【創(chuàng)新設(shè)計】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(理科)北師大版-第五章-平面向量-課時作業(yè)5-2_第1頁
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第2講平面對量基本定理及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時:40分鐘)一、選擇題1.(2022·福建卷)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是 ()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析由題意知,A選項(xiàng)中e1=0,C,D選項(xiàng)中兩向量均共線,都不符合基底條件,故選B.答案B2.(2022·南昌質(zhì)量監(jiān)測)已知在?ABCD中,eq\o(AD,\s\up6(→))=(2,8),eq\o(AB,\s\up6(→))=(-3,4),對角線AC與BD相交于點(diǎn)M,則eq\o(AM,\s\up6(→))= ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),-6)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),6))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-6)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),6))解析由于在?ABCD中,有eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)),eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)),所以eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)×(-1,12)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),6)),故選B.答案B3.(2022·青島質(zhì)量檢測)已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,則“m=-6”是“a∥(a+b)”的 ()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件解析由題意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6,則“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要條件,故選A.答案A4.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于 ()A.-eq\f(1,2)a+eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a-eq\f(3,2)bC.-eq\f(3,2)a-eq\f(1,2)b D.-eq\f(3,2)a+eq\f(1,2)b解析設(shè)c=λa+μb,∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-1=λ+μ,,2=λ-μ,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=\f(1,2),,μ=-\f(3,2),))∴c=eq\f(1,2)a-eq\f(3,2)b.答案B5.如圖,在△OAB中,P為線段AB上的一點(diǎn),eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→)),且eq\o(BP,\s\up6(→))=2eq\o(PA,\s\up6(→)),則 ()A.x=eq\f(2,3),y=eq\f(1,3) B.x=eq\f(1,3),y=eq\f(2,3)C.x=eq\f(1,4),y=eq\f(3,4) D.x=eq\f(3,4),y=eq\f(1,4)解析由題意知eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(BP,\s\up6(→)),又eq\o(BP,\s\up6(→))=2eq\o(PA,\s\up6(→)),所以eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→)))=eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→)),所以x=eq\f(2,3),y=eq\f(1,3).答案A二、填空題6.已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且u∥v,則實(shí)數(shù)x的值為________.解析由于a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又由于u∥v,所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即10x=5,解得x=eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7.若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共線,則eq\f(1,a)+eq\f(1,b)的值為________.解析eq\o(AB,\s\up6(→))=(a-2,-2),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-2,b-2),依題意,有(a-2)(b-2)-4=0,即ab-2a-2b=0,所以eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則eq\f(λ,μ)=________.解析以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形邊長為1),則A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),∴a=eq\o(AO,\s\up6(→))=(-1,1),b=eq\o(OB,\s\up6(→))=(6,2),c=eq\o(BC,\s\up6(→))=(-1,-3).∵c=λa+μb,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),即-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,解得λ=-2,μ=-eq\f(1,2),∴eq\f(λ,μ)=4.答案4三、解答題9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(BC,\s\up6(→))=b,eq\o(CA,\s\up6(→))=c,且eq\o(CM,\s\up6(→))=3c,eq\o(CN,\s\up6(→))=-2b,(1)求3a+b-3c;(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(3)求M,N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo).解由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-6m+n=5,,-3m+8n=-5,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=-1,,n=-1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),∵eq\o(CM,\s\up6(→))=eq\o(OM,\s\up6(→))-eq\o(OC,\s\up6(→))=3c,∴eq\o(OM,\s\up6(→))=3c+eq\o(OC,\s\up6(→))=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),∴M(0,20).又∵eq\o(CN,\s\up6(→))=eq\o(ON,\s\up6(→))-eq\o(OC,\s\up6(→))=-2b,∴eq\o(ON,\s\up6(→))=-2b+eq\o(OC,\s\up6(→))=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2).∴eq\o(MN,\s\up6(→))=(9,-18).10.如圖,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為DC,BC的中點(diǎn),已知eq\o(AM,\s\up6(→))=c,eq\o(AN,\s\up6(→))=d,試用c,d表示eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AD,\s\up6(→)).解法一設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,則a=eq\o(AN,\s\up6(→))+eq\o(NB,\s\up6(→))=d+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)b)), ①b=eq\o(AM,\s\up6(→))+eq\o(MD,\s\up6(→))=c+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)a)). ②將②代入①,得a=d+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)a)))),∴a=eq\f(4,3)d-eq\f(2,3)c=eq\f(2,3)(2d-c), ③將③代入②,得b=c+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))×eq\f(2,3)(2d-c)=eq\f(2,3)(2c-d).∴eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(2,3)(2d-c),eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(2,3)(2c-d).法二設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b.因M,N分別為CD,BC的中點(diǎn),所以eq\o(BN,\s\up6(→))=eq\f(1,2)b,eq\o(DM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)a,因而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c=b+\f(1,2)a,,d=a+\f(1,2)b))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=\f(2,3)2d-c,,b=\f(2,3)2c-d,))即eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(2,3)(2d-c),eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(2,3)(2c-d).力量提升題組(建議用時:25分鐘)11.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,則角C的大小為 ()A.30° B.60°C.90° D.120°解析由p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),整理得b2+a2-c2=ab,由余弦定理得cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(1,2),又0°<C<180°,∴C=60°.答案B12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)且∠AOC=eq\f(π,4),且|OC|=2,若eq\o(OC,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))+μeq\o(OB,\s\up6(→)),則λ+μ= ()A.2eq\r(2) B.eq\r(2)C.2 D.4eq\r(2)解析由于|OC|=2,∠AOC=eq\f(π,4),所以C(eq\r(2),eq\r(2)),又eq\o(OC,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))+μeq\o(OB,\s\up6(→)),所以(eq\r(2),eq\r(2))=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=eq\r(2),λ+μ=2eq\r(2).答案A13.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))=(3,-4),eq\o(OB,\s\up6(→))=(0,-3),eq\o(OC,\s\up6(→))=(5-m,-3-m),若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________.解析由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))=(-3,1),eq\o(AC,\s\up6(→))=(2-m,1-m),若A,B,C能構(gòu)成三角形,則eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))不共線,則-3×(1-m)≠1×(2-m),解得m≠eq\f(5,4).答案m≠eq\f(5,4)14.如圖,已知點(diǎn)A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以A,B,C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo).解如圖所示,以A,B,C為頂點(diǎn)的平行四邊形可以有三種狀況:①?ABCD;②?ADBC;③?ABDC.設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y),①若是?ABCD,則由eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→)),得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-1-x=-1,,-2-y=2,))∴x=0,y=-4.∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-4)(如圖中所示的D1).②若是?ADBC,由e

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