2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ（八大考點(diǎn)）

三年真題

4<02函數(shù)的林念S基本初等函數(shù)I

菖胡會(huì)港。絹施窗

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)

2023年全國(guó)n卷

2023年全國(guó)乙卷（理）

考點(diǎn)1:已知奇偶性求參數(shù)2024年上海卷

2022年全國(guó)乙卷（文）

2023年全國(guó)甲卷（理）

2022年天津卷

2023年天津卷

2024年全國(guó)甲卷（理）

考點(diǎn)2:函數(shù)圖像的識(shí)別

2024年全國(guó)I卷

2022年全國(guó)乙卷（文）從近三年高考命題來(lái)看，本節(jié)

2022年全國(guó)甲卷（理）是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單

2022年北京卷

調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期

考點(diǎn)3:函數(shù)模型及應(yīng)用2024年北京卷

性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)

2023年全國(guó)I卷

注周期性、對(duì)稱性、奇偶性結(jié)

2023年全國(guó)乙卷（理）

合在一起，.與函數(shù)圖像、函數(shù)

2022年北京卷

考點(diǎn)4:基本初等函數(shù)的性2023年北京卷零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考

質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性2024年全國(guó)I卷查.

2024年天津卷

2023年全國(guó)I卷

2022年浙江卷

考點(diǎn)5:分段函數(shù)問(wèn)題

2024年上海夏季

考點(diǎn)6:函數(shù)的定義域、值2022年北京卷

域、最值問(wèn)題2022年北京卷

考點(diǎn)7:函數(shù)性質(zhì)（對(duì)稱性、2023年全國(guó)I卷

周期性、奇偶性）的綜合運(yùn)2022年全國(guó)I卷

用2024年全國(guó)I卷

2022年全國(guó)II卷

2022年天津卷

2022年浙江卷

考點(diǎn)8:指對(duì)幕運(yùn)算

2024年全國(guó)甲卷（理）

2023年北京卷

竊窗紛綴。闔滔退國(guó)

考點(diǎn)1:已知奇偶性求參數(shù)

2r-1

1.(2023年新課標(biāo)全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題)若〃x)=(x+a)ln尊為偶函數(shù)，則。=().

A.-1B.0C.1D.1

【答案】B

【解析】因?yàn)椤癤)為偶函數(shù)，則/(l)=〃-l"(l+a)lng=(-l+a)ln3,解得。=0,

當(dāng)。=0時(shí)，/(尤)=xln河,(2x-l)(2x+l)>0，解得或x<一,

4人"IL乙乙

則其定義域?yàn)椋∑?<-三，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

/IH-x)嗎H=(T)ln碧=(_沙”著)=xln||^=/(x),

故此時(shí)〃X)為偶函數(shù).

故選：B.

2.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知/(x)=F二是偶函數(shù)，則〃=()

e-1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因?yàn)?—J為偶函數(shù)，則〃一X)二器=尤[e：e(；)[=o,

又因?yàn)閤不恒為0,可得e=e("T)*=0,即e'=e(i,

則x=(a-l)x,即1=“-1,解得a=2.

故選：D.

3.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)已知/(冷=/+。，xeR,且〃x)是奇函數(shù)，則。=

【答案】0

【解析】因?yàn)椤▁)是奇函數(shù)，故〃r)+/(x)=0即/+°+(_可3+。=0,

故。=0,

故答案為：0.

4.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)若/(x)=Ma+；+6是奇函數(shù)，則a=b=

1—X

【答案】；ln2.

【解析】［方法一］:奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性

若。=0,則/⑴的定義域?yàn)?不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

〃w0

若奇函數(shù)的/(%)=歷1。+；什6有意義，則xwl且。+J-。。

l—x1-x

且XW1+，

a

???函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

+-=,解得°=一1，

a2

由"0)=0得，4+b=0,

b=ln2,

故答案為：-；；加2.

［方法二］：函數(shù)的奇偶性求參

a-ax+\I,,Iax-a-

f(x)=InQ+^—|+b=/"+Z

1+b=M----------------

1-x「1-x

ax+a+\

f(-x)=ln+b

1+x

???函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

//、//、7ax-a-\I.?ax+a+\「

/./(%)+f{-x)=ln-----------+/?------------+2n7b=C

1-x111+x

ax-(?+l)2

/.In----9----+2/)=0

x2-l

a2(tz+1)2c1八I

/.——=-----n2a+l=0=>a=——

II2

—2b=ln—=—2ln2=>b=ln2

4

a=——l,b=7l7nC2

2

［方法三］:

因?yàn)楹瘮?shù)/'（x）=ln。+丁匚+6為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

L—X

由?？傻?，（i-x）g+i-辦戶0,所以x=q±L_i,解得：a=-\,即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

l-xa2

(-co,-l)u(-l,l)u(l,+co)，再由/(0)=0可得，6=ln2.即/(x)=ln-<+J—+ln2=ln[^，在定義域

2L—XL—X

內(nèi)滿足=，符合題意.

故答案為：-;；In2.

5.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若/（》）=（無(wú)-丁+G+sin卜+|為偶函數(shù)，則。=

【答案】2

【解析】因?yàn)閥=f(^)=(^-l)2+?x+sin,+]卜6一1j+ox+cosx為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

止匕時(shí)f(x)=(工一1/+2x+COSX=X2+1+COSX,

所以/(-%)=(-x)2+1+COS(-X)=+1+COSX=f(X),

又定義域?yàn)镽,故f（x）為偶函數(shù),

所以。=2.

故答案為：2.

考點(diǎn)2：函數(shù)圖像的識(shí)別

6.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）函數(shù)/'（x）=EH的圖像為（）

【答案】D

【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋×?。?

函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又當(dāng)x<0時(shí)，y（x）=t-^l<o,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)尤>1時(shí)，f（x）=ET=士1=工-工函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

XXX

故選：D.

7.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/'（X）的部分圖象如下圖所示，則/（X）的解析式可能為（）

-5sinx

5e%+5e-T5cosx

°F

'X2+2

【答案】D

【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且/（-2）=/（2）＜0,

由；：：!；：=一哭f且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

當(dāng)x＞0時(shí)§竺＞0、5號(hào)［）＞0,即A、C中（0,+◎上函數(shù)值為正，排除；

x~+2x~+2

故選：D

8（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)〃尤）=-苫2+佇-「卜加在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為（）

【答案】B

【解析】/(-^)=-^2+(e-x-e')sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=/(x),

又函數(shù)定義域?yàn)椴?.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

-

J4/（1）-1+1e--jsin1>-l+|e-—jsin—=—1——吆—-^>0z

622e42e

故可排除D.

故選：B.

9.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng).[0,2刈時(shí)，曲線y=sinx與昨2si“3x-￡|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)P=sinx的的最小正周期為7=2兀，

函數(shù)昨2sin13x用的最小正周期為7T，

所以在xe［0,2兀］上函數(shù)y=2sin）有三個(gè)周期的圖象，

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).

故選：C

10.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，

則該函數(shù)是（）

.—x3+3xx3-x-2xcosx2sin%

A.y=----B----.----C.y=D.歹二

x2+lX2+11x2+1

【答案】A

【解析】設(shè)=t，

則/⑴=0,故排除B;

設(shè),當(dāng)

xe0,-1時(shí)，0<cosx<lz

所以〃(小誓＜昂5故排除C;

設(shè)g(x)=?詈，貝!|g(3)=聿@＞0,故排除D.

故選：A.

11.(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)函數(shù)＞=(3，-3-*"尤在區(qū)間后看的圖象大致為()

【答案】A

【解析】af(x)=(3-3T)cos%xe[H],

則/(-可=(37-3。(：0$(-尤)=-(3"-3-，)cosx=-/(x),

所以/(x)為奇函數(shù)，排除BD;

又當(dāng)xe(0，m時(shí)，3'-3->0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.

故選：A.

考點(diǎn)3：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

12.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與7和坨尸的

關(guān)系，其中7表示溫度，單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,尸=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

口.當(dāng)7=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】當(dāng)7=220,尸=1026時(shí)，1g尸＞3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)T=270,P=128時(shí)，2＜1g尸＜3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)7=300,尸=9987時(shí)，1g尸與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài),對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)

誤.

當(dāng)T=360,P=729時(shí)，因2＜1g尸＜3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài),故D正確.

故選：D

C_1

13.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）生物豐富度指數(shù)1=丁二是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中S，N分別表

InN

示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)“越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種

類數(shù)s沒(méi)有變化，生物個(gè)體總數(shù)由M變?yōu)槊耍镓S富度指數(shù)由2.1提高到3.15，則（）

A.3%=2乂B.2生=3$

C.N；=N；D.N；=N：

【答案】D

S_]S—1

【解析】由題意得"=21，匯歹=3.15)[]2.11nM=3.151nN2Mfj21nM=31nN2dJ^V=Nl

故選：D.

14.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的

強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)4=20xlgf,其中常數(shù)為(4>0)是聽覺(jué)下限閾值，。是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源

PQ

的聲壓級(jí)：

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車1050?60

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為4,2,P3,貝U().

A.ft>AB.0>10區(qū)

C.2=i0°zD./?!<1007?2

【答案】ACD

【解析】由題意可知：1久?60,90]也,目50,60],4=40,

對(duì)于選項(xiàng)A:可得乙14=20x1g及-20xlg&=20x1g且

PoPoPl

因?yàn)槿?,貝(J4_4=20xlg§20,gplg^>0,

PlPl

所以八21且外。2>0,可得PiNPz,故A正確；

Pl

對(duì)于選項(xiàng)B：可得=20xlg匹-20xlg△=20xlg紅，

PoPo23

LL

~Pi=P1-40>10，貝1]2°xlg§21(),即,

夕3夕3乙

所以與2師且。2，。3>。，可得°2之而2

夕3

當(dāng)且僅當(dāng)=50時(shí)，等號(hào)成立,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)c:因?yàn)?m=20xlg2=4°,即lgH=2

PoPo

可得§=100，即2=100”，故C正確；

P。

對(duì)于選項(xiàng)D:由選項(xiàng)A可知：=20xlgA

Pl

<90-50=40，貝[]20x1g區(qū)V40,

P1

即他且42,可得a4100,且外2>0,所以口<10002,故D正確；

PlP1

故選：ACD.

考點(diǎn)4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性

15.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)"（0,1）,若函數(shù)/3=優(yōu)+（1+”在（0,+⑹上單調(diào)遞增,

則a的取值范圍是.

【答案】

【解析】由函數(shù)的解析式可得了'⑴=優(yōu)山。+（1+"ln（l+a”0在區(qū)間（0,+⑹上恒成立，

1+a“也在區(qū)間（0,+8）上恒成立，

則(1+Q)'ln(l+a)2-alna，即

a

1+。1=12-瑞%，而a+le(l,2),故ln(l+a)>0,

故

a

+2-Inoa^a+\)>\，故與,

故

0<a<10<<2<1

6-1、

結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)。的取值范圍是丁J

也-1、

故答案為：

2，,

7

16.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)/（刈=力,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有（）

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

D.-=g

C./(-x)+/(x)=l

【答案】c

【解析】/（一尤）+〃同=合+￡2X1

合+。=1，故A錯(cuò)誤，C正確；

A）-/（加夫-￡=臺(tái)12T]2

，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；

1+2-'-2、+1-~2X+1

故選：C.

17.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+勾上單調(diào)遞增的是（）

A.f（x）=-lnxB./（x）=L

2

C./?=--D./（x）=3M

X

【答案】C

【解析】對(duì)于A,因?yàn)榱?InX在（0,+8）上單調(diào)遞增，了=-彳在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以/（x）=-lnx在（0,+向上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥=2、在（0,+8）上單調(diào)遞增，>=：在（0,+e）上單調(diào)遞減，

所以〃工）=］在（0,+8）上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)椤?在（0,+s）上單調(diào)遞減，了=-尤在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以〃x）=-：在（0,+s）上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?（￡|=3加=3；=百,/（1）=311-11=3°=1,/（2）=3|2-11=3,

顯然/3=少T在（0,+向上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

1842024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)〃x）=1—X+—g2ax+—Da.x4<。0在R上單調(diào)遞增,則“的取值

范圍是()

A.(-℃,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x)在R上單調(diào)遞增，且MO時(shí)，/(x)=e，+ln(x+l)單調(diào)遞增，

——>0

則需滿足2x(-1)，解得

-a<e°+In1

即。的范圍是[T，。].

故選：B.

19.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

x

Ae-x2ccosx+x2sinx+4x

A?尸丁7B.y=一廠r-C.jD

X+1X-+1x+1-—

【答案】B

「X—v2

【解析】對(duì)A,設(shè)/(耳=高>，函數(shù)定義域?yàn)镽,但/(-1)=『，/(1)=7,貝■⑴，故

A錯(cuò)誤；

co+

對(duì)B,設(shè)g(尤)=7/，函數(shù)定義域?yàn)镽,

'/X+1

且g(-X)=嗎?：(")==g(x)，則g(X)為偶函數(shù)，故B正確；

(-X)+1%+1

對(duì)C,設(shè)〃(x)=?，函數(shù)定義域?yàn)閧刈xw-1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則g)不是偶函數(shù)，故c錯(cuò)誤;

對(duì)D,設(shè)0(/='布》：4》,函數(shù)定義域?yàn)镽,因?yàn)椤＂?包*±￡,夕(一1)=—一,

e11ee

則0⑴W/(T),則W(x)不是偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.

故選：B.

20(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題腹函數(shù)/3=2代”)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍息)

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+s)

【答案】D

【解析】函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)〃月=28"）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)9=武尤-。）=。-夕——在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減,因此經(jīng)1,解得,

242

所以。的取值范圍是2。）.

故選：D

考點(diǎn)5：分段函數(shù)問(wèn)題

-X2+2,尤W1,//,\\

21.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)/（x）=1則//3卜________；若當(dāng)

x+——1,x>l,I12〃

IX

々時(shí)，1</（X）<3,貝出—。的最大值是_________.

【答案】—3+V3/V3+3

2o

【解析】由已知心）=-（；）+2=1,〃>：+W,

所以力引W，

當(dāng)X41時(shí)，由l4/（x）V3可得1=一一+2<3,所以一14x41,

當(dāng)x>l時(shí)，由lV/（x）W3可得lWx+』TW3,所以l<x〈2+VJ,

X

14/（無(wú)）43等價(jià)于-14x42+百，所以［a,可0-1,2+西,

所以。的最大值為3+6.

故答案為：—,3+6.

2o

22.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知〃x）=］產(chǎn)則〃3）=.

【答案】6

【解析】因?yàn)?故/（3）=6,

［l,x<0

故答案為：V3.

考點(diǎn)6：函數(shù)的定義域、值域、最值問(wèn)題

23.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）函數(shù)"X）=1+”二3的定義域是_________.

X

【答案】（-8,0）3（0,1]

/\1I---11—x20

【解析】因?yàn)椤╔）=—+心，所以，解得XVI且XW0,

XIXWU

故函數(shù)的定義域?yàn)椋?8,0）口（0』；

故答案為：（f0）5?！?/p>

-ax+1,x<a,

24.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)函數(shù)/（x）=若/⑴存在最小值，則。的一個(gè)取

2,x>a.

值為；a的最大值為.

【答案】0（答案不唯一）1

1<0

【解析】若"0時(shí)，/（尤）={,2,???/（x）mm=0；

（x-2）,x>0

若加0時(shí)，當(dāng)時(shí)，〃幻=-"+1單調(diào)遞增，當(dāng)XfYO時(shí)，/（》）-—8,故"X）沒(méi)有最小值，不符合題

目要求；

若?！?時(shí)，

當(dāng)時(shí)/"X）=—ax+1單調(diào)遞減，f（x）>f（a）=—a2+1,

0（0<a<2）

當(dāng)工〉。時(shí)，/（工焉={/-2（

（a-2）（a>2）

丁?-42+1NO或_力+i2（Q—2）2,

解得0<a?l,

綜上可得；

故答案為：0（答案不唯一），1

考點(diǎn)7：函數(shù)性質(zhì)（對(duì)稱性、周期性、奇偶性）的綜合運(yùn)用

25.（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/（耳的定義域?yàn)閰^(qū)，〃？）=//3+/〃3；）,

則（）.

A./（0）=0B./(1)=0

C./（X）是偶函數(shù)D.x=0為/(X)的極小值點(diǎn)

【答案】ABC

【解析】方法一：

因?yàn)?'(孫)=y2/(x)+r7(y),

對(duì)于A,令尤=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則〃1)=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-i,/(1)=/(-1)+/(-1)-2/(-1)，貝曠(-1)=0,

令y=TJ(-x)=/a)+//(-i)=/(x),

又函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,所以/(X)為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,不妨令/。)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)Ax)無(wú)極值，故D錯(cuò)誤.

方法二：

因?yàn)?(xy)=y2/(x)+x2/(y),

又寸于A,令無(wú)=了=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

又寸于C,令》=歹=一1,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1)，貝［|/(一1)=0,

令N=TJ(-x)=/(x)+x2/(-l)=/(x),

又函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,所以/⑴為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,當(dāng)//70時(shí)，對(duì)/(xy)=j/〃x)+x2”y)兩邊同時(shí)除以只產(chǎn)，彳導(dǎo)至IJ=乍^+,

故可以設(shè)^^=1中2。)，則=,

x［0,x=0

當(dāng)x>0肘，f(x)=x2Inx，貝［］/'(x)=Zxlnx+x?,=x(21nx+l),

令八無(wú))<0,得0<x<e—，?令/()>0,得x>N；

故/(X)在［3］上單調(diào)遞減，在仔,+/上單調(diào)遞增

因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，所以“X)在-e-5,0上單調(diào)遞增，在一明屋5上單調(diào)遞減,

7

顯然，此時(shí)X=o是"X)的極大值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

26.(多選題)(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)"X)及其導(dǎo)函數(shù)/(X)的定義域均為R,記

g(x)=/(x),若/1|-2x］,g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g，J=0C./(-D=/(4)D.g(-D=g(2)

【答案】BC

【解析】［方法一］：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于/(X),因?yàn)?'［一2x)為偶函數(shù),所以=+即/+①，所以

f(3-x)=f(x),所以"X)關(guān)于x=j對(duì)稱，則/(-1)=〃4),故C正確；

對(duì)于g。),因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，由①求

導(dǎo)，和g(x)=7'(x),得=1/1+工)<=>-/g+x)o-gg-x)=gg+x,所

以g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)關(guān)于(j,0)對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,所以g1)=0,結(jié)合g(x)關(guān)于X=2對(duì)

稱，從而周期T=4x，-j=2，所以gH=g(0=O,g(T=g6=_g⑵，故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)/⑸滿足題設(shè)條件，則函數(shù)〃x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定/⑴的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

［方法二］：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關(guān)于x=2對(duì)稱，故可設(shè)g(x)=cosg),則/(x)=,sing)+c,顯然A,D錯(cuò)

71

誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］：

因?yàn)?(1-2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，

所以=+即/1|一^=/^+》］，g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),則八—1)=〃4),故C正確；

3

函數(shù)/(x),g(x)的圖象分別關(guān)于直線X=5,X=2對(duì)稱，

又g(x)=f\x),且函數(shù)/(x)可導(dǎo)，

所以g13=08(3-耳=一8(勾,

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)，所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以gH=g］，=0,g(-l)=g(l)=-g(2)，故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)〃x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)〃x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定/(x)的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的

通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

27.(2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,/?>/(x-l)+/(x-2)，且當(dāng)x<3

時(shí)/(x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)/(%)=尤，所以/⑴=1J(2)=2,

又因?yàn)?(x)>/(x-l)+/(x-2),

貝［|/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(U)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(II)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知"20)>1000,則B正確；

且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

28.(2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/⑴的定義域?yàn)镽,且

22

〃x+y)+〃X7)=〃x)〃y)J(l)=l,則()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】［方法一］:賦值加性質(zhì)

因?yàn)?(x+y)+/(xr)=/(x)〃y),令x=l,y=0可得，2/⑴=/⑴/⑼，所以/(0)=2，令x=0可得，

〃y)+/(r)=2/(y),gp/(j)=/(-y)，所以函數(shù)/(無(wú))為偶函數(shù)，令y=i得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知/(x+2)=-/(x-l),

［卜一1)=一/卜一4),故〃x+2)=/(x-4),即〃x)=/(x+6),所以函數(shù)7'(x)的一個(gè)周期為6.因?yàn)?/p>

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/⑸=/(一1)=/(1)=1,〃6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的/⑴+〃2)+…+/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以㈤=〃1)+/(2)+〃3)+/(4)=1一1一2-1=-3.故選：A.

k=l

I方法二I:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由「(》+田+/(》7)=〃司/5),聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x+^)+cos(x-y)=2cosxcosy，可設(shè)/(x)=QCOSGX，則由方法一中/(0)=2,/(1)=1知4=2,訛0$°=1,

［71

解得COS0=］,取0=§,

jr

所以/(x)=2cos§x,則

f(x+y)+f(x-y)=2cosfyX+yy\+2cosRy)=4c0&f麓°曰了=/1/,,所以/(x)=2cosqx

T——6

符合條件，因此/(x)的周期-￡■,/(o)=2,/(l)=l,且

3

/(2)=-1,/(3)=-2,/(4)=-1,/(5)=1,/(6)=2,所以41)+42)+“3)+”4)+〃5)+”6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以(左)=〃1)+/(2)+/(3)+./'(4)=1一1一2-1=一3.故選：A.

k=l

【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法;

29.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)〃x)，g(x)的定義域均為R,且

22

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線.“2對(duì)稱，g(2)=4，則X"后)=()