2023屆高考一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列求和常用方法（解析版）

數(shù)列專題數(shù)列求和常用方法

一、公式法

1.等差數(shù)列｛斯｝的前n項和=初=皿+%1)”.

推導(dǎo)方法：倒序相加法.

幾。1，(I~~1,

2.等比數(shù)列｛%｝的前n項和5,=|的(1—/)

\，q1.

〔i一q

例1已知等比數(shù)列｛為｝的公比g>l,m=2,且01，ai,的一8成等差數(shù)列.

(1)求出數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)歹的前“項和為S”任意“GN*,S〃W機(jī)恒成立，求實數(shù)相的最小值.

解：(1)因為。1=2,且“1,〃2,避一8成等差數(shù)列,

所以2〃2=。1+〃3—8,即2〃14=〃1+〃應(yīng)2—8,所以q?—2q—3—0,

所以q=3或9=-1,又q>l,所以q=3,所以詼=2?3"一WN*).

⑵因為數(shù)列｛斯｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列，

工％-(1

所以竿=公=/所以數(shù)歹心是首項為今公比為1的等比數(shù)列，所以a=a~7

-1-T3

因為任意WGN*,S.W而恒成立，所以啟東3即實數(shù)m的最小值為東3

跟蹤練習(xí)

1、已知等差數(shù)列｛斯｝的前一項和為S”a2=0,6/4=1,則S4=(B)

A.3B.1

C.2D.3

2、等差數(shù)列｛念｝的首項為1,公差不為0.若42,的，。6成等比數(shù)列，則｛斯｝的前6項的和

為(A)

A.—24B.13

C.3D.8

3、(2022?天津模擬)設(shè)1+2+2?+23H——F2n-1>128(n^N"),則〃的最小值為(C)

A.6B.7

C.8D.9

4、設(shè)數(shù)列｛斯｝(〃￡N*)的各項均為正數(shù),前幾項和為S〃，Iog2〃〃+i=l+log2a〃，且的=4,則

S6=(D)

A.128B.65

C.64D.63

5、已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和s=平+人3是常數(shù)，nEN*),若這個數(shù)列是等比數(shù)列，則6=

(A)

A.-1B.0

C.1D.4

6、已知等比數(shù)列｛°〃｝,ai=l,°4=w，且ala2+a2a3^-----則左的取值范圍是(D)

「121「1,\

A.悖3jB.悖+叼

口2、「2,、

C.日,3；D.『十叼

7、(多選)已知數(shù)列｛斯｝滿足m=l,且對任意的“WN*都有詼+1=見+出+%則下列說法中

正確的是(AC)

aJ/+D

cA?vtn2

B.數(shù)列舊4的前2020項的和為簫

LUZ1

C.數(shù)歹W9的前2020項的和為皤

D.數(shù)列D"｝的第50項為2550

8、設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”若要為常數(shù)，則稱數(shù)列｛③｝為“吉祥數(shù)列”.則下列數(shù)列

｛b｝為“吉祥數(shù)列”的有(BC)

A.bn=nB.方=(—1)〃5+1)

n

C.bn=4n-2D.bn=2

9、在數(shù)列｛斯｝中，2斯=如-1+斯+1(〃22),且。2=10，。5=-5.

(1)求｛〃〃｝的通項公式；

(2)求｛詼｝的前幾項和5〃的最大值.

：(1)因為1+〃八+1(〃22),所以O(shè)nOn“八-

+d=10,

所以數(shù)列｛如｝為等差數(shù)列，設(shè)首項為公差為d,則一,「解得

［。5="1十4d=15,

621=15,

d=~5,

所以斯=防十(〃-V)d—15—5(幾—1)=—5n+20.

1r/,〃(幾—1)dr、(65~357

(2)由(1)可知Sn=na\+2―%=2層+"1~2)n=一2"十因為對稱軸〃=],

所以當(dāng)及=3或4時，S”取得最大值為S3=S4=30.

10、數(shù)列｛〃〃｝滿足：〃i=l,點("，斯+斯+i)在函數(shù)＞=丘+1的圖象上，其中左為常數(shù)，且k70.

(1)若的，。2，。4成等比數(shù)列，求女的值；

(2)當(dāng)％=3時，求數(shù)列｛斯｝的前2〃項的和S2".

解：(1)由斯+〃"+1=版+1可得〃1+42=左+1,僅+。3=2左+1,。3+〃4=3左+1,

所以。2=鼠。3=%+1,。4=2%.

又見，。2,〃4成等比數(shù)列，.??龍=。1。4,即—=2鼠

又ZW0,故左=2.

(2)%=3時，+斯+1=3幾+1,.?.〃I+〃2=4,的+。4=10,…，〃2〃-1+。2〃=3(2"-1)+1,

4+6〃一20

S2?—4+10+…+6〃-2=2n=3n2-\-n.

11、已知等差數(shù)列｛念｝和等比數(shù)列｛為｝滿足=。2+。4=10，b2b4=。5.

(1)求｛?。耐椆?；

(2)求仇+%+/?5H---\-b2n-l-

解(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d.

因為。1=1,〃2+。4=10,

所以2。1+44=10,

解得d=2.

所以an=2n—l.

(2)設(shè)等比數(shù)列｛瓦｝的公比為q

因為b2b4=。5,

所以biq.biq3=9.

又加=1,所以==3.

所以岳i=Z?q2〃-2=3〃—1.

3n—l

2n-1

則bi+b3+b5~\---FZ?2H-I=1+3+3H——F3=—.

二、分組轉(zhuǎn)化法

一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用

分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減.

例2(2022?北京模擬)已知公差不為0的等差數(shù)列｛詼｝的前幾項和為S〃，S5=20,的是〃2，的

2

的等比中項，數(shù)列｛為｝滿足對任意的九￡N*,Sn+bn=2n.

(1)求數(shù)列｛斯｝，｛為｝的通項公式；

、\bn~n2,〃為偶數(shù),

⑵設(shè)金=1斯，〃為奇數(shù)，求數(shù)列｛金｝的前2n項的和為“.

5〃i+104=20,

解：(1)設(shè)數(shù)列｛蠲｝的公差為d,由題意得,化簡得

(0+2e2=(〃]+<7)(〃1+4<7),

〃i+2d=4,

qid=09

2

因為dWO,所以〃i=0,d=2,所以詼=2〃一2(〃￡N*),Sn=n—n,〃￡N*,

2

因為Sn+bn=2n,所以劣=川+〃(九￡N*).

[bn—n2,〃為偶數(shù),pi,〃為偶數(shù)，

(2)由(1)知，金=[平-I幾為奇數(shù),

〔2斯，〃為奇數(shù)

所以“〃=。1+。2+。3+。4HHC2〃-1+C2〃

=(2+4H——F2n)+(4°+42H---F42n-2)

n(2+2n)l-16n-n(n~\-1)+泰(16〃—1).

―2—+1-16

跟蹤練習(xí)

1、已知數(shù)列｛〃〃｝的通項公式為詼=2〃+"，若數(shù)列｛斯｝的前〃項和為工，則S8=(A)

A.546B.582

C.510D.548

2、(2022?珠海模擬)已知等差數(shù)列｛斯｝中，〃3+〃5=〃4+7,〃io=19,則數(shù)列｛斯cos〃兀｝的前2020

項和為(D)

A.1009B.1010

C.2019D.2020

3、若/(x)+/U—x)=4,4“=式0)+圈+…+代工)+_/UX〃eN*),則數(shù)列｛詼｝的通項公式為

___斯=2(H+1).

4、(2022?衡水質(zhì)檢)已知各項都不相等的等差數(shù)列｛斯｝,“6=6,又的，。2,。4成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛公｝的通項公式；

n

(2)設(shè)bn=T+(-1)〃斯，求數(shù)列｛為｝的前2n項和Tin.

解(1):｛斯｝為各項都不相等的等差數(shù)列，

。6=6,且41,〃2,〃4成等比數(shù)列.

〃6=〃i+5d=6,

“W0,

解得41=1,d=1,

數(shù)列｛斯｝的通項公式a?=l+(n-1)Xl=n.

(2)由(1)知，》=2"+(—1)々，記數(shù)列｛兒｝的前2”項和為不”,

12n

則T2n=(2+Q?-i----卜2)+(—1+2—3+4------F2n).

記A=21+22H------122",B=-l+2-3+4------F2”，

e2(1—22")

則4:22"+」2,

11—2c：

B=(—1+2)+(—3+4)H——\-[~(2n-l)+2n]=n.

ln+i

故數(shù)列｛勾｝的前2〃項和T2n=A+B=2+n-2.

斯+1,〃為奇數(shù),

5、已知數(shù)列｛〃〃｝滿足。1=1,a+i=

n為+2,〃為偶數(shù).

(1)記。=。2〃，寫出仇，歷，并求數(shù)列｛為｝的通項公式;

(2)求｛斯｝的前20項和.

斯+1,〃為奇數(shù),

解：(1)因為bn=a2n,且。1=1,即+1=

斯+2,〃為偶數(shù),

所以"=。2=〃1+1=2,

。2=〃4=〃3+1=〃2+2+1=5.

因為瓦=。2〃，所以兒+1=。2"+2=。2〃+1+1=。2〃+1+1=。2八+2+1=。2〃+3,

所以81+1—?！?。2〃+3—。2〃=3,

所以數(shù)列｛為｝是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，為=2+3(〃-1)=3〃-1,幾￡2.

(an+l,〃為奇數(shù)，

(2)因為a+i=y%便.

n[斯+2,幾為偶數(shù),

所以上右N*時,。2攵=。2左一1+1=。2左一1+1,

即"2人=。2左一1+1,①

〃2k+1=〃24+2,②

。2女+2=。2什1+1=。2左+1+1,即〃2k+2=。2k+1+1,③

①+②得〃2左+1=〃2k-1+3,即〃2左+1—。2b4=3,

所以數(shù)列｛〃〃｝的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；

②+③得。2左+2=。2k+3,即aik+2—a2k=3,

又〃2=2,所以數(shù)列｛斯｝的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列.

所以數(shù)列｛〃〃｝的前20項和820=3+03+。5T-----卜處9)+32+04+。6T-----卜。20)=10+

10X910X9

X3+204X3=300.

22

6、6知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃,且S〃=2〃+a.

⑴求an;

(2)定義[x]為取整數(shù)I的個位數(shù)，如[1]=1,[32]=2,[143]=3,求M]+M]+[g]+…+

[oioo]的值.

fSi,n~~1,[2+Q,n1,

解：⑴斯TSLS“T,心22島,心2,

;｛斯｝是等比數(shù)列，??.2+a=2Li=a=—1,

，斯=2〃-I〃￡N*.

(2)由。i]=l,[G]=2,[g]=4,[。4]=8,[的]=6,[%]=2,[s]=4,…,易知，從第二

項起是周期為4的周期數(shù)列，/.5IOO=1+24X(2+4+8+6)+2+4+8=495.

7、已知公比大于1的等比數(shù)列｛〃〃｝滿足〃2+。4=20,方=8.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)記瓦為｛斯｝在區(qū)間(0,加(機(jī)￡N*)中的項的個數(shù)，求數(shù)列｛狐｝的前100項和Sioo.

解(1)由于數(shù)列｛斯｝是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項為防，公比為外

Cl\Q~\~〃iq3=20,

依題意有

qiq2=8,

ci\=32,

解得I1=2,

(舍)或

q=29=2,

所以｛?,｝的通項公式為跖=2","GN*.

(2)由于21=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,

26=64,27=128,

所以方對應(yīng)的區(qū)間為(0,1],則以=0;

歷,優(yōu)對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,2],(0,3],

則歷=0=1,即有2個1；

4,

人b5,%,岳對應(yīng)的區(qū)間分別為

(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],

貝[64=65=66=67=2,即有22個2；

仇，加，…,加5對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,8],(0,9],???,(0,15],I)]bs=b9=—=bi5=3,

即有23個3；

616,bn,",弧對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,16],(0,17],(0,31],

則86="7=~=631=4,即有24個4;

加2,歷3,…，生3對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,32],(0,33],…，(0,63],

則匕32=%3=?"=663=5,即有25個5；

00

bM,b65,仇對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,64],(0,65],(0,100],

則664=665=3=bioo=6,即有37個6.

所以Sioo=1X2+2X22+3X23+4X24+5X25+6X37=480.

8、(2022.重慶質(zhì)檢)已知等差數(shù)列｛如｝的前“項和為S”恁=9,S5=25.

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式及S“；

n

⑵設(shè)b?=(-l)s?,求數(shù)列｛d｝的前n項和Tn.

解(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為義

由$5=5。3=25得的=。1+24=5,

又。5=9=。1+44,

所以d=2,“1=1,

*w(l+2〃-1)、

所以一1,S“=2=n~.

(2)結(jié)合(1)知d=(—I)"??,當(dāng)?為偶數(shù)時,

Tn=(bl+bi)+(63+匕4)+(65+匕6)H---H(bn-l+b?)

=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)4----H[-(M-1)2+H2]

=(2—1)(2+1)+(4—3)(4+3)+(6—5)(6+5)H---F[?-(?-l)][?+(n-l)]

,,,w(n+1)

=1+2+3+…+〃=2-

當(dāng)〃為奇數(shù)時，w—1為偶數(shù)，

,,2(7?—l)n、2n(7z+1)

7；=T?-i+(-ir-n=2-n=~\

L

綜上可知，Tn^-一曾——.

9、已知在等差數(shù)列｛斯｝中,S"為其前〃項和,且的=5,9=49.

(1)求數(shù)列｛〃｝的通項公式；

(2)若與=2"”+即，數(shù)列出｝的前〃項和為且〃21000,求”的取值范圍.

解⑴由等差數(shù)列性質(zhì)知，&=7。4=49,

則=7,

故公差1=。4—。3=7—5=2,

故。"=痣+("—3)d=2w—1.

(2)由(1)知b?=22n^+2n-l,

7；=21+H-23+3H----F22"-1+2n-l

=21+23H---F22n-1+(1+3H---H2H-1)

21-22,,+1n(l+2?-l)

1-4+2

2?"+1,.2

易知7；單調(diào)遞增,

且八=707<1000,76=2766>1000,

故G21000,解得〃26,〃￡N*.

10、(2022?青島模擬)從“①*=〃,+句；②$2=。3，。4=。1。2；③〃1=2,。4是〃2，〃8的等比

中項.”三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的橫線處，并解答.

已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃，公差dWO,,〃￡N*.

⑴求數(shù)列｛如｝的通項公式；

(2)若幻二下25一%,數(shù)列｛乩｝的前〃項和為跖，求跖.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解⑴選①：

2

Sn=n^n+^=n+^n,

令〃=1,得〃尸1+段，即的=2,

2

所以Sn=n+n.

2

當(dāng)時，Sn-i=(n-l)+n-l,

當(dāng)時，an=Sn—Sn-i=2n,又〃i=2,滿足上式,

所以an=2n.

選②：

由S2=〃3,得。1+〃2=〃3,得“l(fā)=d,

又由〃4=。1。2,得+3d=Qi(〃i+t7),

因為dWO,則〃i=d=2,所以斯=2〃.

選③：

由〃4是〃2,〃8的等比中項，得曷=。2〃8,

貝!|(西+3^7)2=(〃]-\~d)(ai~\~7d),

因為。1=2,dWO,所以d=2,則斯=2幾

(2)S〃=層+〃，兒=(2〃+1)2+2〃+1—(2〃)2—2〃

所以W"=3X22+2+3X24+22d---|-3X22,!+Z"，］'4中乂匕2)=4(4"-1)+2(2"

-l)=4"+1+2"+1-6.

11、(2022?株洲質(zhì)檢)由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列｛為｝滿足的=5,aicz2=2a4.

⑴求數(shù)列｛。“｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛b.｝的通項公式為d=2",將數(shù)列｛斯｝,｛d｝的所有項按照“當(dāng)w為奇數(shù)時，為放

在前面；當(dāng)w為偶數(shù)時，斯放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個新數(shù)列｛金｝,從,

a\,ai,bi,b3,的，〃4,M…,求數(shù)列｛金｝的前(4〃+3)項和北肝3.

解(1)由題意，設(shè)數(shù)列｛詼｝的公差為d,

因為的=5,。1〃2=2〃4,

［。1+2"=5,

可得

+J)=2(〃i+3d),

整理得(5一2①(5—4=2(5+①，

即2/—17d+15=0,解得d=g■或d=l,

因為｛〃〃｝為整數(shù)數(shù)列，所以d=l,

又由〃i+2d=5,可得。i=3,

所以數(shù)列｛斯｝的通項公式為an=n+2.

(2)由⑴知,數(shù)列｛斯｝的通項公式為見=〃+2,又由數(shù)列｛為｝的通項公式為為=2〃，

根據(jù)題意,得新數(shù)列｛金｝,bl,ai,〃2,bl,Z?3,。3,。4,人4,…，

則?！?3="+。1+42+^2+63+43+〃4+b4HH岳〃-1+〃2〃-1+42〃+62〃+人2〃+1+〃2〃+1+。2〃+2

=31+/?2+。3+64+…+岳〃+1)+(〃1+〃2+。3+。4+…+〃2〃+2)

=2X(；U*)+(3+2*)(2H2)=M+2-9〃+5.

1—ZZ

三、裂項相消法

把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前W項和.

⑵%+2)=5&肝^)；

]________411)

(3)(2H-1)(2H+1)=2<2?-l-2w+lj;

⑷3+■=4-亞

例3(2022?南京質(zhì)檢)已知數(shù)列｛詼｝的前n項和為Sn,斗=2為一1,數(shù)列｛勿｝是等差數(shù)列，

:=

目bi^ai，b(ici5>

(1)求數(shù)列｛為｝和｛歷力的通項公式；

(2)若c“=3力，記數(shù)列｛金｝的前〃項和為乙，證明：3T?<1.

解：(1)由Sn=2dn—1,可得〃=1時，〃1=2〃1—1,解得41=1；

=

〃三2時，Sn-i2an-i~l,又S?=2〃〃-1,兩式相減可得斯=S〃-S〃—i=2〃〃一1一2斯—1

+1,即有an=2an-i,

所以數(shù)列｛““｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，所以斯=2廣1.

—bi

設(shè)等差數(shù)列｛瓦｝的公差為d,且=/?6=〃5=16,可得d=6_]=3,所以為=

1+3(〃-1)=3〃-2.

(2)證明：金=仇/+1=(3._2)(3〃+1)=3(3〃―2_3〃+1)'

所以兀=莖/盍+???+讓—而高)[，則3Tq.

跟蹤練習(xí)

1,(2022?北京模擬)數(shù)列｛斯｝的通項公式為斯=廠，若｛%｝的前〃項和為9,則w

幾十、I幾十1

的值為(B)

A.576B.99

C.624D.625

3

2、已知數(shù)列｛斯｝滿足。i=],an=a^-i+an-i(n^2,〃￡N*).記數(shù)列｛若｝的前幾項和為4，

數(shù)列，Vr1的前〃項和為8”則下列結(jié)論正確的是(ABD)

321

A.A,；=??+!—TB.Bn=^~----

23an+i

c&_3CA?,32/1+1

C-B?~2a"D-4

1?022

3、在數(shù)列｛斯｝中，斯=〃(〃百),若｛斯｝的前w項和為了函，則項數(shù)〃=2022.

n2

4、已知數(shù)列｛(2〃—1；?！?]j的前項和為Tn,若對任意的"GN*,不等式127；<a—<7恒成

立，則實數(shù)a的取值范圍是(一8,-2]U[3,+8).

5、(2022?本溪模擬)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”且2s“=3a”一3(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式;

(2)若&?=------------，求數(shù)列｛"｝的前n項和Tn.

10g3?n-10g3^+l

解：(1)當(dāng)〃=1時，2〃1=3為一3,解得m=3；

當(dāng)時，2斯=25〃—2S〃-i=3a〃-3—3斯-1+3=3〃九一3〃〃-1,得斯=3a〃-1,

因為斯W0,所以一~=3,因為〃i=3,

斯—1

所以數(shù)列｛斯｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以即=3".

(2)因為log3^n=log33n=n所以為i二-I1，

9log3斯?log3斯+in(n+l)nn+1

所以數(shù)列｛兒｝的前〃項和乙=卜()+(｝—D+i｝—J+…+卜日力=1___

〃+1

n

n~\-1,

6、已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃，且S〃+i=4斯，〃￡N*,防=1.

(1)在下列三個結(jié)論中選擇一個進(jìn)行證明，并求｛斯｝的通項公式；

①數(shù)列修是等差數(shù)列；

②數(shù)歹(]｛如+1—2詼｝是等比數(shù)列；

③數(shù)列｛S,+i—2S,｝是等比數(shù)列.

(2)記b,產(chǎn)受二,求數(shù)列｛仇｝的前n項和Tn.

注：如果選擇多個結(jié)論分別解答，則按第一個解答計分.

解：(1)選結(jié)論①.

因為S〃+i=4斯，。1=1,所以“2=3.

=

當(dāng)〃22時，S〃=4斯一1,兩式相減得，an+14tZn—4an-1,

所以貌=2竽一舞，即加一第=第一舞，G2,所以數(shù)列出是等差數(shù)列.

X2-=2,22-T=4-2=4,

所以冬=g+"(w—1)="士所以斯=(〃+1>2「2.

選結(jié)論②.

因為a+1=4詼，<21=1,所以<22=3.

當(dāng)wN2時，Sn=4an-i,兩式相減得，an+i=4an—4an-i,

所以a”+i2“”2(ci"2a"—I〉，”22,

因為。2—2的=1,所以｛詼+1—2斯｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以斯+1—2斯=2"一1,兩邊同時除以2"+i得，3號—第4

所以[首是以為首項，：為公差的等差數(shù)列，

所以翁1)="士所以〃.=(“+

選結(jié)論③.

因為，+1=4卬，41=1,所以52=4.

—

當(dāng)幾22時，Sn+l=4Sn—4Sn-l,所以Sn+12Sn=2(Sn-2Sn-1),

因為52—2S1=2,所以｛與+1-2Sj是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以S.+1—2S"=2",兩邊同時除以2"+1,得割一言=點

所以慨是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，

n1

所以,=,+/〃_1)=胃,所以Sn=n-2^.

所以斯=苧=(〃+1>2"-2.

⑵由(1)得,S,=〃.2"-i,

圻”,S"+2(〃+2>2川(w+1)2f2G__1_-

nln441

所"4S?Sn+ln-2~\n+iy2-n^in+iyT-L?-2"(n+l)-2"_

所以T〃=4“251—(w+l>2"=4「("+1).2"

(n+l)-2,!-2,

7、給出以下三個條件：①4a3,3。4,2。5成等差數(shù)列；②VwGN*,點(“，S.)均在函數(shù)尸2，一“

的圖象上，其中。為常數(shù)；③8=7.請從這三個條件中任選一個將下面的題目補(bǔ)充完整，

并求解.

設(shè)｛。“｝是一個公比為q(q>。，且qWl)的等比數(shù)列，且它的首項的=1,.

(1)求數(shù)列｛"“｝的通項公式；

(2)令"21og2a“+l(〃GN*),證明：數(shù)列，馬父的前n項和Tn<^.

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

解：(1)選條件①：因為4a3,304.2。5成等差數(shù)列，所以6<74=4〃3+2<75,即6a3勺=443+2.3/,

解得4=1(舍)或4=2,所以a〃=2"-i.

選條件②：由題意得斗=2"—a,因為ai=Si=2—。=1,所以a=l,所以S〃=2"—1,

當(dāng)〃22時,S.T=2"~1—1,則斯=S〃-ST=2"-I,當(dāng)〃=1時，ai=l,符合上式，所

以斯=2"一I

選條件③：由$3=7,得。1+“2+的=7,即ai+a「q+a「q2=7,解得q=2或q=-3,

又因為q>0,所以4=2,所以詼=2"-1.

(2)證明：因為斯=2"一1,所以Q=2k>g22"-i+l=2〃-1,〃eN*,

則共3=(2〃—1；2葉1)=2Q?-l-2?+J，所以丁"=3

(1-鴻-紅…十六-肅用(1-±)，

因為“eN*,所以1—旺7<1，所以3舄得證.

2〃十12

8、設(shè)｛斯｝是各項都為正數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列，已知的=4,且④滿足關(guān)系式：a?+1+a?=4+

2\lan+ian,〃￡N*.

⑴求數(shù)列｛an｝的通項公式;

⑵若b=——r,求數(shù)列｛a｝的前n項和S.

nOn1n

解(1)因為斯+1+斯=4+2,〃〃+1斯，狂N*,

即(yjan+i—e)2=4,

又｛斯｝是各項為正數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列，

所以?！?12,

又“W=2,

所以｛、a｝是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,

所以g^=2+2(〃-1)=2〃，所以斯=4層.

(2)兒一詼一1—4層一1一(2〃-1)(2〃+1)

-2(2〃-12九+1)，

9、設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項和為當(dāng),且2S〃=3斯一1.

(1)求｛斯｝的通項公式；

3〃33

(2)若”/—求｛乩｝的前〃項和T〃，證明：o^T<^

(即十1)(斯+1十1)On4

⑴解因為2&=3詼-1,

所以2sl=2勾=3〃1—1,

即611=1.

當(dāng)時，2S〃T=3斯—i—1,

=

則2Sn—2Sn-1=2an3an—3an-1,

整理得上~=3,

〃〃一1

則數(shù)列｛斯｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故斯=lX3〃r=3〃-1.

(2)證明由(1)得為二(3〃一1+1)(3"+1)

_3(11)

=5義(3"-1+13"+1)

一3「「131+1)+(31+1—32+1)+(32+1—33+1)1|-G^1+I-F+

所以^n=2X；3°+1

3

所以Tn<^,

又因為T"為遞增數(shù)列，

333

所以712Tl=1一五=五，

OO

s33

所以gWGq.

10、已知數(shù)列｛為｝滿足的=4,且當(dāng)九三2時，(n—l)an=

n(an-i+2n—2).

⑴求證：數(shù)列｛甘是等差數(shù)列；

(2)記C=，求數(shù)列｛々｝的前n項和Sn.

⑴證明當(dāng)〃22時，

(及一1)〃"—九(詼―1+2〃-2),

將上式兩邊都除以〃(〃一1),

加斯斯-1+2〃—2

待'九n-l'

即如一四三=2,

nn~1

所以數(shù)歹?力是以岸=4為首項，2為公差的等差數(shù)列.

⑵解由⑴得與=4+2(〃-1)=2〃+2,

即?！?2九(幾+1),

缶272n+l1FJ_

所以“l(fā)，-—才/(〃+1)2」，

所以S“=,(1_&+8_/)+-+[i-^+17]｝

1-n2+2n

一器("+1)2」—4("+1產(chǎn)

n

11、(2022?合肥模擬)已知數(shù)列｛斯｝滿足：oi=2,an+i=an+2.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)若"=log2。"'T，，=熹+熹+…求3”

解(1)由已知得斯+i-斯=2",

當(dāng)"22時，。八=〃1+(〃2—。1)+(〃3—〃2)+…+(〃〃—斯-1)

=2+2+22H——

n-1

=2+,2七(1-2字)=2".

又〃1=2,也滿足上式，故斯=2".

(2)由(1)可知，b〃=log2斯=",

1111

5

bnbn+in(n+l)nn+1

12、已知數(shù)列｛斯"｛b],｛金｝滿足。i=Z?i=ci=l,c=a+\—a,金+1=丁%〃,J，N*.

nnnnt>n+2

(1)若｛/?〃｝為等比數(shù)列，公比鄉(xiāng)>0,且加+岳=6①，求9的值及數(shù)列｛詼｝的通項公式；

(2)若｛瓦｝為等差數(shù)列，公差d>0,證明：ci+cz+c3HF金<1+[,幾￡N*.

(1)解由仇=1,6+歷=6。3,且｛0〃｝為等比數(shù)列，得1+9=6/,解得9=；(負(fù)舍).

,,bn—2"一卜

金+]=〃？金=4金,.??c〃=4"L

bn+2

?Cln4"I

1—4〃一1

???斯=〃i+1+4+…+4"2=---+1

1—4

4〃一】+2

=~3~.

b

(2)證明由GI+I=L-(〃(九￡N*),

bn+2

=

可得bn+2'Cn+\bn'Cn,

兩邊同乘瓦+1,

可付bn+l'bn+2'Cn+l—Z?〃乃〃+1?金,

?Z?iZ?2^i——/?2~=1H-

，數(shù)列｛兒兒+1C”｝是一個常數(shù)列，

且此常數(shù)為1+d,即瓦+1C“=1+(Z,

1+d1+dd

,?C"=b,b,+idb”b“+i

\ajbnbn+1=0+￡fc-寸

又,；bi=l,d>0,.'.bn>0,

ci+c2H----Fc?

=1+3I

=(1+0&T+A抖…+~七

=0+以-氏

1

b.+L

。1+。2+???+扇<1+[.

111

13、已知數(shù)列｛斯｝滿足。1=5，=~,卜2(〃GN*).

乙斯+1斯

(1)求數(shù)列｛詼｝的通項公式;

(2)求證：屆+后+質(zhì)H----\~*

11

(1)解因為卜2(〃GN*),

1

11

所以=2(〃GN*),

1

因為。尸去所以?2,

是以首項為2,公差為2的等差數(shù)列，所以;=2+2(w—l)=2〃(weN*),

所以數(shù)列i

所以數(shù)列｛斯｝的通項公式是斯=/(〃￡N*).

(2)證明依題意可知

1J_111

屈=4n2<4Hn—1

>1)，

所以〃?+晶+滔-|----卜原

故居+屋+尾H----

14、若S.是公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，且Si，S2,S4成等比數(shù)列，S=4.

①求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

②設(shè)辦=」一，T"是數(shù)列｛仇｝的前〃項和，求使得T”<器對所有"CN*都成立的最小正

整數(shù)m.

解①設(shè)｛斯｝的公差為d?WO),

則Si=ai,S2=24i+d,S4=4〃i+6d.

因為Si,S2,S4成等比數(shù)列,

所以+6<7)=(2〃i+e2.

所以2a\d=足.

因為dWO,所以d=2〃i.

又因為Sz=4,所以〃i=l,d—2,

所以an=2n—l.

33

==

②因為bn731-I-1\

anan+1(2n—1)(2〃十1)

所以〃=在1―§+,—m+…+，一罰

H1<2-

要使刀，V若對所有"GN*都成立,

w3

則有而21,即%》30.

因為機(jī)GN*,

所以的最小值為30.

四'錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)

列的前n項和即可用錯位相減法求解.

例4(2022?江門模擬)已知數(shù)列｛斯｝滿足：<21=1,an+i=2an+n-l.

(1)證明：數(shù)歹!J｛以十〃｝是等比數(shù)列并求數(shù)列｛斯｝的前"項和S“；

(2)設(shè)-=(2〃-1>(斯+〃),求數(shù)列也｝的前n項和Tn.

解：(1)因為a+\=2a-\-n—1,所以a”+i+(〃+l)=2a〃+2w,即口—JZ2,又

nnIn

ci\~F1=2,

所以數(shù)列｛〃〃+〃｝是以2為首項2為公比的等比數(shù)列，則〃〃+〃=2,2亡1=2匕故斯=2〃

-n9

n

I9?....2-(1—2)n(l+n)2+12n(l+n)

所以S“=(2+22H-----F2")-(1+2H------HM)=-？-2=-~2?

(2)由⑴得,6“=(2”―1>(為+0=(2力一1>2〃，

MO7；=2+3X22+5X234------(2〃-1>2",①

27；=2a+3X23+5X24H-------(2.-3)-2"+(2〃-1)2咽②

①一②得一5=2+2X22+2X23H-----F2X2"-(2M-1)-2,1+1=2X(2+22H-------F2")—2—

(2/i-l)-2n+1=-(2n-3)-2,,+1-6,

所以7；=(2n-3)-2?+1+6.

跟蹤練習(xí)

1、(2022?廣東模擬)在數(shù)列｛④｝中，ai=l,an+i=an-2anan+i.

(1)求｛詼｝的通項公式；

(2)若bn=J,求數(shù)列｛d｝的前n項和Sn.

an

角牛：(1)?Cl\1,?！?1Cln?*dn09

-2^>—--=2,又：工=1,

Cln+1%+1%

???周是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

——1+2(〃-1)=2〃-1,

an

1*

..a=~式wGN).

n2〃一1

(2)由(1)知：6"=(2〃-l)X3",

.?.5?=1X3+3X32+5X33+7X34H------k(2〃-1)X3",

3S?=1X32+3X33+5X34+7X35H-----l-(2?-l)X3"+l,

兩式相減得一2S〃=3+2X32+2X33+2X34H----H2X3"-(2/i-l)X3"+1

=3+2(32+33+34H----H3")-(2H-1)X3"+1

32(l-3,i-1)

=3+2X(2n-l)X3,,+1

1-3

=3+3"+1-9-(2n-l)X3n+1

=2(lf)X3"+i—6,

；.5?=(n-l)X3,,+1+3.

2、已知數(shù)列｛a“｝的前"項和為S.,對任意正整數(shù)"，均有S〃+i=3S“一2〃+2成立，的=2.

(1)求證：數(shù)歹!]｛詼一1｝為等比數(shù)列，并求｛須｝的通項公式；

⑵設(shè)bn=na?,求數(shù)列｛加｝的前n項和T?.

解：(1)當(dāng)〃22時，S,=3ST—2(〃-1)+2,又S“+i=3S,-2〃+2,

兩式相減可得S"=3S〃-3sl—1—2,

即。0+1=3斯一2,

即有斯+1—1=3(。”-1),

令”=1,可得。1+。2=3的，解得42=2的=4,也符合斯+i—1=3(斯一1),

則數(shù)列｛斯一1｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，

則詼-1=3'L1,故斯=1+3"一|.

(2)由(1)知b“=na”=n,3"I

則7；=(l+24------Fn)+(l-30+2-31+3-324------"S"**),

設(shè)M?=l-3°+2-31+3-324------卜卅一

3Af?=l-3+2-32+3-33H------

兩式相減可得-2M”=1+3+3?+…+3"?—71-3"

1

化簡可得跖!=色二詈±.

所以7〃=米〃+1)+業(yè)二

3、(2022?湖南模擬)某同學(xué)在復(fù)習(xí)數(shù)列時，發(fā)現(xiàn)曾經(jīng)做過的一道題目因紙張被破壞，導(dǎo)致一

個條件看不清(即下題中“已知”后面的內(nèi)容看不清)，但在(1)的后面保留了一個“答案：N，

S3,S成等差數(shù)列”的記錄，具體如下:記等比數(shù)列｛斯｝的前“項和為S”已知.

①判斷Sl，S2,S3的關(guān)系；(答案：S1，S3,S2成等差數(shù)列)

-++*、n、、4

②若的一的=3,記瓦=五|斯],求證：仇+《T------—嗎.

(1)請在本題條件的“已知”后面補(bǔ)充等比數(shù)列｛④｝的首項的的值或公比q的值(只補(bǔ)充

其中一個值)，并說明你的理由；

(2)利用(1)補(bǔ)充的條件，完成②的證明過程.

解：(1)條件的“已知”后面補(bǔ)充“公比“=—3”，理由如下：

由S1,S3,S2成等差數(shù)列，得S1+S2=2S3,

即〃1+(〃1+〃1夕)=2(〃1+〃14+〃1夕2).因為mW。，

故上式可化簡為2?2+4=0,