2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：平面向量（六大考點(diǎn)）

三年真題

專敷09年面向量

富鋁若磺。麴軀僧

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢

考點(diǎn)1:平面向量線性運(yùn)算2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

考點(diǎn)2：數(shù)量積運(yùn)算

2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化

2024年北京高考數(shù)學(xué)真題

簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問

2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題

題，如證明垂直、距離等是每

2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)3：求模問題年必考的內(nèi)容，單獨(dú)命題時，

2023年北京高考數(shù)學(xué)真題

一般以選擇、填空形式出現(xiàn).交

2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

匯命題時，向量一般與解析幾

2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

何、三角函數(shù)、平面幾何等相

考點(diǎn)4：求夾角問題2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

結(jié)合考查，而此時向量作為工

2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題

具出現(xiàn).向量的應(yīng)用是跨學(xué)科

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題

知識的一個交匯點(diǎn)，務(wù)必引起

2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

重視.

考點(diǎn)5：平行垂直問題2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

預(yù)測命題時考查平面向量數(shù)

2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，

2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

同時與三角函數(shù)及解析幾何

2024年天津高考數(shù)學(xué)真題

相結(jié)合的解答題也是熱點(diǎn).

2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

考點(diǎn)6：平面向量取值與范2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題

圍問題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題

2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題

2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

甯窗給綠。固滔送溫

考點(diǎn)1:平面向量線性運(yùn)算

1.（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）在^ABC中，點(diǎn)。在邊上，5D=2ZM.記田=m,CD=力，則赤=

（）

A.3m—2nB.-2m+3HC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊N3上，BD=2DA,所以麗=2而，即麗-赤=2（石-1），

所以赤=3而一2聲=3石一2碗=-2成+3萬.

故選：B.

考點(diǎn)2：數(shù)量積運(yùn)算

2.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量￡,b的夾角的余弦值為;,且問=1,%=3,貝1|

（2￡+皿=.

【答案】11

【解析】設(shè)a與用勺夾角為。，因?yàn)閍與B的夾角的余弦值為:，即cosO=；,

又H=1，M=3，所以Z*=~H*°sO=lx3xg=l,

所以（2〃+可％=+B-6+|S|=2x1+32=11.

故答案為：11.

3.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形45s的邊長是2,￡是的中點(diǎn)，則比?麗=（）

A.V5B.3C.275D.5

【答案】B

（______lUun-iIuuufiiiuruuur

【解析】方法一：以｛/民/。｝為基底向量，可知.耳=%。卜2,/"/。=0,

uuruuruur1uurUUTuuruurmrar1uuruuir

貝（JEC=￡8+80=5/5+/。?="+/。=-5/5+/。，

uuruur（1uuruuirA（1uuruuurA1uuiuui?

EC-ED=\-AB+AD\-\—AB+AD\=—^AB+AD=』M馬；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

uumuuui

則E(l,0),C(2,2),D(0,2)，可得EC=(1,2),ED=(-1,2),

LILULlUUL

所以￡C的=-l+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=45,CD=2,

DE2+CE2-DC25+5-43

在ACDE中，由余弦定理可得cos4DEC=

2DE-CE2x盡下15

uuuurruuur山

所以EC-ED=\EC\LEDCOSZDEC=V5xV5x—=3.

5

故選：B.

4.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量"滿足|￡|=1,|昨百，而-2昨3,則［B=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】c

【解析】^\a-2b\2=\a\2—4a-6+4|&|,

又?.?隆|=1,出|=百,|萬一2后|=3,

■-9=l-4a-b+4x3=13-4a-b,

■■a-b=1

故選：C.

5.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè),刃是向量，則"（N+3）?伍-可=0”是“2=1或：=刃”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因?yàn)椋ā?孫（@一0=旌一個=0，可得/=不，即同=村，

可知,+孫,5）=0等價于同州,

若2=1或2=1,可得同=|可，即（〉+'）件」）=0，可知必要性成立；

若心+孫,-3=。，即同=|可，無法得出°=3或H,

例如,=（1,0）3=（0,1）,滿足同=問，但且心工，可知充分性不成立；

綜上所述，%+4（3-4=0”是工。且￡力工”的必要不充分條件.

故選：B.

考點(diǎn)3：求模問題

6.（2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量3,B滿足卜/=百，歸+可=忻-同，則年.

【答案】6

【解析】法一：因?yàn)椴?同=忸-可，即（1+盯=（21-引，

I「2rI*「212rr12^>7Tcn/i=i_2ff

貝（Jq+2a-b+b=4〃-Aa-b+b，整理得〃—2a-b=0,

又因?yàn)閨々一回=后,即（1_丹2=3,

貝！1J-2.-6+62=？=3，所以|可=百.

±Lil'iI'LLLLLLI'

法_:設(shè)c=J-6，貝［］卜］=J3,〃+b=c+2b,2?！?=2c+6,

由題意可得：?+2力2=*“，則；?+—+措=或+篇+匕

整理得：?=?,即曬=口=6.

故答案為：V3.

7.（2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量獲滿足問=市+2+2，且?-22）厚，則慟=（）

A.yB.立C.立D.1

222

【答案】B

【解析】因?yàn)椋?2同點(diǎn)，所以,-2Z"=0,SPb=2a-b,

又因?yàn)殁?11+2可=2,

所以1+4〃花+4刃=1+66=4，

從而w=孝.

故選：B.

8.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)已知向量落不滿足3+。=(2,3)k-不=(-2,1),貝(]|殲-向2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量癡滿足d+B=(2,3)為工=(-2,1),

所以|a|2-|6^-(a+b)-(a-b)=2x(-2)+3x1=-1.

故選：B

9.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知向量￡=(2,1)1=(-2,4)，則，-力|()

A.2B.3C.4D,5

【答案】D

【解析】因?yàn)?5=(2,1)-(-2,4)=(4,-3)，所以**歷而=5.

故選：D

考點(diǎn)4：求夾角問題

10.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知向量。=(3,1)1=(2,2),貝[|cos?+及"力=()

【答案】B

【解析】因?yàn)閍=(3,1)1=(2,2),所以°+刃=(5,3),°-5=(1,-1),

貝m+@=,52+32=5,|］一可=7171=a,p+5)-p-Z；)=5xl+3x(-l)=2,

/__\a+b\\a-b\2J17

所以cos(a+6,"k下邳可=麻五=17-

故選：B.

11.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知向量用B忑滿足同=⑹卜1,同=逝，且,+石+己，則

cos(3-c,/?-c)=()

422

A?"B--?C-?

【答案】D

【解析】因?yàn)椋?B+i=G,所以9+6=-￡,

即^+廬+2晨3=己2,即1+1+2。)=2,所以NZ=O.

如圖，設(shè)刀=a,OB=b,OC=c,

AB邊上的高OD=—,AD=—,

22

所以CD=CO+OD=行+—,

22

tanNACD=—=-,cosZACD=二

CD3屈,

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

12(2022年新高考全國n卷數(shù)學(xué)真題)已知向量a=(3,4)》=(l,0),c=a+正若<a,c>=<1,c>,則”()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

9+3/+163+%

【解析】5=(3+/,4),cos伍3=cos伍,可,即=百解得，=5,

5同

故選：C

考點(diǎn)5:平行垂直問題

13.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題））已知上eR,a=（2,5）,B=（6,左），且@//不,貝必的值為

【答案】15

【解析】allb,.12左=5x6,解得左=15.

故答案為：15.

14.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知向量及=（0,1）,B=（2,x）,若Bl（b-4a）,貝?。輝=（

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】D

【解析】因?yàn)樾∥?町，所以。e-旬=0,

所以°-4a-=0BP+x2—4x=0,故x=2,

故選：D.

15（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量@=（加,3）石=（1,加+1）若小石，則機(jī)=

3

【答案】-/-0.75

,3

【解析】由題意知：a-b=m+3（m+l）=0,解得加=-“

3

故答案為：

16.（2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知向量a=（1,1）1=（1,-1）,若（a+2可，（“+,則（

A.%+4=1B./+4=-l

C.M=1D.丸〃=-1

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?（1,1）1=（1,-1）,所以。+4=（1+2,1-2）,Z+）=（1+〃,1一〃），

由（a+/l3）_L+可得，（a+兄可，（°+必可=。,

即（1+4）（1+〃）+0-彳）（1一〃）=0，整理得:加=-1.

故選：D.

17.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量1=（尤+l,x）,B=（x,2）,貝［|（）

A.“x=-3”是“力B”的必要條件B.“x=-3”是“Z//B”的必要條件

c.“X=O”是“￡一”的充分條件D."尤=_1+疔，是“￡//尸的充分條件

【答案】C

【解析】對A,當(dāng)力朋寸,則,

所以x?(尤+1)+2無=0,解得工=0或-3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當(dāng)x=0時，a=(1,0)1=(0,2),故7)=0,

所以￡，刃，即充分性成立，故C正確；

對B,當(dāng)Z/后時，則2(x+l)=x?,解得x=l±6,即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當(dāng)無=-1+百時，不滿足2(x+l)=x2,所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

考點(diǎn)6：平面向量取值與范圍問題

18.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)在邊長為1的正方形4BCD中，點(diǎn)E為線段的三等分點(diǎn)，

1uuruuruur

CE=~DE,BE=ABA+piBC，則2+〃=；尸為線段BE上的動點(diǎn)，G為相中點(diǎn)，貝[]/?麗的最小

1uur2uuruuruuoruuriuuruur

【解析】解法一：因?yàn)镃E=/E,即CE=J/,則2￡=2。+。￡=//+如，

14

可得2=§，〃=1,所以％+〃=§；

由題意可知：|數(shù)|=|國=1,而?前=0,

因?yàn)槭瑸榫€段BE上的動點(diǎn)，^BF=kBE=^kBA+kBC,k&\Q,\\,

貝IJ萬=刀+而=存+左礪k^\BA+kBC,

則麗=9+就=_數(shù)+3萬=

又因?yàn)镚為小'中點(diǎn),

-ijs2+lU-ijsc

又因?yàn)樽骵[O,l],可知：當(dāng)左=1時，衣費(fèi)取到最小值二；

解法二：以3為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則/(TO),8(O,O),C(O,I),O(TI)E[：I],

可得或=(-1,0),元=(0,1),礪,

__1

因?yàn)辂?痂+〃就=(',〃)，則2一=3,所以彳+〃=:;

必=1°

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段8E：y=-3x,xe-1,0上，設(shè)尸(a,-3a),ae-1,0

且G為相中點(diǎn)，則G(一?，-■|aj,

可得//=(a+l,-3a),DG=[^^,-|,

貝！I病麗="^-+(_3°)[_口_1]=51+"$,

且ae--,0，所以當(dāng)。=-1時，NF-DG取至1J最小值為-白；

JJ10

45

故答案為：J

18

19.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知。。的半徑為1,直線以與。。相切于點(diǎn)/，直線網(wǎng)與。。

交于2,C兩點(diǎn)，。為3c的中點(diǎn)，若|尸。|=血，則西.而的最大值為（）

A1+V2口1+2V2

22

C.1+V2D.2+V2

【答案】A

【解析】如圖所示,\OA\=1,\OP\=42,則由題意可知：4PO=；,

由勾股定理可得|尸/|70P,-（MJ1

71

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線PO異側(cè)時或PB為直徑時^ZOPC=a,0<a<-,

則：莎.麗=19H西cos[a+?]

=lxV2cosacos]tz+鼻

=V2cosaf—costz--sina

122J

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.3

=------------sm2a

22

△-也sinRc，]

2214)

c兀c.、兀A7171

0<a<—,貝日---<2a---<—

4'人444

?,當(dāng)2a-時，/>/./?有最大值1.

jr

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線尸O同側(cè)時，設(shè)/。尸Ca,0<a<1,

71

則：PA-JD^\PA\'\PD\C0^\a--

71

=1xV2cosacosa--

=6（亞0.)

cosa——cosa+——sma

【22

7

=cos2a+si?nacosa

1+cos2a1.3

--------------b—sin2a

22

」+也sin&+工71

224

八71?.717137r

0<a<—,貝|一?2aH——<——

4'人」444

.?.當(dāng)2a+?=］時，方.所有最大值一.

綜上可得，沙.麗的最大值為白口.

故選：A.

20.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在“BC中，ZC=3,3C=4,NC=90°.P為“3C所在平面內(nèi)的

動點(diǎn)，且尸。=1,則萬?麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0,0）,N（3,o）,5（0,4）,

因?yàn)镻C=1,所以P在以C為圓心，I為半徑的圓上運(yùn)動，

設(shè)P(cos8,sin。)，8￡[0,2句，

所以夕/=(3—cos仇一sin。)，^^(-cos^^-sin0)t

所以PAPB=(-cos0)x(3-cos0)+(4-sin0)x(-sin6)

=cos20-3cos8—4sin8+sin?。

=l—3cos9—4sin。

=1—5sin(e+°)i其中sin0=1,cosp=g,

因?yàn)橐籰〈sin(e+9)Wl,所以一4K1—5sin(9+e)?6，即萬.萬E[T,6];

故選：D

21.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)在“BC中，0=口而=否，D是/C中點(diǎn)，通=2BE,試用扇5

表示DE為，若方，無，貝!]/ZC8的最大值為

31-兀

【答案】—b7——a—

226

【解析】方法一：

A

―2—?2—?—?//z_*nab2V3qqF,當(dāng)且僅當(dāng)同=如忖時取等號，而

3b+Q=4a?6ncos幺CB=|_||?

\a\\b\

TT

0<ZACB<7l，所以4。5￡(0,—].

6

3-1一n

故答案為：-b--a;-.

220

方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：

E(0,0),5(l,0),C(3,0),4(x,y),而=(_岑,苫),冠=(f_y),

DEIAB^(審)(x-l)+；=0n(x+l)2+/=4,所以點(diǎn)A的軌跡是以MT0)為圓心，以r=2為半徑的

r217T

圓，當(dāng)且僅當(dāng)◎與。M相切時，/C最大，此時sinC=K/=u，/C=w.

CM42o

3—1一71

故答案為：-b--a;-.

220

22.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)設(shè)點(diǎn)p在單位圓的內(nèi)接正八邊形44…4的邊44上,則

M+PZ2+---+A4S的取值范圍是_______.

【答案】[12+2⑸6]

【解析】以圓心為原點(diǎn)，44所在直線為X軸，44所在直線為了軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

廠？、(B歷、

六