中考數(shù)學二輪培優(yōu)訓練第04講 倍長中線模型構(gòu)造全等三角形（原卷版）

第04講倍長中線模型構(gòu)造全等三角形【應對方法與策略】倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用）。三角形一邊的中線（與中點有關(guān)的線段），或中點，通?？紤]倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.主要思路：倍長中線（線段）造全等在△ABC中AD是BC邊中線延長AD到E，使DE=AD，連接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E連接BE延長MD到N，使DN=MD，連接CD【多題一解】一、單選題1．（2021·浙江湖州·二模）如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．32．（2021·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，，為上一點，為的中點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2019·湖北·武漢市糧道街中學九年級階段練習）如圖，△ABC中，D是AB的中點，CD：AC：BC＝1：2：2，則∠BCD＝_____．5．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形中，分別是、邊上的點，將四邊形沿直線翻折，使得點、分別落在點、處，且點恰好為線段的中點，交于點，作于點，交于點．若，則________．6．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，為AD上的中點，則BE＝______．三、解答題7．（2020·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校九年級階段練習）△ABC中D是BC邊上一點，連接AD．（1）如圖1，AD是中線，則AB+AC2AD（填>，<

或=）；（2）如圖2，AD是角平分線，求證AB-AC>BD-CD．8．（2020·北京一七一中九年級階段練習）在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中點，E為直線AC上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當點E是線段AC的中點時，AE＝2，BF＝1，求EF的長；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖形2，用等式表示AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．（2020·全國·九年級專題練習）已知：如圖所示，AD平分，M是BC的中點，MF//AD，分別交CA延長線，AB于F、E．求證：BE=CF．10．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設(shè)，求EF的長（用含的式子表示）；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．11．（2020·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為線段BC的延長線上一點，且DB=DA，BE⊥AD于點E，取BE的中點F，連接AF．（1）若AC=，AE=，求BE的長；（2）在（1）的條件下，求△ABD的面積．（3）若∠BAC=∠DAF，求證：2AF=AD；12．（2022·全國·九年級專題練習）已知：如圖，在△ABC中，D是BC中點，E是AB上一點，F(xiàn)是AC上一點．若∠EDF＝90°，且BE2＋FC2＝EF2，求證：∠BAC＝90°．13．（2020·福建福州·九年級開學考試）如圖1，已知正方形和等腰，，，是線段上一點，取中點，連接、．（1）探究與的數(shù)量與位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，將圖1中的等腰繞點順時針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）在（2）的條件下，若，求的最小值．14．（2020·陜西咸陽·一模）問題提出（1）如圖，是的中線，則__________；（填“”“”或“”）問題探究（2）如圖，在矩形中，，點為的中點，點為上任意一點，當?shù)闹荛L最小時，求的長；問題解決（3）如圖，在矩形中，，點為對角線的中點，點為上任意一點，點為上任意一點，連接，是否存在這樣的點，使折線的長度最?。咳舸嬖冢埓_定點的位置，并求出折線的最小長度；若不存在，請說明理由．15．（2020·安徽合肥·二模）如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點，AF平分∠EAD，交CD于點F．(1)如圖1，若點F恰好為CD中點，求證：AE=BE+2CE；(2)在(1)的條件下，求的值；(3)如圖2，延長AF交BC的延長線于點G，延長AE交DC的延長線于點H，連接HG，當CG=DF時，求證：HG⊥AG．16．（2020·江西宜春·一模）將一大、一小兩個等腰直角三角形拼在一起，，連接．（1）如圖1,若三點在同一條直線上，則與的關(guān)系是；

（2）如圖2，若三點不在同一條直線上,與相交于點，連接,猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，在(2)的條件下作的中點,連接，直接寫出與之間的關(guān)系．17．（2022·安徽宿州·九年級期末）已知：在矩形中，連接，過點作，交于點，交于點．（1）如圖1，若．①求證：；②連接，求證：．（2）如圖2，若，求的值．18．（2021·江蘇宿遷·二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀印度數(shù)學家，他曾提出一個定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，垂足為點，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為（填“真命題”，“假命題”）；【探究】（1）如圖2，和為共頂點的等腰直角三角形，，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點．證明：點是的中點；（2）如圖3，和為共頂點的等腰直角三角形，點是的中點，連接交于點，若，求的長．19．（2020·江蘇徐州·模擬預測）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點，于點，交于點，交于點，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作一個的角，角的兩邊分別交、于、兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【一題多解】1．（2021·河北·九年級專題練習）閱讀下面材料：數(shù)學課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過討論，同學們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．完成下面問題：（1）①思路一的輔助線的作法是：；②思路二的輔助線的作法是：．（2）請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應的圖形，不需要寫出證明過程）．2．（2021·貴州·貴陽市第十九中學九年級階段練習）在與中，，，，連接，點為的中點，連接，繞著點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當點落在的延長線上時，與的數(shù)量關(guān)系是：__________；（2）如圖2，當旋轉(zhuǎn)到點落在的延長線上時，與是否仍有具有（1）中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請給予證明；如果沒有，請說明理由；（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若當時，直接寫出的值．3．（2021·山東·日照市田家炳實驗中學一模）定義：如果三角形三邊的長a、b、c滿足，那么我們就把這樣的三角形叫做“勻稱三角形”．如：三邊長分別為1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“勻稱三角形”．（1）已知“勻稱三角形”的兩邊長分別為4和6，則第三邊長為．（2）如圖，ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，交AB的延長線于E，求證：EF是⊙O的切線；（3）在（2）的條件下，若，判斷AEF是否為“勻稱三角形”？請說明理由．4．（2021·重慶市渝北中學校九年級階段練習）（1）如圖1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點D、E分別在邊CA，CB上且CD＝3，CE＝4，連接