0,兀）的單調(diào)性；

13.（2018?天津?高考真題）已知函數(shù)=g（x）=logax,其中a>l.

（I）求函數(shù)為（%）=/（尤）-xlna的單調(diào)區(qū)間;

14.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)/'(無)=1-x+alnx.

尤

(1)討論/Xx)的單調(diào)性；

15.(2017?全國?高考真題)已知函數(shù)/(力=茂2工+(0-2戶-工

(1)討論的單調(diào)性；

16.(2017?天津?高考真題)設(shè)a,6e7?,|a區(qū)1.已知函數(shù)/(x)=x，-6/-3a(a-4)x+6,g(x)=exf{x}.

(回)求的單調(diào)區(qū)間；

17.(2017?天津?高考真題)設(shè)aeZ,已知定義在R上的函數(shù)/(x)=2犬+3V-3/一6了+。在區(qū)間(1,2)內(nèi)有

一個零點為,g(x)為/(*)的導(dǎo)函數(shù).

(0)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

18.(2017?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=lnx+ox2+(2a+l)x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

19.(2017?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)〃x)=(l-xV.

(I)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

20.(2016?山東?高考真題)f(x)=xlnx-ax2+(2a-l)x,aeR.

(H)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

21.(2016?四川?高考真題)設(shè)函數(shù)危)=爾/-加，其中aEIR.

(I)討論」力的單調(diào)性;

22.(2016?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=(x-2)e*+a(x-l)2.

(H)討論f(x)的單調(diào)性;

23.(2016?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)/⑺=加^+笈，曲線V=/(元)在點(2,7(2))處的切線方程為

y=(e-l)x+4,

(1)求。，6的值；

(2)求"X)的單調(diào)區(qū)間.

2x—l

24.(2016?山東?高考真題)已知/1(x)=a(尤-In尤)+——,aeR.

(回)討論/(元)的單調(diào)性；

25.(2016?四川?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=ax2-a-lnx,g(x；=---二，其中aGR,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).

xe

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

26.(2016?全國,高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=ln尤-x+1.

(0)討論/(X)的單調(diào)性；

27.(2015,江蘇■高考真題)已知函數(shù)f(X)=ab-R)-

(1)試討論『」的單調(diào)性；

28.（2015?重慶?高考真題）設(shè)函數(shù)〃x）=失竺（aeR）

（1）若〃x）在龍=0處取得極值，確定。的值，并求此時曲線y=/（x）在點（1J。））處的切線方程;

（2）若在[3,內(nèi)）上為減函數(shù)，求。的取值范圍.

29.（2015?天津?高考真題）已知函數(shù)5（%）=砧-/，%￡一，其中〃wN*,〃22.

（回）討論〃%）的單調(diào)性;

30.（2015?四川?高考真題）已知函數(shù)f（x）=-2xlnx+x2—2ax+a2,其中a>0.

（團）設(shè)g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（X）的單調(diào)性；

31.（2015?四川?高考真題）已知函數(shù)/（X）=—2（%+Q）lnx+%2一2〃%-2。2+。，其中〃〉（）.

（1）設(shè)g。）是廣⑺的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性;

32.（2015?北京,高考真題）設(shè)函數(shù)〃x）=]-《nx,k>0.

（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

考點04極值最值及其應(yīng)用

1.（2024?全國新H卷?高考真題）已知函數(shù)/（無）=上一狽-凡

⑴當(dāng)4=1時，求曲線y=/（x）在點。，/⑴）處的切線方程；

⑵若"X）有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

2.（2024?全國甲卷?高考真題）已知函數(shù)=-ax）ln（l+x）-x.

⑴當(dāng)a=—2時，求“X）的極值；

（2）當(dāng)x>0時,/（%）>0,求。的取值范圍.

3.（2023?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)2（幻=尤-尤3產(chǎn)+二曲線y=/（x）在點（1J（1））處的切線方程為y=-x+1.

⑴求a,b的值；

⑵設(shè)函數(shù)g（x）=f'（x）,求g（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑶求〃幻的極值點個數(shù).

4.（2023?全國乙卷?高考真題）已知函數(shù)/（x）=1+41n（l+x）.

⑴當(dāng)a=-L時，求曲線尸/⑴在點。，/⑴）處的切線方程；

⑵是否存在a,b,使得曲線y=/（￡|關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理由.

⑶若〃x）在（0,+可存在極值，求a的取值范圍.

5.（2023?全國新H卷?高考真題）（1）證明：當(dāng)Ovxvl時，x-x2<sinx<x；

(2)已知函數(shù)"x)=cosax-ln(l-f)，若x=0是的極大值點，求〃的取值范圍.

6.(2022?全國乙卷?高考真題)已知函數(shù)/(%)=依-工-(a+l)lnx.

x

(1)當(dāng)。=0時，求/(X)的最大值；

(2)若/(X)恰有一個零點，求a的取值范圍.

7.(2022■全國新I卷?高考真題)已知函數(shù)/。)=^-辦和g(x)=av-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)證明：存在直線>=%其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標成等差數(shù)列.

8.(2021?北京?高考真題)已知函數(shù)=7金.

(1)若a=0,求曲線y=/("在點(1,/。))處的切線方程；

(2)若〃何在》=-1處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

9.(2021?天津?高考真題)已知a>0,函數(shù)/(x)=ax-xe,.

(I)求曲線y=/(無)在點(o,/(o))處的切線方程：

(II)證明/a)存在唯一的極值點

(川)若存在。，使得/(x)4a+8對任意xeR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

10.(202(全國乙卷?高考真題)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=獷(％)的極值點.

(1)求〃；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=證明:g(x)<l.

11.(2020?北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)=12-f.

(回)求曲線y=/(x)的斜率等于-2的切線方程；

(0)設(shè)曲線y=/(x)在點CJ⑺)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為SQ),求s。)的最小值.

12.(2019?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx-x-1.證明：

(1)/(x)存在唯一的極值點；

(2)/。)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).

13.(2019,江蘇?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=(x-a)(x-6)(x-c),a也cwR,/。)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值；

(2)若aM,b=c,且/(x)和/(無)的零點均在集合｛-3,1,3｝中，求f⑺的極小值；

4

(3)若。=0,0<Zl,c=l,且/(x)的極大值為求證:近方.

14.（2018?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)〃x）=[?%2-（4a+l）x+4a+3]/.

（1）若曲線y=〃x）在點（1,f（l））處的切線與x軸平行，求。；

（2）若“X）在X=2處取得極小值，求a的取值范圍.

15.（2018?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)y（x）=3"（3a+i）x+3a+2]e*.

（回）若曲線y=/（x）在點（2）（2））處的切線斜率為0,求a；

（回）若75）在x=l處取得極小值，求a的取值范圍.

16.（2018,全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=（2+x+ax2）ln（l+x）-2x.

（1）若a=0,證明：當(dāng)一l<x<0時，/（x）<0；當(dāng)x>0時，/（x）>0；

（2）若元=0是〃x）的極大值點，求

17.（2018?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=ae"-加:-1.

（1）設(shè)尤=2是AX）的極值點.求。，并求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)■時，/W>0.

e

18.（2017?山東,iWj考真題）已知函數(shù)/（尤）=§彳3—萬依2,R.

（I）當(dāng)a=2時,求曲線y=/（x）在點（3,〃3））處的切線方程；

（||）設(shè)函數(shù)g（尤）=/（力+（工-43％-5皿尤,討論8（力的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.

19.（2017?江蘇?高考真題）已知函數(shù)￡門）。3+62+樂+i（a>o,bwR）有極值，且導(dǎo)函數(shù)f，⑺的極值點是

f（x）的零點.（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）

（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明：b2>3a;

7

（3）若f（x）,f（x）這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于不，求a的取值范圍.

20.（2017,全國?高考真題）已知函數(shù)/（%）=%-1-々InX.

（1）若/⑶?。，求a的值；

（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n,（1+；）（1+《）（1+士）〈加，求m的最小值.

21.（2017?山東?高考真題）已知函數(shù)/'（x）=V+2cosx,g（x）=e%（cosx-sinx+2x-2）,其中e=2.71828

是自然對數(shù)的底數(shù).

（0）求曲線y=/（x）在點（匹/（到處的切線方程；

（0）令妝尤）=g（x）-療■（x）（awR）,討論網(wǎng)力的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

22.（2017?北京?高考真題）已知函數(shù)/（x）=e*cosx-x.

（回）求曲線y=/（x）在點（0,/（0））處的切線方程;

JT

(回)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,萬］上的最大值和最小值.

23.(2016?山東?高考真題)設(shè)f(x)=xlnx-ax2+(2a-l)x,aeR.

(回)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(回)已知f(x)在x=l處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍.

24.(2016?天津?高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=(x-l)3-ax-b,x?R,其中a,b團R.

(0)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(回)若f(x)存在極值點Xo,且f(X1)=f(Xo),其中XiAXo,求證：Xi+2Xo=3;

(回)設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)I,求證：g(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值不小于;.

4

25.(2016?全國?高考真題)⑴討論函數(shù)〃無)=總%/的單調(diào)性，并證明當(dāng)x>0時，(x-2)er+x+2>0;

⑵證明：當(dāng)。40,1)時，函數(shù)g(x)="一"一"(x>0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為欠。)，求函數(shù)欠。)的

X

值域.

26.(2015?重慶?高考真題)已知函數(shù)〃"=加+/("夫)在工=-；處取得極值.

⑴確定。的值；

(2)若g(x)="X)/,討論g⑺的單調(diào)性.

27.(2015?重慶?高考真題)設(shè)函數(shù)=辦(qeR)

(1)若在x=0處取得極值，確定。的值，并求此時曲線y=/(x)在點(1J。))處的切線方程；

(2)若在［3,+8)上為減函數(shù)，求。的取值范圍.

28.(2015?山東?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)+a(尤2-尤)，其中aeR.

(0)討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；

(回)若Vx>0,"x)20成立，求。的取值范圍.

29.(2015,湖南?高考真題)已知。>0,函數(shù)/0)=*$也了0€［0,+(?)),記X“為了(X)的從小到大的第〃(〃eN*)

個極值點，證明：

(1)數(shù)列｛/(%)｝是等比數(shù)列

(2)若。27子二，則對一切weN*,恒成立.

y1e-1

30.(2015?安徽?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=/一辦+人

JTTT

(0)討論函數(shù)/(sin無)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值；

(0)記/(無)=/-4x+%,求函數(shù)|/(sinx)-4(sinx)|在上的最大值D；

2

(0)在(回)中，取出=%=0,求Z=b-幺滿足DW1時的最大值.

4

31.(2015?山東?高考真題)設(shè)函數(shù)f(.i)=:X-aj.r.x,二fi1二j已知曲線"而｛，4｝在點(L/⑴)處的

切線與直線2x-V=0平行.

(回)求。的值；

(回)是否存在自然數(shù)左，使得方程〃x)=g(x)在依，左+1)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出左；如果不存在，

請說明理由；

(回)設(shè)函數(shù)加(x)=，〃〃｛/(x),g(x)｝(相加｛。，4｝表示，0應(yīng)中的較小值)，求機(x)的最大值.

32.(2015?全國局考真題)已知/(X)=lnx+a(l—x).

⑴討論了⑺的單調(diào)性；

⑵當(dāng)“X)有最大值，且最大值大于2a-2時，求。的取值范圍.

考點05證明不等式等證明問題

1.(2024?全國甲卷?高考真題)已知函數(shù)〃x)=a(x—1)—lnx+1.

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a<2時，證明：當(dāng)尤>1時，/(力<爐一恒成立.

2.(2024?全國新I卷?高考真題)已知函數(shù)/(x)=ln'一+ar+b(x-l)3

2-x

(1)若/=0,且/'。)20,求。的最小值；

(2)證明：曲線>=/(尤)是中心對稱圖形；

⑶若〃無)>-2當(dāng)且僅當(dāng)1<%<2,求力的取值范圍.

3.(2023?天津?高考真題)已知函數(shù)〃x)=］：+jln(x+l).

⑴求曲線y=/(x)在x=2處的切線斜率；

(2)求證;當(dāng)尤>0時，/(x)>l；

(3)證明：1<ln(n!)-^M+-1^lnn+zi<l.

4.(2022?全國新H卷?高考真題)已知函數(shù)/(x)=xe「一e”.

(1)當(dāng)a=l時，討論了⑺的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時，/?<-1,求a的取值范圍；

11I

(3)設(shè)〃cN*,證明：1+/++/)>ln(〃+1).

VI?+1V2?2+2yln2+n

5.(2021?全國乙卷高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=ln(a-%),已知x=0是函數(shù)y=4(力的極值點.

(1)求。；

Y+

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=.二.、.證明:g(x)<l.

xj(x)

6.(2019,北京,高考真題)已知函數(shù)/"(X)=z》3—Y+x.

(0)求曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程；

(E)當(dāng)尤e［-2,4］時，求證：x-6<f(x)<x.

(回)設(shè)尸(x)="(x)-(x+a)|(awR),記尸(尤)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(°),當(dāng)M(a)最小時，求a

的值.

7.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)"x)=(2+x+ax2)in(l+x)-2x.

(1)若。=0,證明：當(dāng)一1cx<0時，/(x)<0；當(dāng)尤>0時，/(%)>0；

(2)若尤=0是“X)的極大值點，求-

8.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)〃力=弋口.

(1)求曲線產(chǎn)/>(X)在點(0,-1)處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)aNl時，/(x)+e>0.

9.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)/(無)=枇工-阮r-1.

(1)設(shè)x=2是〃”的極值點.求。，并求的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)。2工時,f(x)>0.

e

10.(2017?全國?高考真題)已知函數(shù)/⑴=加一?一％1nx，且/⑴NO.

(1)求a；

(2)證明：存在唯一的極大值點辦,且/<〃不)<2一2.

11.(2016,浙江?高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)十二---,%￡［0』］.證明：

1+x

(回)/W>l-x+x2；

33

(回)-<f(x)<-.

42

12.(2016?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)，(x)=ln%-%+l.

(回)討論了⑺的單調(diào)性；

(El)證明當(dāng)xw(l,+8)時，1<-----<尤；

In尤

(團)設(shè)c>l,證明當(dāng)xw(O,l)時，l+(c-l)x>c\

13.(2015?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=B-alnx.

(0)討論〃尤)的導(dǎo)函數(shù)尸(%)的零點的個數(shù);

2

(0)證明：當(dāng)a>0時〃x)22a+aln)

14.(2015?湖北,高考真題)設(shè)函數(shù)/⑺，g(無)的定義域均為R,且了⑺是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù),

/(x)+g(x)=e\其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴求Ax),g(x)的解析式，并證明：當(dāng)x>0時,/(x)>0,g(x)>l；

(2)設(shè)。40,b>\,證明：當(dāng)x>0時，ag(x)+(1-a)<<bg(x)+(l-b).

15.(2015?福建?高考真題)已知函數(shù)/(x)=/〃(l+x),g(x)=kx,(kcR),

(0)證明：當(dāng)尤>0時，/(x)<x；

(0)證明：當(dāng)上<1時，存在%>0,使得對任意尤1(0,%),恒有/'(x)>g(x)；

(回)確定k的所以可能取值，使得存在r>0,對任意的"(0,r),恒有|/(x)-g(x)|<x2.

1_i_Y

16.(2015?北京?高考真題)已知函數(shù)〃力=1叫—.

1-x

(H)求曲線在點(。，/(。))處的切線方程;

(國)求證：當(dāng)xe(O,l)時，〃尤)>2"+：］；

(0)設(shè)實數(shù)上使得+對xe(O,l)恒成立，求左的最大值.

考點06恒成立與能成立(有解)問題

1.(2024?天津,高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx.

⑴求圖象上點(1，/。))處的切線方程；

⑵若在xe(0,+°°)時恒成立，求。的值；

⑶若莉,馬?0,1),證明閆

2.(2024?全國甲卷?高考真題)已知函數(shù)=-ax)ln(l+x)-x.

⑴當(dāng)a=—2時，求/(x)的極值；

(2)當(dāng)xNO時，f(x)>0,求。的取值范圍.

sinjv(7t

3.(2023?全國甲卷?高考真題)已知函數(shù)“尤)=辦-1后,xe[0,5?.

⑴當(dāng)4=1時，討論“X)的單調(diào)性；

(2)若〃x)+sinx<0,求a的取值范圍.

cinY(jrA

4.(2023?全國甲卷?高考真題)已知函數(shù)/(工)=以———,xe0,-

cosx\2J

⑴當(dāng)a=8時，討論了*)的單調(diào)性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

5.(2022?全國新I卷?高考真題)已知函數(shù)/(x)=xe?-e1

⑴當(dāng)a=l時，討論"X)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0時，,求a的取值范圍；

111,,,、

(3)設(shè)〃eN*,證明：/,+./：—++/,>1r1("+1).

V1+1V22+2Vn+?

6.(2022?全國甲卷?高考真題)已知函數(shù)/(x)=C-]nx+x-a.

⑴若〃x)20,求a的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個零點外,三，則占尤2<L

7.(2021?天津?高考真題)已知a>0,函數(shù)=.

(I)求曲線y=/(%)在點(0,〃。))處的切線方程：

(II)證明/(X)存在唯一的極值點

(川)若存在a,使得〃x)Ma+人對任意xeR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

8.(2020?山東?高考真題)已知函數(shù)/(x)=ae*T-Inx+lna.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=〃x)在點(1,/。))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若不等式/'(x)21恒成立，求a的取值范圍.

9.(2020?全國?高考真題)已知函數(shù)/(尤)=1+依2一天.

(1)當(dāng)4=1時，討論/(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)貶。時，f(x)>^^+1,求。的取值范圍.

10.(2019?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=2sinx—xcosx-x,f(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：f(x)在區(qū)間(0,兀)存在唯一零點；

(2)若尷[0,兀]時，f(x)>ax,求。的取值范圍.

x

11.(2017?天津?高考真題)設(shè)a,bGR,|。區(qū)1.已知函數(shù)/(%)=/一6/一3〃(〃一4)%+6,g(x)=ef(x).

(回)求了(幻的單調(diào)區(qū)間；

(回)已知函數(shù)丁=且。)和>="的圖象在公共點(xo,y0)處有相同的切線,

(i)求證：，(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0；

(ii)若關(guān)于X的不等式g(x)Ve，在區(qū)間區(qū)-1,%+1]上恒成立，求b的取值范圍.

12.(2017?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)，(勸=(1-高

(I)討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性；

(II)當(dāng)XN0時，f(x)<ax+l,求實數(shù)。的取值范圍.

13.(2016,江蘇?高考真題)已知函數(shù)/(x)=a*+匕*(。>0,6>0,。片1,6)1).

(1)設(shè)0=2,6=；.

①求方程〃x)=2的根；

②若對任意xeR,不等式/(2x)2，何?(無)-6恒成立，求實數(shù)m的最大值；

(2)若。函數(shù)g(x)=/(x)-2有且只有1個零點，求ab的值.

14.(2016?全國?高考真題)已知函數(shù)/'(x)=(x+l)lnx-a(尤-1).

(I)當(dāng)。=4時，求曲線y=/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

(0)若當(dāng)彳?1,-)時，/(x)>0,求。的取值范圍.

15.(2016?四川,高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=ax2-a-lnx,g(x；=---L，其中aGR,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).

xe

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)x>l時，g兇>0；

(3)如果/(x)>g(x)在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

16.(2015?四川,高考真題)已知函數(shù)/(x)=-2(尤+a)lnx+Y-2ax-2a2+a,其中a>0.

(1)設(shè)g(x)是F3的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性;

(2)證明:存在"(0,1),使得/(尤)20在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立，且f(x)=O在(1,”)內(nèi)有唯一解.

17.(2015?山東?高考真題)設(shè)函數(shù)“*)=111(%+1)+。(必-工)，其中aeR.

(回)討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；

(回)若Vx>0,/(x)20成立，求。的取值范圍.

18.(2015?湖南?高考真題)函數(shù)/(x)=ae*cos考xe[0,+oo),記了,為戶>)的從小到大的第”(力eN*)個極

值點.

(回)證明：數(shù)列"(％)｝是等比數(shù)列；

(回)若對一切“cN*,當(dāng)恒成立，求。的取值范圍.

19.(2015?湖南?高考真題)已知a>0,函數(shù)/(尤)ujsinx(xe[0,+oo)),記乙為〃刈的從小到大的第九(neN*)

個極值點，證明：

(1)數(shù)列｛/(%)｝是等比數(shù)列

（2）若。之工^彳，則對一切〃wN*,|/（x/恒成立.

20.（2015?福建?高考真題）已知函數(shù)/（》）=歷（1+無），g（x）=kx,（keR）,

（0）證明：當(dāng)x>0時，f（x）<x；

（0）證明：當(dāng)4<1時，存在%>。,使得對任意xi（0,%）,恒有y（x）>g（x）；

（回）確定k的所以可能取值，使得存在f>0,對任意的尤e（。，r）,恒有|/（x）-g（刈</.

1y

21.（2015?北京?高考真題）已知函數(shù)/（x）=ln丁一.

（0）求曲線y=/（x）在點（。，/⑼）處的切線方程；

（0）求證：當(dāng)xe（O,l）時，/（x）>2x+yj；

（回）設(shè)實數(shù)上使得/（對>左卜+：）對x?0，l）恒成立，求上的最大值.

考點07零點問題

1.（2022?全國