2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：矩形 專項訓(xùn)練（解析版）

模塊五四邊形

第二講矩形

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1:矩形的性質(zhì)

1.邊：對邊平行且相等；

2.角：四個角都是直角；

3.對角線：對角線相等且互相平分；

4.對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有兩條對稱軸.（對稱軸為矩形對邊中點所在

的直線）

知識點2:矩形的判定

1,定義法：有一個角是直角的平行四邊形;

2,對角線相等的平行四邊形是矩形；

3,有三個角都是90°的四邊形是矩形.

知識點3:四邊形、平行四邊形、矩形之間的關(guān)系

說明：矩形面積=長X寬=2S少BD=4SA4OB?（如圖）

B

直擊中考勝券在握

1.（2020?湖南懷化中考）在矩形N3C。中，AC、2。相交于點。，若A/02的面積為2,則矩形N8CD的

面積為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】

2

根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=OD,推出SAADO=S“BCO=$心。=^.ABO=，即可求出矩形ABCD的面積.

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形，對角線/C、80相交于點。，

;.AC=BD,JLOA=OB=OC=OD,

.c—c—c—c—7

,?—a4BCO—°ACDO一口“BO一乙，

.??矩形ABCD的面積為4s“加=8,

故選：C.

【點睛】

此題考查矩形的性質(zhì)：矩形的對角線相等，且互相平分，由此可以將矩形的；面積四等分，由此可以解決

問題，熟記矩形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?湖北荊州中考）如圖，矩形。N8C的邊OA,OC分別在x軸、V軸的正半軸上，點。在OA的延

長線上.若42,0）,￡＞（4,0）,以。為圓心、0。長為半徑的弧經(jīng)過點8,交了軸正半軸于點E,連接。E,

BE、則/BE。的度數(shù)是（）

A.15°B,22.5°C.30°D.45°

【答案】C

【分析】

連接08,由題意易得48OD=60。，然后根據(jù)圓周角定理可進行求解.

【詳解】

解：連接08,如圖所示：

?.?4(2,0),0(4,0),

.?.OA=2,OB=OE=OD=4,

：.OA=-OB,

2

???四邊形。/8C是矩形，

.?./OAB=90。，

/.ZOBA=30°f

.?./BOD=90°-AOBA=60°,

???/BED=L/BOD=30。；

2

故選c.

【點睛】

本題主要考查圓周角定理、矩形的性質(zhì)及含30。的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理、矩形的性質(zhì)及

含30。的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?遂寧中考）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,點E為8c上一點，把沿DE翻折，

點C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是（）

【答案】D

【分析】

設(shè)CE=x,則BE=3-x由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=5,所以AF=4,BF=AB-AF=5-4=1,在RtZkBEF中,

由勾股定理得(3-x)2+#=x2,解得x的值即可.

【詳解】

解：設(shè)CE=x,則BE=3-x,

由折疊性質(zhì)可知，

EF=CE=x,DF=CD=AB=5

在RtZkDAF中，AD=3,DF=5,

,52-32=4,

.-.BF=AB-AF=5-4=1,

在RtABEF中，BE2+BF2=EF2,

即(3-X)2+#=X2,

解得X=g,

故選：D.

【點睛】

本題考查了與矩形有關(guān)的折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進行兩次折疊，得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,則AB的

長度為（）

,□。丁

EB

A.叵B,

【答案】A

【分析】

先判斷出NADE=45。，進而判斷出利用勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：由折疊補全圖形如圖所示，

???四邊形A8C。是矩形，

〃=90°,AD=BC=1,CD=AB,

由第一次折疊得：〃?！甓??乙ADC=45°,

???乙ZED二44DE=45°,

：.AE=AD=1,

在RtZMDE中，根據(jù)勾股定理得,DE=42AD=42，

由第二次折疊可知，DC=DE

AB—\/2

故選：A.

EDEB

【點睛】

本題考查了圖形的折疊和勾股定理，搞清楚折疊中線段的數(shù)量關(guān)系是解決此類題的關(guān)鍵.

5.如圖點P是矩形/BCD的對角線NC上一點，過點P作好//8C,分別交CD于點E、F,連接

PB、PD,若NE=1,尸尸=8,則圖中陰影部分的面積為（）

AD

BC

A.5B.6C.8D.9

【答案】C

【分析】

由矩形的性質(zhì)可證明SAPEB-SAPFD,即可求解.

【詳解】

作PM1AD于M,交BC于N.

則有四邊形AEPM,四邊形DFPM,四邊形CFPN,四邊形BEPN都是矩形,

===

,■,SAADCSAABC>SAAMPSAAEP>SAPBE=SAPBN，SAPFD=SAPDM，SAPFCSAPCN，

■,,SADFP=SAPBE=~xlx8=4,

???S陰=4+4=8,

故選：c.

【點睛】

此題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是證明S&EB=SSFD.

6.如圖所示，在矩形ABCD中，E為AD上一點，EF1CE交AB于點F,若DE=2,矩形ABCD的周長為16,

且CE=EF,求AE的長（）

E

D

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明aAEF三可得4E=CD,由矩形的周長為16,可得2AE+DE+CD)

=16,可求AE的長度.

【詳解】

解：???四邊形ABCD為矩形，

???44=4。=90°,

-EF1CE,

?,ZCEF=90°,

-.Z.CED+Z.AEF=90°,

???乙CED+乙DCE=90°,

?ZDCE=〃\EF,

(Z.A=Z-D

^AAEF和△DCE中，］^AEF=乙DCE,

IEF=CE

：.AAEF^ADCE(/US),

：.AE=DC,

由題意可知：2(AE+DE+CD)=16,DE=2,

-.2AE=6,

.,.AE=3；

故選：B.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的

判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

7.(2020?四川省達州中考)如圖，ZBOD=45°,BO=DO,點A在上，四邊形N8CD是矩形，連接

AC.2。交于點E,連接OE交/。于點F.下列4個判斷：①OE平分NBOD；②OF=BD；③DF=^AF;

④若點G是線段。尸的中點，則A/EG為等腰直角三角形.正確判斷的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

①，先說明aOBD是等腰三角形，再由矩形的性質(zhì)可得DE=BE,最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②

證明△OFA三/XOBD即可判斷；③過F作FH_LAD,垂足為H,然后根據(jù)角平分線定理可得FH=FA,再求得NHDF=45。,

最后用三角函數(shù)即可判定；④連接AG,然后證明AOGA三4ADE,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角的和差即可

判斷.

【詳解】

解：①?.?BO=DO

??.△OBD是等腰三角形

???四邊形N8Q）是矩形

.-.DE=BE=yBD,DA1OB

;.OE平分4B0D,OE1BD故①正確；

（2）vOElBD,DA1OB,即NDAO=NDAB

.?ZEDF+NDFE=9O°,NAOF+NAFO=90°

■,-ZEDF=ZAOF

???DA1OB,ZBOD=45°

.?.OA=AD

在△OFA和aOBD中

ZEDF=ZAOF,OA=AD,ZDAO=ZDAB

/.AOFA^ADAB

???OF=BD,即②正確;

③過F作FH1OD,垂足為H,

?；OE平分/BOD,DA1OB

???FH=AF

vABOD=45°,DA1OB

.-.ZHDF=45°

.-.sinzHDF=—=—=—=;故③正確;

2FDFD

④由②得NEDFNAOF,

???G為OF中點

.-.OG=yOF

vDE=BE=yBD,OF=BD

/.OG=DE

在△OGAffAAED中

OG=DEZZEDF=ZAOF,AD=OA

.-.△OGA=AAED

/.OG=EF,ZGAO=ZDAE

.?■AGAE是等腰三角形

???DA10B

.-.ZOAG+ZDAG=90°

.?.ZDAE+ZDAG=90°,即NGAE=90°

??.△GAE是等腰直角三角形，故④正確.

故答案為A.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及解直

角三角形等知識點，考查知識點較多，故靈活應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

8.（2021?牡丹江中考真題）如圖，矩形A8CD的邊8上有一點E,NDAE=22.5。，EFLAB,垂足為F,將

繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)，使得點A的對應(yīng)點M落在EF上，點E恰好落在點B處，連接BE.下列結(jié)論:

?BM1AE；②四邊形EFBC是正方形；（3）ZEB/W=30°；@SmBCEM:SABFM=（272+1）:1.其中結(jié)論正確

的序號是（）

B

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

【答案】C

【分析】

延長BM交AE于N,連接AM,由垂直的定義可得NAFE=NEFB=90。,根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余得Z_EAF

67.5°,從而有4EAF+NFBM=90。，得到①正確；根據(jù)三個角是直角可判斷四邊形EFBC是正方形，再由

EF=BF可知是正方形，故②正確，計算出NE8M=22.5。得③錯誤；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知

AM=42FM，推導(dǎo)得出=，仄而EF=EM+FM=2+，F(xiàn)M,得到

'△EFB'BFM=（+再由S四邊形BCEF=?S4EFB,得S四邊形^BFM=（2亞+1）:1,判斷出④正確.

【詳解】

解：如圖，延長交AE于N,連接4W,

■：EF1AB,

；."FE=4EFB=9Q°,

???△D/AE=22.5°,

."EAF=90°—"AE=67.5°,

???將△八EF繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)得

；.MF=AF,FB=FE,乙FBM=UEF=^DAE=225°,

：.^EAF+/.FBM=90°f

."/VS=90°,

???BM14E,故①正確；

???四邊形成CD是矩形，

.28C=NC=90°,

??ZEF3=90°,

???四邊形EFBC是矩形，

又???EF=8F,

??.矩形EFBC是正方形，故②正確；

??2EBF=45°,

ZEBM=ZEBF-ZFBM=45°-22.5°=22.5°，

故③錯誤；

=90°,AF=FM,

..Z/VMF=45。，AM=42FM,

ZEAM=67.5°-45°=22.5°,

ZAEM=ZMAE,

?-■EM=AM=y[2FM，

；.EF=EM+FM=,

(V2+1)：1,

SAEFB：S、BFM

又???四邊形8CEF是正方形,

：.S四邊形BCEF=2SMFB,

?'1S四邊形BCEM：S&BFM=（也+1）：1

故④正確，

，正確的是：①②④，

故選：C.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理和正方形的判定與性質(zhì)，掌握常用輔助線的添加方法，靈

活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?黑龍江省中考）如圖，在"BC中，D,E,F分別是A8,BC和AC邊的中點，請?zhí)砑右粋€條件

,使四邊形BEFD為矩形.（填一個即可）

【答案】AB1BC

【分析】

證DF、EF都是△ABC的中位線，得。F||8C,EF\\AB,則四邊形8EFD為平行四邊形，當A8_LBC時，48=90。,

即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：???￡）,E,F分別是AB,8c和AC邊的中點，

；.DF、EF都是△A8C的中位線，

■.DFWBC,EF\\AB,

???四邊形BEFD為平行四邊形，

當A818C時，Z8=9O°,

二平行四邊形BEF。為矩形，

故答案為：AB1BC.

【點睛】

本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理等知識；熟練掌握三角形中位線

定理，證明四邊形BEFD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?四川內(nèi)江中考）如圖，矩形48C。中，AB=6,BC=8,對角線2D的垂直平分線E尸交4D于

點￡、交BC于點F,則線段EF的長為

【答案】y

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出B。，證明△BOFs/iBCD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出EF即

可.

【詳解】

解：如圖:

ED

/O\

5LZ-——-^c

???四邊形N8CD是矩形，

.?.N/=90。，又AB=6,AD=BC=8,

BD=yjAB2+AD2=10，

???EF是的垂直平分線，

OB=OD=5,ZBOF=90°,又/C=90。,

\BOF^ABCD,

.OF_BO

"~CD~~BC'

.OF5

解得，OF=?,

4

???四邊形4BCD是矩形，

ADUBC,ZA=90°f

/EDO=ZFBO,

???EF是BD的垂直平分線，

BO=DO,EF1BD,

在ADEO和ABFO中，

/EDO=ZFBO

<BO=DO,

ZEOD=/FOB

/.\DEO=MFO(ASA),

OE=OF,

:.EF=2OF=—.

2

故答案為：

2

【點睛】

本題考查的是矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的四個角是直角、對邊

相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點。，AE平分/8AD交BC于點E,連接。E,若0E18C,0E

=1,則AC的長為.

【答案】26

【分析】

由矩形的性質(zhì)得出OB=OC,由等腰三角形的性質(zhì)得出BE=CE,證出?！晔恰鰽8C的中位線，得出A8=2OE=

2,證出aABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=2,BC=2BE=4,再由勾股定理即可得出答案.

【詳解】

解：???四邊形ABCD是矩形，

.ZBC=NBAD=90°,OA=OC,OB=OD,AC=BD,

??.08=0C,

vOElBC,

；.BE=CE,

■■OE是的中位線，

：.AB=2OE=2,

■：AE平分N8AD,

.,ZBAE=45°,

.?.△A8E是等腰直角三角形，

：.BE=AB=2,

.-.BC=2B￡=4,

■■AC=^AB2+BC2=VF+47=275；

故答案為：2港.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?遼寧鞍山中考）如圖，矩形A8CD中，AB=3,對角線AC,BD交于點O,DHVAC,垂足為點

H,若NADH=2NCDH,則AD的長為.

【答案】3百

【分析】

由矩形的性質(zhì)得8==3,AADC=9Q°,求出/CD〃=30。，利用30。角的直角三角形的性質(zhì)求出CH

的長度，再利用勾股定理求出。，的長度，根據(jù)=60。求出ND/C=30。，然后由含30。角的直角三角形

的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：???四邊形/BCD是矩形，

：.CD=AB=3,ZADC=90°,

???ZADH=2ZCDH,

:.NCDH=3。。,ZADH=60°,

13

：.CH=-CD=-

22

???DHYAC,

ZDHA=90°,

ZDAC=90°-60°=30°f

AD=2DH=373，

故答案為：3后.

【點睛】

本題考查的是矩形的性質(zhì)以及直角三角形30。的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形30。的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

4

13.（2021?湖南邵陽中考）如圖，在矩形中，DEVAC,垂足為點￡,若sin//O￡=《，4）=4,

則43的長為.

【答案】3

【分析】

在RtA4DE中,由正弦定義解得4E=不，再由勾股定理解得DE的長，根據(jù)同角的余角相等，得到

sinZADE=sinZECD,最后根據(jù)正弦定義解得CD的長即可解題.

【詳解】

解：在Rt&4DE中,

./彳八廠AE4

smNADE==—

AD5

AD=4

16

..A.E=—

'：DELAC

/ADE+ZEDC=ZEDC+/ECD=90°

ZADE=/ECD

DF4

sinZADE=sinNECD=——=-

CD5

:.CD=DE-=3

4

在矩形Z5CQ中，

AB=CD=3

故答案為：3.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、正弦、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

14.（2020?四川瀘州中考）如圖，在矩形4BCD中，瓦尸分別為邊工。的中點，BF與EC,ED分別

交于點M,N.已知42=4,BC=6,則九W的長為.

4

【答案】j

【分析】

過點E作EH||AD,交點BF于點G,交CD于點H,證明△BEG，Z\BAF,求出EG的長，再證明△EGNs/\DFN,

AEGM-ACBM,得出2NG=NF,4MG=MB,再求出BG=GF=gBF=g,從而求出NG和MG,可得MN的

長.

【詳解】

解：過點E作EH||AD,交點BF于點G,交CD于點H,

由題意可知：EHHBC,

??,ABEG^ABAF,

BEEGBG

?；AB=4,BC=6,點E為AB中點，F(xiàn)為AD中點，

/.BE=2,AF=3,

2EG

一=--,

43

3

?,.EG=—,

2

vEHUBC,

.?.△EGN?△DFN,AEGM-ACBM,

EGNGENEGMGEM

DF~NF—DN'BCMBCM'

33

2=空，2MG,

NF~6~^B

NG1MG1

即Bn——=-，——=一，

NF2MB4

：.2NG=NF,4MG=MB,

???E為AB中點，EH||BC,

???G為BF中點，

.-.BG=GF=-BF=-yjAB2+AF2=-,

222

.'.NG=—GF=—,MG=-BG=:，

3652

4

.?.MN=NG+MG=一,

3

4

故答案為：

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線EH,得到相似三角形.

15.（2020?貴州黔東南中考）如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=&,E為CD的中點，連接AE、BD交于

點P,過點P作PCLL8C于點Q,則PQ=

4

【答案】|

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)得到ABIICD,AB^CD,AD^BC,ABAD90°,根據(jù)線段中點的定義得到。。8=：AB,

根據(jù)相似三角形的判定證明△ABP-ZiEDP,再利用相識三角形的性質(zhì)和判定即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：???四邊形八BCD是矩形，

MB||CD,AB=CD,AD=BCf/.BAD=9Q0,

???E為CD的中點，

：.DE=^CD=^AB,

.?.△ABP?MDP,

AB_PB

,瓦—訪‘

2PB

,,?_______，

1PD

PB_2

BD3

vPQlBC,

??.PQICD,

???△BPQsADBC,

PQ_BP_2

.?五—訪一H’

???CD=2,

4

???PQ=一,

3

4

故答案為：—.

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，運用矩形的性質(zhì)和相似三角形判定和性質(zhì)

2PB

證明△ZBPSAEDP得至！J丁=而是解題的關(guān)鍵.

16.（2021,湖南株洲中考）如圖所示，線段為等腰25。的底邊，矩形4切￡的對角線48與交于點

O,若。。=2,貝!）4C=.

A

BC

【答案】4

【分析】

先求出矩形的對角線的長，得到AB的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值.

【詳解】

解：?.?矩形ADBE的對角線AB與DE交于點0,

■■.AB=DE,OE=OD,

：.AB=DE=2OD=4,

???線段BC為等腰WBC的底邊，

.-.AC=AB=4,

故答案為：4.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)和對等腰三角形概念的理解，解決本題的關(guān)鍵是理解相關(guān)概念與性質(zhì)，能靈活運用

題干信息，將它們用數(shù)學(xué)符號進行表示，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生的幾何語言表述的能力以及基本功.

17.Q021?浙江杭州中考）如圖是一張矩形紙片ABCD,點M是對角線/C的中點，點E在8c邊上，把ADCE

沿直線折疊，使點C落在對角線NC上的點尸處，連接）EF.^MF=AB,貝!J4D4F=

度.

【答案】18

【分析】

連接MD,設(shè)NDAF=x,利用折疊與等腰三角形的性質(zhì)，用x的代數(shù)式表示出NADC=90。，列出方程解方程即

可.

【詳解】

連接/W。，設(shè)NDAF=x

根據(jù)矩形的基本性質(zhì)可知AM=MD,AD\\BC,N8CD=〃DC=90°

Z.MDA=Z.DAF=x,Z.ACB=Z.DAC=x

，乙DMF=2x

vADCE折疊得到

；?DF=CD=AB,DE1FC,乙FDE二乙CDE

又MF=AB

???MF=DF

:?乙MDF=2x

???乙BCD=^ACB+乙ACD=90°,乙EDC+乙FCD=90°

^Z-CDE=ZACD=x

???乙FDE=乙CDE二x

???UDC=/LADM+乙MDF+乙FDE+乙CDE=x+2x+x+x=5x=90°

.-.x=18°

故NDAF=18°

故答案為18.

【點睛】

本題考查了矩形的折疊問題，能夠做出合適的輔助線用NMF表示出〃DC是解題關(guān)鍵.

18.（2021?浙江寧波中考）如圖，在矩形48。中，點E在邊上，△3EC與AEEC關(guān)于直線EC對稱,

點B的對稱點F在邊4D上，G為C。中點，連結(jié)8G分別與CE,C廳交于/W,N兩點，若BM=BE,

MG=\,則BN的長為,sin/NFE的值為.

D

E

【答案】2V2-1

【分析】

由ABEC與AFEC關(guān)于直線EC對稱，矩形ABCD,證明ABECAFEC,再證明ABCN知CFD,可得

BN=CD,再求解CD=2,即可得2N的長；先證明尸Es^CBG,可得：—,設(shè)瓦1/=無，則

CGBG

BE=BM=FE=x,BG=x+T,AE=2-x,再列方程，求解兀即可得到答案.

【詳解】

解：=△5￡C與一￡0關(guān)于直線EC對稱，矩形4BCD,

.hBECaFEC,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

.../EBC=ZEFC=90°,/BEC=ZFEC,BE=FE,BC=FC,

?「BM=BE,

ZBEM=/BME,

ZFEC=/BME,

EFUMN,

/BNC=ZEFC=90。,

ZBNC=ZFDC=90°,

???/BCD=90°,

NNBC+ZBCN=90°=ZBCN+/DCF,

/NBC=/DCF,

:公BCNRCFD,

:.BN=CD,

?.?矩形4HCR

AB//CD,AD//BC,

/BEM=/GCM,

?/ZBEM=ZBME=/CMG,MG=1,G為CD的中點,

，ZGMC=ZGCM,

：.CG=MG=\,CD=2,

BN=2.

如圖，?：BM=BE=FE,MNIIEF,四邊形45C。都是矩形,

/.AB=CD,AD//BC,ZA=/BCG=90°,ZAEF=/ABG,

???ZAFE+ZAEF=90°=ZABG+NCBG,

ZAFE=/CBG,

:AAFESACBG,

.AE_EF

'~CG~~BG"

設(shè)=則BE=BM=FE=x,BG=x+l,AE=2—x,

.2-x_x

''~r~7+i9

解得：x=±>/2,

經(jīng)檢驗：x=土也是原方程的根，但x=_&不合題意，舍去,

AE=2-&EF=&

sinZAFE=—

EF

故答案為:2,V2-1.

【點睛】

本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，

分式方程的解法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

19.（2021?四川內(nèi)江中考）如圖，矩形AB=\,BC=2,點A在x軸正半軸上，點。在了軸正半軸

上.當點A在x軸上運動時，點。也隨之在＞軸上運動，在這個運動過程中，點c到原點。的最大距離為

【答案】V2+1##

【分析】

取的中點”,連接，OH,由勾股定理可求CH的長，由直角三角形的性質(zhì)可求的長，由

三角形的三邊可求解.

【詳解】

如圖，取40的中點“，連接CH,OH,

?.,矩形/BCD,AB=1,BC=2,

CD=AB=1,AD=BC=2,

??,點//是NO的中點，

4H=DH=1,

：.CH=y/DH2+CD2=Vl+1=A/2，

■.■ZAOD=9Q°,點4是/。的中點,

:.OH=-AD=\,

2

在KOCH中，CO<OH+CH,

當點在0c上時，CO=OH+CH,

，co的最大值為OH+=e+1,

故答案為：V2+1.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的三邊形關(guān)系，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構(gòu)

造三角形是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，有一張矩形紙條A8CD,AB=5cm,BC=2cm,點M,N分別在邊A8,CD上，CN=lcm.現(xiàn)將

四邊形BCMW沿MN折疊，使點B,C分別落在點P,C'±.當點P恰好落在邊CD上時，線段B/W的長為

cm；在點/W從點A運動到點B的過程中，若邊MB，與邊CD交于點E,則點E相應(yīng)運動的路徑長為

【答案】V5V5-|

【分析】

第一個問題證明=求出NB即可解決問題.第二個問題，探究點E的運動軌跡，尋找特殊位

置解決問題即可.

【詳解】

如圖1中，

圖1

?.?四邊形A8CD是矩形，

.-.AB\\CD,

?,?Z_l=z3,

由翻折的性質(zhì)可知：Z1=Z2,BM=MB',

???Z_2=Z_3,

■-NB'=yjB'C'2+NC'2=V22+l2=V5(cm),

：.BM=NB'=45(cm).

如圖2中，當點M與A重合時，AE=EN,設(shè)AE=E/V=xcm,

在RtAADE中，則有X2=22+(4-x)2,解得x=g,

53、

；.DE=4——=—(cm),

22

如圖3中，當點M運動到MB，1陽時，DP的值最大，DEf=5-1-2=2(cm),

如圖4中，當點M運動到點&落在CD時，。￡(即。E")=5-1-75=(4-V5)Cem),

二點￡■的運動軌跡￡~>￡'玲￡",運動路徑=￡￡'+￡'8，=2-g+2-(4-6')=(V5)(cm).

22

圖2

【點睛】

本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決

問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

21.Q021?江蘇省鹽城中考)如圖，在矩形/8Q)中，AB=3,AD=4,E、尸分別是邊2C、CD上一點，

EFLAE,將△￡€?尸沿E尸翻折得△￡(?’〃，連接/C',當BE=時，A/EC'是以/E為腰的等腰三

角形.

【答案_】"7或(4

【分析】

對"EC'是以NE為腰的等腰三角形分類討論，當NE=EC'時，設(shè)BE=X,可得到￡C=4-x,再根據(jù)折疊

可得至UEC=￡C=4-x,然后在RtaABE中利用勾股定理列方程計算即可；當ZE=/C'時，過A作AH垂直

于EC'于點H,然后根據(jù)折疊可得到/C'EQNEEC,在結(jié)合EFVAE,利用互余性質(zhì)可得到NBEA=ZAEH,

然后證得aABE三進而得到8￡=旌，然后再利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到砒=CX,然后在

14

根據(jù)數(shù)量關(guān)系得到BE=-BC=~.

【詳解】

解：當NE=EC'時，設(shè)=貝i]EC=4-x,

???AECF沿EF翻折得AEC'F,

：.EC=EC'=4-x,

在RtAABE中由勾股定理可得：AE2=BE2+AB2即(4-%)2=x2+32,

7

解得：x=?；

O

當時，如圖所示，過八作八〃垂直于￡C'于點H,

-AHIEC,AE=AC,

??.EH=CH,

???EFLAE,

??.ZCEF+ZAEC=90°,/BEA+ZFEC=90°

???/\ECF沿EF翻折得AECF,

???NC'EF=NFEC,

???/BEA=/AEH,

AB二AAHE

在△八BE和△AHE中vZ_AEB=AAEH,

AE=AE

???△ABEzMHE（AAS）,

BE=HE,

BE=HE=HC,

：.BE=-EC

2

???EC=EC,

：.BE=-EC,

2

14

：.BE=-BC=~,

33

74

綜上所述，BE）或三,

83

74

故答案為：7或工

o3

【點睛】

本題主要考查等腰三角形性質(zhì)，勾股定理和折疊性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論等腰三角形的腰，然后結(jié)合

勾股定理計算即可.

22.（2021?湖南長沙?中考真題）如圖，口/3CD的對角線/C,AD相交于點。，AO/2是等邊三角形，

AB=4.

AD

-----------------^c

(1)求證：口ABCD是矩形；

(2)求40的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)4G.

【分析】

(1)先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得。/再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得

OA=OB,從而可得NC=3。，然后根據(jù)矩形的判定即可得證；

(2)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得。3=/8=4,從而可得8。=8,再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得48/。=90。,

然后在中，利用勾股定理即可得.

【詳解】

(1)證明：???四邊形/5CD是平行四邊形，

0A=OC=-AC,OB=0D=-BD,

22

是等邊三角形，

.e.OA=OB,

:.AC=BD,

.上45。。是矩形；

(2)△048是等邊三角形，AB-4,

:.OB=AB=4,

BD=2OB=8,

由(1)已證：口/BCD是矩形，

4/0=90。,

則在RtAABD中，/。=^BD2-AB2=782-42=4。.

【點睛】

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握矩形的判定與

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

23.(2021?浙江省金華中考)已知：如圖，矩形/BCD的對角線/C,相交于點。,

NBOC=12Q°,AB=2.

(1)求矩形對角線的長.

(2)過。作OEJ./D于點E,連結(jié)BE.記N4BE=a,求tana的值.

【答案】(1)4；(2)B

2

【分析】

(1)根據(jù)矩形對角線的性質(zhì)，得出△AB。是等腰三角形，且NBOC=120。，即NAOB=60。，則aAB。為等邊三

角形，即可求得對角線的長；

(2)首先根據(jù)勾股定理求出AD,再由矩形的對角線的性質(zhì)得出OA=。。,且OE1A。，貝在R"BE

中即可求得tana.

【詳解】

解：(1),?,四邊形48。是矩形

AAC=BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,

22

OA=OC=OB=OD

■：ABOC=120。,;.NAOB=60°

.4/05是等邊三角形，

OB=AB=2,

所以4C=8O=2O3=4.

故答案為:4.

(2)在矩形48co中，/BAD=90。.

AD=dBD3-AB?=A/16-4=273

由(1)得，OA=OD.

又?.?0￡_L4D

AE=—AD=V3

2

在瓦中，tan6/=—=—.

AB2

故答案為：也.

2

【點睛】

本題考查了矩形的對角線性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的三線合一以及在直角三角形中求銳角正

切的知識點，靈活應(yīng)用矩形對角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.(2021?北京市朝陽區(qū)一模)如圖，在矩形中，對角線AC,B。相交于點。，過點C作

CE//BD,交ND的延長線于點E.

(1)求證：ZACD=NECD；

(2)連接OE,若AB=2,tan^ACD=2,求OE的長.

【答案】(1)見解析；(2)而

【分析】

(1)先證明四邊形BCED是平行四邊形，得到BD=CE=AC,再利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；

(2)解過點。作。于點F,求得AB=CD=2,AD=BC=DE=4,再求得。尸=1,EF=6,利用勾股定理即

可求解.

【詳解】

(1)證明：???四邊形/BCD是矩形，

：.AC=BD,Z/WC=90。，BC//DE,

■■CE//BD,

.??四邊形8CED是平行四邊形，

BD=CE,

：.AC=CE,

：.ZACD=ZECD；

（2）解：過點。作OP，/。于點F,則F為4D的中點.

,??四邊形/BCD是矩形，對角線AC,BD相交于點。，且4B=2,tan^ACD=2,

AD-

.-.AB=CD=2,AD=BC,tan必CD=—=2,OB=OD,

CD

??.AD=4,

由（1）知四邊形BCEO是平行四邊形，

:.AD=BC=DE=4,

■：OB=OD,OFA.AD,

OF=-AB=1,EF=DE+-AD=6,

22

OE=yJOF2+EF2=歷.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記各性質(zhì)并求出四邊形BCED

是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

25.（2021?浙江嘉興中考）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進一步開展探究活動：將一個矩形

ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）,得到矩形O

［探究1］如圖1,當a=90。時，點。恰好在03延長線上.若42=1,求BC的長.

DAB'

［探究2］如圖2,連結(jié)/C',過點。作。V///。交AD于點線段。〃?與DM相等嗎？請說明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線。8分別交4。于點P,N（如圖3）,MN,PN存在一定的數(shù)量

關(guān)系，并加以證明.

【答案】［探究1］8c="公；［探究2］。/=。加，證明見解析；［探究3］MV2=PN.DN,證明見解析

2

【分析】

［探究1］設(shè)8C=x,根據(jù)旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)得出從而得出AZTCBSAADB,得出比例式

筆=筆，列出方程解方程即可；

ADAB

［探究2］先利用SAS得出得出ND4U=N4D8,NADB=NAD'M,再結(jié)合已知條件得出

NMDD'=ZMD'D,即可得出=DW；

［探究3］連結(jié)/〃，先利用SSS得出A4DW之AADM,從而證得MN=/N,再利用兩角對應(yīng)相等得出

PNAN

ANPA^ANAD,得出——=——即可得出結(jié)論.

ANDN

【詳解】

［探究1］如圖1,

???矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形ABCD;

.??點A,B,。在同一直線上.

AD'=AD=BC=x,DC=ABr=AB=\,

：.D'B=AD'-AB=x-l.

???/BAD=/D，=90。,

.'.D'CHDA.

又???點。在。5延長線上，

:2'C'BS^ADB,

DC_D'B1_x-l

AD~^4B9；一丁.

[探究2]D'M=DM.

證明：如圖2,連結(jié)。zr.

.'.ZAD'M=ZD'AC'.

1

VAD'=AD,ZAD'C=ZDAB=900tD'C'=AB,

-.AAC'D'^ADBA(SAS),

/.ZDrAC'=ZADB,ZADB=AADyM,

vAD=AD,/ADD，=/AD，D,

???ZMDD'=ZMD'D,

；.D'M=DM.

［探究31關(guān)系式為MN?=PN,DN.

證明：如圖3,連結(jié)

D4

，：D'M=DM,AD'=AD,AM=AM,

\ADM^\AD'M(SSS).

；./MAD=/MAD,

???ZAMN=/MAD+ANDA,

/NAM=/MAD4ZNAP,

.?.ZAMN=ZNAM,

：,MN=AN.

在NNAP與ANDA中，

ZANP=ZDNA,/NAP=ANDA,

???^NPA^ANAD,

.PN_AN

??俞一麗‘

???AN?=PNDN.

:?MN?=PNDN.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次

方程等，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題.

26.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=4cm,AD=3cm,動點M、N分別從D、B同時出發(fā)，都以1cm/秒

的速度運動，點M沿DA向點終點A運動，點N沿BC向終點C運動.過點N作NP_LBC,交AC于點P,連

接MP,已知運動的時間為t秒(0VtV3).

A

A

-

oB

(1)當t=l秒時，求出PN的長；

(2)若四邊形CDMP的面積為s,試求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t使四邊形CDMP的面積與四邊形ABCD的面積比為3：8,若存在，

請求出t的值；若不存在，請說明理由.

(4)在點M、N運動過程中，AMPA能否成為一個等腰三角形？若能，試求出