2020年中考數(shù)學復習：《二次函數(shù)之面積問題》訓練(解析版)

《二次函數(shù)之面積問題》專題訓練

1.如圖，拋物線y=af+尹4的對稱軸是直線x=3,且與x軸相交于8兩點（點8在

點A的右側(cè)），與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式和48兩點的坐標；

（2）若點戶是拋物線上8、C兩點之間的一個動點（不與8,C重合）,則是否

存在一點只使△5%的面積最大？若存在，請求出△5%的最大面積；若不存在，試說

明理由.

解：（1）:拋物線"=且》+4/4的對稱軸是直線x=3,

1_1

■-_2=3，解得：a—~—

---4

2a

二拋物線的解析式為y=-

當y=0時，解得：x=-2或6,

故點彳的坐標為（-2,0）,點8的坐標為（8,0）；

（2）當x=0時，y=4,則點。的坐標為（0,4）；

由點8、。的坐標得，設直線8c的解析式為y=-^/4;

2

假設存在，設點戶的坐標為（x,-1%+4^4）,

42

過點"作外〃"軸，交直線員?于點。，交x軸于點￡則點〃的坐標為（x,-告"4）,

如圖所示.

iqIi

PD=—-x+-x+4-(--A+4)=--x+2x

4224

22

：-S&PBC=SAPD#SAPDB=±XPDX°曰工DPXEP=XX8X(^-x+2x)=-(x-4)+16；

2224

-1<0

，當x=，4時，△陽C的面積最大，最大面積是16.

2.如圖，直線p=x+2與拋物線j/=ax2+6A+6(a*O)相交于/(、-,《)和8(4,6),點

戶是線段加上異于48的動點，過點尸作用軸于點〃，交拋物線于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當。為拋物線頂點的時候，求45%的面積；

(3)是否存在這樣的點只使48”的面積有最大值，若存在，求出這個最大值，若不

解：(1)將點48的代入拋物線表達式得：?4aV+6=-2,解得:a=2

b=-8

16a+4b+6=6

故拋物線的表達式為：y=2x2-8A+6；

(2)函數(shù)的對稱軸為：x=2,則點C(2,-2),

當x=2時，y=/2=4,點E(-2,0),

貝IJ尸片6,

△8CE的面積XPC(x「xj=-^-X6X6=18；

(3)存在，理由：

設點戶(x,/2),點C(x,2x2-8^6)

SABCE=%XPCIXB-x3制X(JH-2-2X2+8X-6)X6=-6x2+27x-12,

V-6<0,故S△叱有最大值，當時，S△妣最大值為：曄.

48

3.如圖，拋物線y=ax2+2/c經(jīng)過點/(0,3),8(-1,0),請解答下列問題：

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的頂點為點。，對稱軸與x軸交于點￡連接劭，求劭的長；

(3)點尸在拋物線上運動，是否存在，點尸，使45尸C的面積為6,如果存在，求出點尸

的坐標；如果不存在，請說明理由.

解：(1)拋物線y=ax2+2/c經(jīng)過點/(0,3),8(-1,0),

則c=3,將點8的坐標代入拋物線表達式并解得：6=2,

故拋物線的表達式為：y=-必+2/3；

(2)函數(shù)的對稱軸為：x=1,則點〃(1,4),

貝1］的=2,DE=4,

BD=yj22+42~V5；

(3)存在，理由:

△fiFC的面積■義8cx|yf|=2|Yf\=6,

=

解得：yF-3,

故：-X?+2A+3=±3,

解得：x=0或2或1土#j,

故點尸的坐標為：(0,3)或(2,3)或(1-b，-3)或(1+H-3)；

4.已知：如圖，拋物線y=af+6/6與x軸交于點8(6,0),C(-2,0),與y軸交于點

4

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，點『是線段上方拋物線上的一個動點，連結(jié)以、PB.設的面積

為6,點戶的橫坐標為燈.

①試求S關于加的函數(shù)關系式；

②請說明當點。運動到什么位置時，△以8的面積有最大值？

③過點戶作x軸的垂線，交線段48于點。，再過點戶做房〃x軸交拋物線于點￡,連結(jié)

DE,請問是否存在點戶使△臉為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點力的坐標；

若不存在，請說明理由.

解：⑴拋物線的表達式為：y=a(x-6)(x，+2)=a(x,-4x72),

故-12a=6,解得：a=-

故拋物線的表達式為：y=-y+2/6；

(2)①過點尸作x軸的垂線交于點D,

V/

p

由點4(0,6)、8的坐標可得，直線的表達式為：y=-/6,

設點2(％-費詔+2W6),則點〃(%-社6),

1Ioop7

S=—XZY?XOB=3PD=3(-—m+2tr^6+m-6)=-—m+9m=-—(加-3)2+—,

22222

②S=-+9/77,

Q

--^<0,故S有最大值，此時0=3；

③△&龍為等腰直角三角形，

貝I]PE=PD,

點P(加，-1■序+2/6),

函數(shù)的對稱軸為：x=2,則點F的橫坐標為：4-m,

則在￡=|2加-4|,

即—f#+2m^6+m-6=12/77-41,

解得：m=4或-2或5+或5--717(舍去-2和5+A/17)

故點戶的坐標為：(4,6)或(5-3^/17-5).

5.已知拋物線y=ax2+6/3經(jīng)過4(-1,0)、B(3,0)點，直線/是拋物線的對稱軸.

(1)求拋物線的函數(shù)關系式；

(2)在直線/上確定一點。，使的周長最小，求出點。的坐標；

(3)若點。是拋物線上一動點，當以胸=3S△放時，請直接寫出點〃的坐標.

解：(1)拋物線的表達式為：y=a(/1)(x-3)=a(x2-2x-3),

即-3a=3,解得：a=-1,

故拋物線的表達式為：y=-X2+2A+3；

(2)點4的對稱點為點昆連接8C交函數(shù)對稱軸于點只則點戶為所求,

將點8、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=26并解得:

直線8c的表達式為：y=-/3,

當x=1時，y=2,

故點戶(1,2)；

(3)5△胞=3544破，貝UI及1=2；拄=1,即及=士1,

故-X?+2A+3=±1,

解得：x=1土正或1土泥,

故點。的坐標為：(11)或(1-、門，1)或(1+、后T)或(1-西，-D.

6.如圖，已知拋物線經(jīng)過兩點/(-3,0),B(0,3),且其對稱軸為直線x=-1.

(1)求此拋物線的解析式.

(2)若點。是對稱軸上一動點，當。仆6。最小時，求點。的坐標.

(3)若點。是拋物線上點4與點4之間的動點(不包括點/，點8),求△必8面積的最

4大值，并求出此時點尸的坐標.

解：(1)拋物線經(jīng)過兩點/(-3,0),對稱軸為直線x=-1,則拋物線與X軸另外一個

交點坐標為：(1,0),

則拋物線的表達式為：尸a(x+3)(x-1)=a(x?+2x-3),BP-3a—3,解得：a=-1,

個拋物線的表達式為：y=-x2-2/3；

(2)設點〃是點。關于對稱軸的對稱點，則〃(-2,0),

4連接招交對稱軸于點Q,則點。為所求，

則點8〃的表達式為："=會3,

當x=-1時，y=4,故點。(-1,

(3)過點尸作y軸的平行線交四于點//,

直線的表達式為：y=K3,

設點戶(X,-*2-2/3),則點〃(x,/3),

11qq

貝l]SAPAB=-PHXOA——X(-x?-2A+3-x-3)X3=-----x——x,

2222

???S△以8有最大值此時x=—

2o2

點占八o<一萬3，/15、

7.如圖，已知拋物線y=ax2+6/c(a豐0)經(jīng)過/(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三點,

直線/是拋物線的對稱軸.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)設點的是直線/上的一個動點，當點〃到點/,點C的距離之和最短時，求點〃的

坐標；

(3)在拋物線上是否存在點乂使5=46△腑，若存在，求出點〃的坐標，若不存在,

說明理由.

解：(1)拋物線的表達式為：y=a(/1)(x-3)=a(x2-2x-3),

即-3a=-3,解得：a=1,

故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2-2x-3.

(2)點/關于函數(shù)對稱軸的對稱點為點8,連接外交函數(shù)的對稱軸于點必則點〃為所

將點8、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=26并解得:

直線8c的表達式為：y=x-3,

當x=1時，y=-3,故點的（1,-2）.

⑶S△制則IM=I1Mcl=±4,

oo

則x-2x-3=±4,

解得：x=1或1±2&,

故點〃的坐標為：（1,-4）或（1+2、歷4）或（1-2頁，4）.

8.如圖，已知直線y=A+4交x軸于點/,交y軸于點B,拋物線y=-必力/。經(jīng)過點從B.

（1）求拋物線解析式；

（2）點C（%0）是x軸上異于4。點的一點，過點C作x軸的垂線交于點〃，交

拋物線于點E.

①當點F在直線上方的拋物線上時，連接/仄BE,求6△板的最大值；

②當"=47時，求〃的值.

解：（1）直線"=/4交x軸于點4交y軸于點6,則點48的坐標分別為：（-4,0）、

（0,4）,

則c=4,將點4的坐標代入拋物線表達式并解得：b=-3,

故拋物線的表達式為：y=-x-3/4；

（2）0（m,0）,則點仄〃的坐標分別為：（%-吊-3/4）、（m,加4）,

貝【JDE=|（--3研4）-（附4）|=|-m-4加|,

①SAB^XEDXOA=2ED=-2m-8m,

二5△住有最大值8；

②（社4）|,

BP-/n-4/7?=-721(社4)|,

解得：m=±正或-4.

9.如圖，拋物線y=-x?+4x與x軸交于點4頂點為8.點C在y軸的負半軸，a=2班.點

戶是該拋物線上的動點，且位于對稱軸的右側(cè).

(1)寫出點48的坐標：/(4,0),B(2,4)：

(2)若點尸在第四象限，記四邊形必仍的面積為5,設點戶的橫坐標為私

①求S關于加的函數(shù)表達式.

②在①的條件下，連結(jié)。C,滿足5△的=26△相°,求四邊形如48的面積.

(3)設PO,PC分別與對稱軸交于點D,E,且DC平濟NODE,求點P的坐

解：(1)y=-x+4x-"?,

令y=0,則x=0或4,故點/(4,0),

函數(shù)的對稱軸為：x=2,則點8(2,4),

故答案為：4,0,2,4；

(2)①S=^X)(丹-分)X4X(4+/-4m)=2席-8叫

②OAX(-yp)=2S^P0C=OCXxP,

即：%=-

貝lj-/+4/77——加,

解得：勿=0或4+J^(舍去0),

故勿=4+血，

貝ljS=2^-8/8=12+8正；

(3)方法一：

過點C作CHLBE干點、H,過點。作CG±。于點G,

■:DC平方乙ODE,則CG=CH=2,而a？=2%也

故三角形GG0是等腰直角三角形，

所以兩種情況，直線”是一三象限角平分線或者是二四象限角平分線,

直線配的表達式為：y=±x…②，

聯(lián)立①②并解得：x=5或3,

故點戶的坐標為：（5,-5）或（3,3）.

方法二：

,/〃C平分NODE,貝I]CG=CH=2,

設點戶的坐標為：（加，-m+4m）,

則直線8的表達式為：/=（4-/77）x,

則直線%的表達式為：y=-^-x-2近,

m-4

聯(lián)立華、CG的函數(shù)表達式并解得：點磯空駕也，工返”4）2],

（m-4）2+lg-4產(chǎn)+1

3

=第=4,

(m-4)*+1

解得：〃=5或3,

故點戶的坐標為：（5,-5）或（3,3）.

10.已知：拋物線/y=ax+bx^c（a>0）與x軸交于點（-1-0）,（2,0）.

（1）6、c分別用含a的式子表示為：b=-a,c=-2a；

（2）將拋物線C向左平移方個單位，得到拋物線G.直線（A>0）與G交于4

8兩點（/在8左側(cè)）.。是拋物線G上一點，且在直線下方.作比〃y軸交線段

于￡,過4、8兩點分別作反的垂線/限BN,垂足分別為〃N.

①當。點在y軸上時，試說明：/伊酬為定值.

②已知當點戶(d加時，恰有s△.=s△胸，求當時，A的取值范圍.

解：(1)拋物線的表達式為：(/1)(x-2)=a(f->-2),

故6=-石，c=-2a,

故答案為：-石，-2a；

(2)設：點48的坐標分別為：(X,乂)、(x2,y2),

①由(1)知，b=-a,c=-2a,

拋物線&的表達式為：y=a/-ax-2a=a(x-《),-學，

24

2

則拋物線C2的表達式為：y=ax-粵，

4

聯(lián)立直線與拋物線G的表達式并整理得：a"-〃x-畢=0,

4

1o

貝I]|xx\=一'一=AM、BN、

]24

故力仍融為定值；

②?S△制=S△制，

:?AM=BN、a-xy=x2-則毛+*2=22

?.._k

■X,+%----,

a

-k_Q

■■--幺3,

a

k=2a,

丫1WaW3,

...2WA<18.

11.如圖，，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+6/c的圖象與x軸交于A8兩點，4點

在原點的左側(cè)，拋物線的對稱軸x=1,與y軸交于C(0,-3)點，點?是直線外下方

的拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式及48點的坐標.

(2)連接戶0、PC,并把沿比翻折，得到四邊形/W7'C,那么是否存在點兒使

四邊形小下C為菱形？若存在，請求出此時點戶的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)當點尸運動到什么位置時，四邊形/夕外的面積最大？求出此時戶點的坐標和四邊

形/80C的最大面積.

備用圖

解：(D函數(shù)的對稱軸為：x=-y=1,解得：6=-2,

故拋物線的表達式為：y=x2-2x-3,

令y=0,則x=-1或3,

故點A8的坐標分別為：(-1,0)、(3,0)；

(2)存在，理由:

如圖1,四邊形"0'C為菱形，則4--00=-±

22

即y^x-2x-3=

解得：x=1土年(舍去負值),

故點戶(1+叵，

22

(3)過點尸作加〃y軸交8c于點P,

由點8、C的坐標得，8c的表達式為：y=x-3,

設點戶(x,X2-2X-3),則點〃(x,x-3),

圖2

/IbPC的面積S=SAAB審SMBCP

=—XABXoa—xPHXOB

22

=—X4X3+—X3X(X-3-X2+2A+3)

22

故S有最大值為.此時點『母尚).

12.在平面直角坐標系中，拋物線y=-x?+6/c經(jīng)過點48,0,已知/(-1,0),C(0,

3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,戶為線段8c上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點〃，是否存

在這樣的『點，使線段外的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明

理由；

(3)如圖2,拋物線的頂點為￡,血x軸于點尸，〃是直線配上一動點，M(m,0)是

x軸一個動點，請直接寫出即於［照的最小值以及此時點限〃的坐標，直接寫出結(jié)果

不必說明理由.

將點4的坐標代入拋物線表達式：尸-寸+6/3并解得：6=2,

拋物線的表達式為：y=-x?+2/3；

(2)存在，理由：

令y=0,貝ljx=-1或3,故點6(3,0),

將點8、C的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線8c的表達式為：y=-/3,

設點。(x,-x+2^3),則點戶(x,-/3),

貝I］外=(-x?+2/3)-(-jct-3)=-x+3x,

當時,即最大值為：4；

24

(3)過點8作傾斜角為30°的直線BH,過點。作CHLBH交千點H,紡交對稱軸于點N,

交x軸于點肌則點限〃為所求，

直線8〃表達式中的火值為丹1，則直線C"的表達式為：y=-次/3,

當x=1時，y=3-弧,當y=0時，x=?,

故點水"的坐標分別為：(1,3-f)、(V3,0),

GN^MN^—MB的最小值=掰=C雌FH=海日.

22

13.如圖，拋物線"=二(/2)(x-2%)交x軸于點AB,(4左8右)，與"軸交于點C,

4

把射線BC沿x軸翻折交拋物線于點D,交y軸于點尸，點〃縱坐標為6.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點戶為第四象限拋物線上一點，連接陽、PC,設點尸橫坐標為"△陽C的面積為

S,求S與加的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，外交y軸于點F,交外于點〃過點戶作y軸平行線交8久BC

于點G、H,若△叱與△的G〃面積的和為6,求△戶&?的面積.

圖1圖2圖3

解得x=-2或x=2A

：.0A=2,0B=2k

令x=0,貝ljy=-k,OC=k

.".tanNOBC=tanZOBD=—,

2

:點?？v坐標為6,

：.DS=6,5s=12,

.-.05=12-2/f

二點。坐標為(2k-12,6),代入解析式得：

6=—(2%-12+2)(2A-12-2A)

4

解得k=4

二拋物線解析式為J/=J(/2)(x-8)或尸9?-三x-4；

442

(2)過點『作以小仇?于〃，依_Lx軸于尺PR交BC千K

令x=0,y=-4,

：.0C=4

C(0,-4),由(1)得8(8,0)

先求出直線6c解析式y(tǒng)=^x-4,

PK=PR-RK

點PCm,—m-—m-4)

42

PR=_q_序_~m_4),

圖2

K(/77,OT-4)

RK=二加4

2

PK=-(工療--m-4)(—

422

_12

--x+2Oir,

4

NNPK=40BC

.,.cosZOBG=cosNNPK=主區(qū)PN=PKcosZNPK=-屆+巫n

5105

BC=4娓S*BCX/W=yX4^/5(-甯.+^^而

S=-m+8/77；

（3）在（1）圖基礎上，過點戶作HUOS,

圖3

12

tanN加厘=6-(甲05MG=也工乓

PQ—(X-----4PL

即10-m二EL.旦10nrm”

4m4

可知點尸(0,4)

2

21Um

EF=FL-EL=A-(―m-m-4)-~.g_￡F=8-m,

424

求出直線8尸解析式為y=-34,

點G縱坐標為-4,

點〃縱坐標為"m-4,

GH=(——/7/t-4,)-(—m-4,)=8-/77,

22

■△跖17面積與△眼G//面積和為6

2

解得/77=2或勿=6

S=—m+Sm

???S=12.

14.如圖，拋物線y=ax2-與x軸相交于點力(-2,0)、8(4,0),與y軸相交于點

C,連接/C,BG,以線段8c為直徑作0M過點C作直線宏〃與拋物線和0〃分別交

于點優(yōu)點。在勿下方的拋物線上運動.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當△小應是以如為底邊的等腰三角形時，求點。的坐標；

(3)當四邊形4C陽的面積最大時，求點戶的坐標并求出最大值.

解：(1)拋物線的表達式為：y=a(/2)(x-4)=a(x2-2x-8),

BP-2a=-解得：a=二，

48

故拋物線的表達式為：尸當2-船-3；

84

(2)點C(0,-3),函數(shù)對稱軸為：x=1,則點〃(2,-3),

點￡(4,-3),貝【J跳的中垂線為：x=~(2+4)=3,

當x=3時，y——x--x-3=--^±-,

848

故點戶(3,-學)；

O

(3)由點8、C的坐標可得，直線8c的表達式為：y=^-x-3,

故點尸作V軸的平行線交外于點H,

設點P(x,三x?-3),則點//(x,gx-3)；

844

111Q

四邊形ACPB的面積=6△枚+5△陟=4-X3X6+4XHPX0B=9+々X3X(4%-3-