云南省巧家縣第二中學(xué)2021屆人教版高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：數(shù)列綜合

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)列綜合1.遇到數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系的問(wèn)題應(yīng)利用使用這個(gè)結(jié)論的程序是：寫出Sn的表達(dá)式，再“后退”一步（降標(biāo)）得Sn-1的表達(dá)式，作差；得an的表達(dá)式。留意：n≥2的要求切不行疏忽！若Sn的表達(dá)式無(wú)法寫出，亦可將an表示成Sn-Sn-1，得到一個(gè)關(guān)于Sn的遞推關(guān)系后，進(jìn)一步求解。數(shù)列的前n項(xiàng)和=an+b,(a0,且a1),則數(shù)列成等比數(shù)列的充要條件是__________解析：降標(biāo)得：=an-1+b,(n≥2),作差得：an=an-an-1=an-1(a-1),(n≥2)再“升標(biāo)”得：an+1=an(a-1)；∴，(n≥2)，∴數(shù)列成等比數(shù)列的充要條件是：，即b=–1。數(shù)列中，a1=1，Sn為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，n≥2時(shí)=3Sn，則Sn=。解析：思路一：同得：an–an-1=3an(n≥3)(n≥3)∴數(shù)列從其次項(xiàng)開頭成等比數(shù)列（留意：不是從第三項(xiàng)開頭），又a2=3（a1+a2）得a2=,∴n≥2時(shí)=a2qn-2=()()n-2(這個(gè)地方極簡(jiǎn)潔出錯(cuò))，即=∴Sn==，留意到n=1和n≥2可以統(tǒng)一，∴Sn=。（冗長(zhǎng)煩瑣，步步荊棘?。┧悸范阂蟮牟皇嵌荢n，可以考慮在=3Sn中用Sn-Sn-1代換（體現(xiàn)的是“消元”的思想，思路一是加減消元，消去Sn；思路二是代入消元，消去）得：Sn-Sn-1=3Sn，（n≥2），即，（n≥2），又S1=1，∴Sn=。數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{bn}滿足：.（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。等差數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，公差d＞0，且其次項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別為等比數(shù)列的其次項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列對(duì)任意整數(shù)n都有成立,求c1+c2+…+c2007的值.2.形如：+的遞推數(shù)列，求通項(xiàng)時(shí)先“移項(xiàng)”得=后，再用疊加（消項(xiàng)）法；形如：的遞推數(shù)列，求通項(xiàng)用連乘（約項(xiàng)）法；形如：an+1=qan+p(a1=a，p、q為常數(shù))的遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式可以逐項(xiàng)遞推出通項(xiàng)（在遞推的過(guò)程中把握規(guī)律）或用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列（公比為q）；形如：（為常數(shù)）的遞推數(shù)列求通項(xiàng)，先“取倒數(shù)”，可得數(shù)列{}是等差數(shù)列（公差為）。①已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+2n-1,則a10；解析：an+1-an=2n-1，分別取n=1，2，…9，疊加得：a10-a1=（2+22+…+29）-9=210-11a10=210-10.②若數(shù)列an滿足a1=，（n≥2）,則an=；解析：“取倒數(shù)”得：（n≥2），記數(shù)列{+}為等比數(shù)列，且公比為2，（為常數(shù)），則+=2（+）（n≥2），可見(jiàn)=-1，而-1=2∴-1=2n,=2n+1,an=。注：（?。┯袝r(shí)能夠看、猜、試出來(lái)，未必非要“待定系數(shù)”。（ⅱ）數(shù)列{+}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)是+而不是a1，同樣，通項(xiàng)是+而不是an，這是很簡(jiǎn)潔出錯(cuò)的一個(gè)地方。（ⅲ）若遞推關(guān)系變?yōu)閍n+1=qan+pn,則也相應(yīng)變?yōu)閜n，其他做法不變。③已知數(shù)列{an}滿足：a1+2a2+3a3+…+nan=an+1且a2=2，則an。解析：“降標(biāo)”得a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=an，（n≥2）作差得(n+1)an=an+1（n≥2）（n≥2）分別取n=2，3，…，n-1,連乘得：，又a2=2得an=n!（n≥2）而a1=a2,∴an=。某顧客購(gòu)買一件售價(jià)為1萬(wàn)元的商品，擬接受分期付款的方式在一年內(nèi)分12次等額付清，即在購(gòu)買后1個(gè)月第一次付款，以后每月付款一次，若商場(chǎng)按0.8%的月利率受取利息(計(jì)復(fù)利),則該顧客每月付款的數(shù)額為______3.應(yīng)把握數(shù)列求和的常用方法：應(yīng)用公式（必需要記住幾個(gè)常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和）、折項(xiàng)分組（幾個(gè)數(shù)列的和、差）、裂項(xiàng)相消（“裂”成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)差后疊加）、錯(cuò)位相減（適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積構(gòu)成的數(shù)列）、倒序相加等，要依據(jù)不同數(shù)列的特點(diǎn)合理選擇求和方法（其中最重要、最常見(jiàn)的是裂項(xiàng)）。①數(shù)列中，若，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為。解析：求的過(guò)程請(qǐng)讀者自己完成。=，∴數(shù)列的前項(xiàng)和為：。一般地：通項(xiàng)為分式的數(shù)列求和多用“裂項(xiàng)”，“裂項(xiàng)”是“通分”的逆運(yùn)算，可以先“裂開”再回頭通分“湊”系數(shù)。②已知=，Sn為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，=nSn，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn；解析：Sn=-2=n×-2n,Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×-2（1+2+3+…+n）(視數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的差，此即“分組求和”)記：Rn=1×22+2×23+3×24+…+n×-）2Rn=1×23+2×2Rn=1×22+2×23+3×24+…+n×-）2Rn=1×23+2×24+…+（n-1）×+n×-Rn=1×22+1×23+1×24+…+1×-n×-Rn=2n+2-4-n×2n+2=-(n-1)2n+2-4,∴Rn=(n-1)2n+2+4Tn=(n-1)2n+2+4-n(n+1)。注：“錯(cuò)位相減”法在中學(xué)數(shù)學(xué)中除推倒等比數(shù)列的求和公式外就僅此一用?！跋鄿p”后的n+1項(xiàng)中，“掐頭去尾”中間的n-1項(xiàng)成等比數(shù)列。③=解析：S==用“倒序相加”：得2S==n2n,∴S=n2n-1。設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)之和為，已知與的等比中項(xiàng)為，且與的等差中項(xiàng)為1。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)之和為，其中，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任意正整數(shù)都成立？若存在，試求出實(shí)數(shù)M的范圍；若不存在，試說(shuō)明理由。4.與數(shù)列相關(guān)的不等式問(wèn)題多用“放縮法”或數(shù)列的單調(diào)性解決。在數(shù)列中，已知，，（Ⅰ）證明數(shù)列{-1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證：解析：（Ⅰ）留給讀者自己完成（參看第2條②），；（Ⅱ）（≥2）∴=2+<2+1-<3.已知在數(shù)列的前n和為Sn,且對(duì)一切正整數(shù)n都有Sn=n2+an,（Ⅰ）求證：an+1+an=4n+2;（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。5．在解以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題時(shí)，要選擇好爭(zhēng)辯對(duì)象，即選擇好以“哪一個(gè)量”作為數(shù)列的“項(xiàng)”，并確定好以哪一時(shí)刻的量為第一項(xiàng)；對(duì)較簡(jiǎn)潔的問(wèn)題可直接查找“項(xiàng)”與“項(xiàng)數(shù)”的關(guān)系，對(duì)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題可先爭(zhēng)辯前后項(xiàng)之間的關(guān)系（即數(shù)列的遞推關(guān)系），然后再求通項(xiàng)。從盛滿729升純酒精的容器里倒出a升，然后用水填滿，再倒出a升混合溶液，用水填滿，這樣連續(xù)進(jìn)行，一共倒了6次，這時(shí)容器里還含有64升純酒精，則a的值為.解析：記：倒了n次后容器里還含有an升純酒精,則a=，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，a1=729-a,∴64×7295=(729-a)6,2×35=729-aa=343。在占地3250畝的荒山上建筑森林公園,2000年春季植樹100畝,以后每年春季植樹面積都比上一年多植樹50畝,直到荒山全部綠化為止.到哪一年春季才能將荒山全部綠化完?假如新植樹木的每畝木材量為2m3,樹木每年自然增長(zhǎng)率為20%,到全部綠化完的那年春季,該森林公園的木材總量是多少?(精確到1m3,1.29≈1.56)簡(jiǎn)答1.bn=2n-1+2,Tn=2n+2n-1,(1)an=2n-1,bn=3n-1,(2)32007,2.記每次還款x萬(wàn)元，則第一次還款后尚欠商場(chǎng)1.008-x萬(wàn)元,其次次還款后尚欠商場(chǎng)(1.008-x)1.008-x=1.0082-1.008x-x萬(wàn)元,…,第12次還款后尚欠商場(chǎng)1.00812-1.00811x-1.00810x-…-1.008x-x=0,得x=,3.an=,對(duì)數(shù)列{bn}“裂項(xiàng)”求得=）（）max==