【優(yōu)化方案】2021屆高中數(shù)學(xué)人教版高考復(fù)習(xí)知能演練輕松闖關(guān)-第三章第8課時

[基礎(chǔ)達標(biāo)]1．(2022·河南鄭州模擬)已知A、B兩地的距離為10km，B、C兩地的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為()A．10km B．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km解析：選D．如圖所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．2.兩座燈塔A和B與海岸觀看站C的距離相等，燈塔A在觀看站南偏西40°，燈塔B在觀看站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°解析：選D．由條件及圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.3．(2021·高考天津卷)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，則sin∠BAC＝()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(10),5)C．eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(\r(5),5)解析：選C．由余弦定理可得AC＝eq\r(BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC)＝eq\r(2＋9－2×\r(2)×3×\f(\r(2),2))＝eq\r(5)，于是由正弦定理可得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，于是sin∠BAC＝eq\f(3×\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).4．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.6解析：選B．∵AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)m，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))m.∴航線離山頂h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈11.4km.∴山高為18－11.4＝6.6km.5．一艘海輪從A處動身，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀看燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀看燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：選A．如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．6.如圖，一艘船上午9∶30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°的方向，之后它連續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10∶00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，且與它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.解析：設(shè)航速為vnmile/h，在△ABS中AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，則v＝32.答案：327.(2021·高考福建卷)如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長為________．解析：∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)＝3，∴BD＝eq\r(3).答案：eq\r(3)8．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.解析：如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案：10eq\r(3)9．如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點A，B，觀看對岸的點C，測得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100m．求該河段的寬度．解：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°.由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，∴BC＝eq\f(ABsin75°,sin60°).如圖，過點B作BD垂直于對岸，垂足為D，則BD的長就是該河段的寬度．在Rt△BDC中，∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝eq\f(BD,BC)，∴BD＝BCsin45°＝eq\f(ABsin75°,sin60°)·sin45°＝eq\f(100×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(50（3＋\r(3)）,3)m，∴該河段的寬度為eq\f(50（3＋\r(3)）,3)m.10.(2021·高考課標(biāo)全國卷Ⅰ)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°.(1)若PB＝eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋eq\f(1,4)－2×eq\r(3)×eq\f(1,2)cos30°＝eq\f(7,4)，故PA＝eq\f(\r(7),2).(2)設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得eq\f(\r(3),sin150°)＝eq\f(sinα,sin（30°－α）)，化簡得eq\r(3)cosα＝4sinα，所以tanα＝eq\f(\r(3),4)，即tan∠PBA＝eq\f(\r(3),4).[力氣提升]1．一個大型噴水池的中心有一個強大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：選A．設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，依據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.2．一船自西向東勻速航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為()A．eq\f(17\r(6),2)海里/時 B．34eq\r(6)海里/時C．eq\f(17\r(2),2)海里/時 D．34eq\r(2)海里/時解析：選A．如圖，由題意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得eq\f(MN,sin120°)＝eq\f(PM,sin45°)，∴MN＝68×eq\f(\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝34eq\r(6)(海里)．又由M到N所用時間為14－10＝4(小時)，∴船的航行速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(海里/時)．3．(2022·河南鄭州模擬)在200m高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為________．解析：如圖，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200m，∴AC＝eq\f(400,3)eq\r(3)m.在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos120°＝3CD2，∴CD＝eq\f(1,\r(3))AC＝eq\f(400,3)(m)．答案：eq\f(400,3)m4．一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為________km.解析：如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2).答案：30eq\r(2)5．在海岸A處，發(fā)覺北偏東45°方向、距離A處(eq\r(3)－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75°方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)海里/小時的速度追截走私船．同時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃跑，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時間？解：如圖，設(shè)緝私船t小時后在D處追上走私船，則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°.利用余弦定理可得BC＝eq\r(6).由正弦定理，得sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，得∠ABC＝45°，即BC與正北方向垂直．于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BDsin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，得∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°.又eq\f(CD,sin120°)＝eq\f(BC,sin30°)，eq\f(10\r(3)t,\r(3))＝eq\r(6)，得t＝eq\f(\r(6),10).所以緝私船沿北偏東60°的方向能最快追上走私船，最少要花eq\f(\r(6),10)小時．6．(選做題)(2021·高考江蘇卷)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲動身2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的長．(2)問：乙動身多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處相互等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)把握在什么范圍內(nèi)？解：(1)在△ABC中，由于cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)·sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040(m)．所以索道AB的長為1040m.(2)假設(shè)乙動身tmin后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq\f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)．由于0≤t≤eq\f(1040,130)，即0≤t≤8，故當(dāng)t＝eq\f(35,37)(min)時，甲、乙兩游客距離最短．(3)由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq