2022高考(新課標(biāo))數(shù)學(xué)(理)大一輪復(fù)習(xí)試題：第十章-概率10-9b

限時(shí)·規(guī)范·特訓(xùn)[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.設(shè)隨機(jī)變量的分布列如表所示，且E(ξ)＝1.6，則a×b＝()ξ0123P0.1ab0.1A.0.2 B.0.1C.0.15 D.0.4解析：由分布列的性質(zhì)，得0.1＋a＋b＋0.1＝1.∴a＋b＝0.8.①又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3.②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a×b＝0.3×0.5＝0.15.答案：C2.某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.6，他重復(fù)投籃5次，若他命中一次得10分，沒(méi)命中不得分；命中次數(shù)為X，得分為Y，則E(X)，D(Y)分別為()A.0.6,60 B.3,12C.3,120 D.3,1.2解析：X～B(5,0.6)，Y＝10X，∴E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2，D(Y)＝100D(X)＝120.答案：C3.[2021·綿陽(yáng)診斷]已知隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(eq\f(1,2)，σ2)，且P(0≤ξ≤eq\f(1,2))＝a,則P(ξ<0)＝()A.a B.eq\f(1,2)C.1－a D.eq\f(1,2)－a解析：由隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(eq\f(1,2)，σ2)，且P(0≤ξ≤eq\f(1,2))＝a，可得P(eq\f(1,2)≤ξ≤1)＝a，且P(ξ<0)＝P(ξ>1)＝eq\f(1－a－a,2)＝eq\f(1,2)－a.故選D.答案：D4.[2021·沈陽(yáng)高三檢測(cè)]已知ξ～B(4，eq\f(1,3))，并且η＝2ξ＋3，則方差D(η)＝()A.eq\f(32,9) B.eq\f(8,9)C.eq\f(43,9) D.eq\f(59,9)解析：D(ξ)＝4×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(8,9)，∵η＝2ξ＋3，∴D(η)＝4·D(ξ)＝4×eq\f(8,9)＝eq\f(32,9).答案：A5.[2021·濟(jì)南模擬]現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，8張2元的，2張5元的，某人從中隨機(jī)地、無(wú)放回地抽取3張，則此人得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望是()A.6 B.7.8C.9 D.12解析：P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))，P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))，P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))，則E(ξ)＝6×eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＋9×eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＋12×eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝7.8.答案：B6.[2021·嘉興模擬]甲乙兩人分別獨(dú)立參與某高校自主招生面試，若甲、乙能通過(guò)面試的概率都是eq\f(2,3)，則面試結(jié)束后通過(guò)的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(11,9)C.1 D.eq\f(8,9)解析：依題意，X的取值為0,1,2，且P(X＝0)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,9)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＋(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(4,9)＝eq\f(12,9)＝eq\f(4,3)，故選A.答案：A7.已知某隨機(jī)變量X的概率分布列如下表，其中x>0，y>0，隨機(jī)變量X的方差D(X)＝eq\f(1,2)，則x＋y＝________.X123Pxyx解析：由分布列性質(zhì)，得2x＋y＝1，E(X)＝4x＋2y＝2.又D(X)＝eq\f(1,2)，即D(X)＝(－1)2·x＋12·x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(1,4)，∴y＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故x＋y＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)8.兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________.解析：ξ的取值有0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,2),9)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,2),9)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,9)，所以E(ξ)＝0×eq\f(4,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(1,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9.某高校進(jìn)行自主招生面試時(shí)的程序如下：共設(shè)3道題，每道題答對(duì)給10分、答錯(cuò)倒扣5分(每道題都必需回答，但相互不影響)．設(shè)某同學(xué)對(duì)每道題答對(duì)的概率都為eq\f(2,3)，則該同學(xué)在面試時(shí)得分的期望值為_(kāi)_______分．解析：設(shè)面試時(shí)得分為隨機(jī)變量X，由題意可知，X的取值可以是－15,0,15,30.則P(X＝－15)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(1,27)，P(X＝0)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝15)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，P(X＝30)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，∴E(X)＝－15×eq\f(1,27)＋0×eq\f(2,9)＋15×eq\f(4,9)＋30×eq\f(8,27)＝15.答案：1510.在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成果ξ聽(tīng)從一個(gè)正態(tài)分布，即ξ～N(90,100)．(1)試求考試成果ξ位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估量考試成果在(80,100)間的考生大約有多少人？解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是0.9544，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成果ξ位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)的取值的概率是0.6826，所以考試成果ξ位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考試成果在(80,100)間的考生大約有2000×0.6826≈1365(人)．11.甲、乙兩名同學(xué)參與一項(xiàng)射擊玩耍，兩人商定，其中任何一人每射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分．若甲、乙兩名同學(xué)射擊的命中率分別為eq\f(3,5)和p，且甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2的概率為eq\f(9,20)，假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響．(1)求p的值；(2)記甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為X，求X的分布列和均值．解：(1)設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為大事A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為大事B，“甲射擊一次，未擊中目標(biāo)”為大事eq\o(A,\s\up15(－))，“乙射擊一次，未擊中目標(biāo)”為大事eq\o(B,\s\up15(－))，則P(A)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(A,\s\up15(－)))＝eq\f(2,5)，P(B)＝p，P(eq\o(B,\s\up15(－)))＝1－p.依題意得eq\f(3,5)(1－p)＋eq\f(2,5)p＝eq\f(9,20)，解得p＝eq\f(3,4)，故p的值為eq\f(3,4).(2)X的取值分別為0,2,4.P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up15(－))eq\o(B,\s\up15(－)))＝P(eq\o(A,\s\up15(－)))P(eq\o(B,\s\up15(－)))＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,10)，P(X＝2)＝eq\f(9,20)，P(X＝4)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,20)，∴X的分布列為X024Peq\f(1,10)eq\f(9,20)eq\f(9,20)∴E(X)＝0×eq\f(1,10)＋2×eq\f(9,20)＋4×eq\f(9,20)＝eq\f(27,10).12.袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求ξ的分布列，期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．解：(1)ξ的全部可能取值為0,1,2,3,4.分布列為：ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4))即為所求．[B級(jí)知能提升]1.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A.100 B.200C.300 D.400解析：記“不發(fā)芽的種子數(shù)為ξ”，則ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.答案：B2.若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的最大值為_(kāi)_______，D(ξ)的最大值為_(kāi)_______.ξ012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)解析：E(ξ)＝p＋1≤eq\f(3,2)(0≤p≤eq\f(1,2))；D(ξ)＝－p2－p＋1≤1.答案：eq\f(3,2)13.某畢業(yè)生參與人才聘請(qǐng)會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為eq\f(2,3)，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________.解析：由題意知P(X＝0)＝eq\f(1,3)(1－p)2＝eq\f(1,12)，∴p＝eq\f(1,2).隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,12)eq\f(1,3)eq\f(5,12)eq\f(1,6)E(X)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)4.[2022·湖北高考]方案在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．(1)求將來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率；(2)水電站期望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元．欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？解：(1)依題意，p1＝P(40<X<80)＝eq\f(10,50)＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝eq\f(35,50)＝0.7，p3＝P(X>120)＝eq\f(5,50)＝0.1.由二項(xiàng)分布，在將來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為p＝Ceq\o\al(0,4)(1－p3)4＋Ceq\o\al(1,4)(1－p3)3p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))4＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)