【全程復習方略】2020-2021學年北師大版高中數學必修一單元質量評估(四)

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。單元質量評估(四)第四章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.(2022·南安高一檢測)函數f(x)=3x-log2(-x)的零點所在區(qū)間是()A.-52,-2C.(1,2) D.2【解析】選B.由于f-2=19-1<0,f-1=13>0,故函數f(x)=3【變式訓練】(2021·吉安高一檢測)已知定義在R上的函數f(x)的圖像是連續(xù)不斷的,且有如下對應值表,那么函數f(x)確定存在零點的區(qū)間是()x123f(x)6.12.9-3.5A.(-∞,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,+∞)【解析】選C.依據函數零點的推斷條件,由于f(2)>0,f(3)<0,從而在區(qū)間(2,3)內函數必存在零點,故選C.2.函數f(x)在[-2,2]上是削減的,且f(-1)·f(1)>0,則方程f(x)=0在[-1,1]內()A.可能有3個實數根 B.可能有2個實數根C.有唯一的實數根 D.確定沒有實數根【解析】選D.由于f(x)在[-2,2]上是削減的,且f(-1)·f(1)>0,所以f(x)=0在[-1,1]內確定沒有實數根.【變式訓練】(2021·大慶高一檢測)實數a,b,c是圖像連續(xù)不斷的函數y=f(x)定義域中的三個數,且滿足a<b<c,f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,則函數y=f(x)在區(qū)間(a,c)上零點有()A.2個 B.奇數個C.偶數個 D.至少2個【解析】選D.由于f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,所以f(a)f(c)>0,即圖像在區(qū)間(a,c)上至少有2個交點.3.(2022·南陽高一檢測)下列說法不正確的是()A.方程f(x)=0有實數根?函數f(x)有零點B.函數y=x2+3x+5有兩個零點C.單調函數至多有一個零點D.函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線且滿足f(a)f(b)<0,則函數f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點【解析】選B.由Δ=9-20=-11<0,得方程x2+3x+5=0無解.即函數y=x2+3x+5無零點,A,C,D均正確.4.(2022·阜陽高一檢測)函數f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)內的零點個數是()A.0 B.1 C.2 【解析】選B.函數f(x)=2x+x3-2是增函數,又f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以依據根的存在性定理可知在區(qū)間(0,1)內函數的零點個數為1,選B.5.(2022·桂林高一檢測)已知二次函數f(x)=ax2+6x-1(a≠0)有兩個不同的零點,則實數a的取值范圍是()A.a>-9且a≠0 B.a>-9C.a<-9 D.a>0或a<0【解題指南】二次函數f(x)=ax2+6x-1(a≠0)有兩個不同的零點,對應方程有兩個不等實根.【解析】選A.由題意可知f(x)=0有兩個不等實根,所以a所以a>-9且a≠0.【變式訓練】若函數f(x)的零點與g(x)=4x+2x-2的零點之差的確定值不超過0.25,則f(x)可以是()A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1 D.f(x)=lnx【解析】選A.f(x)=4x-1的零點為x=14f(x)=(x-1)2的零點為x=1,f(x)=ex-1的零點為x=0,f(x)=lnx-12現在我們來估算g(x)=4x+2x-2的零點,由于g(0)=-1,g12所以g(x)的零點x∈0,又g14≈故g(x)的零點x∈14又函數f(x)的零點與g(x)=4x+2x-2的零點之差的確定值不超過0.25,只有f(x)=4x-1的零點適合.6.(2022·信陽高一檢測)已知函數f(x)=2ax+4,若在區(qū)間[-2,1]上存在零點x0,則實數a的取值范圍是()A.(-∞,-2]∪[1,+∞) B.[-1,2]C.[-1,4] D.[-2,1]【解析】選A.由題設條件知f(-2)·f(1)≤0,所以(-4a+4)(2a+4)≤0,即(-a+1)(a+2)≤0,所以a≤-2或a≥1.【一題多解】本題還可接受以下方法求解,取a=0,函數f(x)=2ax+4,在區(qū)間[-2,1]上不存在零點,排解B,C,D,選A.7.(2022·佛山高一檢測)某商場對顧客實行購物優(yōu)待活動,規(guī)定一次購物付款總額,①假如不超過200元,則不予優(yōu)待.②假如超過200元,但不超過500元,則按標準價賜予9折優(yōu)待.③假如超過500元,則其500元按第②條賜予優(yōu)待,超過500元的部分賜予7折優(yōu)待.某人兩次去購物,分別付款168元和423元,假設他只去一次購買上述同樣的商品,則應付款是()A.413.7元 B.513.6元C.546.6元 D.548.7元【解題指南】本題為分段函數型問題,求解的關鍵是找準每個消費區(qū)間上支付的最值,然后借助優(yōu)待方案回代求解便可.【解析】選C.兩次購物標價款：168+4230.9=168+470=638(元),實際應付款：500×0.9+138×8.在股票買賣過程中,經常用兩種曲線來描述價格變化狀況,一種是即時價格曲線y=f(x),另一種是平均價格曲線y=g(x),如f(2)=3表示股票開頭買賣后2小時的即時價格為3元;g(2)=3表示2小時內的平均價格為3元,下面給出了四個圖像,實線表示y=f(x),虛線表示y=g(x),其中正確的是()【解析】選C.即時價格若始終下跌,則平均價格也應當始終下跌,故排解A,D;即時價格若一路上升,則平均價格也應始終上升,排解B.(也可以由x從0開頭增大時,f(x)與g(x)應在y軸上有相同起點,排解A,D),故選C.9.(2022·南昌高一檢測)若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一個正根和一個負根,則有()A.a<0 B.a>0 C.a<-1 【解析】選A.由于一元二次方程有一個正根和一個負根,不妨設兩根為x1,x2,所以Δ>0,x解得a<0,故選A.10.函數f(x)=|x2-6x+8|-k只有兩個零點,則()A.k=0 B.k>1C.0≤k<1 D.k>1或k=0【解析】選D.令y1=|x2-6x+8|,y2=k,由題意即要求兩函數圖像有兩個交點時k的取值范圍,利用數形結合思想作出兩函數圖像可得選項D正確.【變式訓練】函數f(x)=|x|+k有兩個零點,則()A.k=0 B.k>0C.0≤k<1 D.k<0【解析】選D.在同一坐標系中畫出y1=|x|和y2=-k的圖像：由圖像知,-k>0即k<0.二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中橫線上)11.函數fx=2x-6的零點為.【解析】由2x-6=0得x=3.答案：312.(2022·杭州高一檢測)已知函數f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零點依次為a,b,c,則a,b,c的大小關系是.【解題指南】在同一平面直角坐標系中,畫出函數y=3x與y=-x的圖像,觀看交點的橫坐標就是函數f(x)=3x+x的零點;畫出函數y=log3x與y=-2的圖像,觀看交點的橫坐標就是函數g(x)=log3x+2的零點;畫出函數y=log3x與y=-x的圖像,觀看交點的橫坐標就是函數h(x)=log3x+x的零點.【解析】畫出函數y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的圖像,如圖所示觀看圖像可知,函數f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零點依次是點A,B,C的橫坐標,由圖像可知a<b<c.答案：a<b<c13.(2022·西安高一檢測)已知函數f(x)=ax2+2x+1,-2<x≤0,【解析】由于函數f(x)=a有3個零點,大致圖像如圖：所以a>0且f(x)=ax2+2x+1在(-2,0]上有2個零點,所以a解得34答案：314.(2022·錦州高一檢測)生產確定數量商品的全部費用稱為生產成本,它可以表示為商品數量的函數,現知一企業(yè)生產某種商品的數量為x件時的成本函數為c(x)=20+2x+12x2(萬元),若售出一件商品收入是20萬元,那么該企業(yè)為獵取最大利潤,應生產這種商品的數量為【解析】y=20x-c(x)=20x-20-2x-12x2-12x2答案：1815.(2022·蘇州高一檢測)已知y=x(x-1)(x+1)的大致圖像如圖所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,則下列關于f(x)=0的解敘述正確的是.①有三個實根;②x>1時恰有一實根;③當0<x<1時恰有一實根;④當-1<x<0時恰有一實根;⑤當x<-1時恰有一實根(有且僅有一實根).【解題指南】借助圖像平移及函數零點的等價轉化方式求解.【解析】f(x)的圖像是將函數y=x(x-1)(x+1)的圖像向上平移0.01個單位得到,故f(x)的圖像與x軸有三個交點,它們分別在區(qū)間(-∞,-1),0,12和1答案：①⑤三、解答題(本大題共6小題,共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16.(12分)已知函數fx的圖像是連續(xù)不斷的,有如下的x,fx對應值表：x-2-1.5-1-0.500.511.52fx-3.511.022.371.56-0.381.232.773.454.89函數fx在哪幾個區(qū)間內有零點?為什么?【解析】由于函數的圖像是連續(xù)不斷的,并且由對應值表可知f-2·f<0,f-0.5·f0<0,f0·f0所以函數fx在區(qū)間(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)內有零點.【變式訓練】方程x2-1x=0在(-∞【解析】不存在,由于當x<0時,-1x>0.所以x2-1x>0恒成立,故不存在x∈(-∞,0),使x2-17.(12分)(2022·安徽師大附中高一檢測)已知函數f(x)=2|x+1|+ax(x∈R).(1)若f(x)在R上是增函數,求a的取值范圍.(2)若函數f(x)的圖像與x軸有兩個不同的交點,求a的取值范圍.【解析】(1)化簡f(x)=(由f(x)在R上為增函數,得a+2>0,又x=-1時,y1=-a,y2=-a,故a的范圍為(2,+∞).(2)由(1)可知f(x)恒過(-1,-a),若函數f(x)圖像與x軸有兩個不同的交點,則a+2<0,a-2>0,-a>018.(12分)(2022·景德鎮(zhèn)高一檢測)已知函數f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0<a<1).(1)求函數f(x)的定義域.(2)求函數f(x)的零點.(3)若函數f(x)的最小值為-4,求a的值.【解析】(1)要使函數有意義,則有1解得-3<x<1.所以函數的定義域為(-3,1).(2)函數f(x)可化為f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3),由f(x)=0得-x2-2x+3=1即x2+2x-2=0,解得x=-1±3.由于-1±3∈(-3,1),所以f(x)的零點是-1±3.(3)函數f(x)可化為f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4].由于-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4,由于0<a<1,所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4.即f(x)min=loga4,所以loga4=-4得a-4=4,所以a=4-1419.(12分)(2022·合肥高一檢測)某種海洋生物身體的長度f(t)(單位：米)與生長年限t(單位：年)滿足如下的函數關系：f(t)=101+(1)需經過多長時間,該生物的身長超過8米?(2)該生物誕生后第3年和第4年各長了多少米?并據此推斷,這2年中哪一年長得更快.【解析】(1)由f(t)=101+2-t+4≥8,即2-t+4≤1即該生物6年后身長超過8米.(2)由于f(3)-f(2)=101+2-101+2f(4)-f(3)=101+20-10所以,第3年長了43米,第4年長了53米,由于5320.(13分)(2022·大慶高一檢測)旅行社為某旅游團包飛機去旅游,其中旅行社的包機費為15000元.旅游團中每人的飛機票按以下方式與旅行社結算：若旅游團人數在30人或30人以下,飛機票每張收費900元;若旅游團人數多于30人,則賜予優(yōu)待,每多1人,機票費每張削減10元,但旅游團人數最多為75人.(1)寫出飛機票的價格關于旅游團人數的函數.(2)旅游團人數為多少時,旅行社可獲得最大利潤?【解析】(1)設旅游團人數為x人,飛機票價格為y元,依題意,當1≤x≤30時,y=900,當30<x≤75時,y=900-10(x-30)=-10x+1200所以所求函數為：y=900(2)設利潤函數為f(x),則f(x)=y·x-15000=900當x∈[1,30]時,f(x)max=f(30)=12000(元),當x∈(30,75]時,f(x)max=f(60)=21000元>12000元,所以旅游團人數為60時,旅行社可獲得最大利潤.【誤區(qū)警示】本題易因忽視題設條件“但旅游團人數最多為75人”而遺忘限定x的上界.【變式訓練】某工廠生產商品A,每件售價80元,每年產銷80萬件,工廠為了開發(fā)新產品,經過市場調查,打算提出商品A的銷售金額的p%作為新產品開發(fā)費(即每銷售100元提出p元),并將商品A的年產銷量削減了10p萬件.(1)若工廠提出的新產品開發(fā)費不少于96萬元,求p的取值范圍.(2)若工廠僅考慮每年提出最高的開發(fā)費,求此時p的值.【解析】由題意知,當開發(fā)費是商品A的銷售金額的p%時,銷售量為(80-10p)萬件,此時銷售金額為80×(80-10p)萬元,新產品開發(fā)金額f(p)=80×(80-10p)×p%(萬元).(1)由題設知80解得2≤p≤6.即新產品開發(fā)費不少于