福建省南平市大洲學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

福建省南平市大洲學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a－2,5}，?UA＝{2,4}，則a的值為()A．3B．4

C．5D．6參考答案：C略2.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，（其中是的導(dǎo)函數(shù)），若，，則的大小關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，則S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2參考答案：C【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和．【分析】利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式即可得出．【解答】解：∵Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，∴n=2時(shí)，a1+a2=1+2a2，解得a2=1．n≥3時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=1+2an﹣（1+2an﹣1），化為：an=2an﹣1，∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開(kāi)始是等比數(shù)列，公比與首項(xiàng)都為2．∴S20=2+=219+1．故選：C．4.已知集合M=，集合

(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.《萊因德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問(wèn)最小的1份為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）

參考答案：【答案解析】D

解析：當(dāng)時(shí)，又是奇函數(shù)，有圖像可知，有5個(gè)零點(diǎn)，其中有兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，還有兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以這四個(gè)零點(diǎn)的和為零，第五個(gè)零點(diǎn)是直線與函數(shù)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即方程的解，，故選D.【思路點(diǎn)撥】利用時(shí)的解析式及函數(shù)的奇偶性，畫(huà)出函數(shù)的圖像，此圖像與直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為所求.7.已知集合，，則A∩B=等于（

）A.(－1,3) B.(0,3) C.(1,3) D.(2,3)參考答案：D【分析】求出集合A，然后根據(jù)數(shù)軸求出.【詳解】解：因?yàn)?，所以或，故集合{或}，又因?yàn)榧希?，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，解題的關(guān)鍵是審清題意，解析出集合中的元素.8.在銳角中，AB=3，AC=4，其面積，則BC=(

)A．

B．或

C．

D．參考答案：9.已知曲線與函數(shù)及函數(shù)的圖像分別交于，則的值為A．16

B．8

C．4

D．2參考答案：C10.若對(duì)任意的，函數(shù)滿足，且，則（

）A．1

B．-1

C．2012

D．-2012參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，且滿足，則xy的最大值為

▲

.參考答案：312.已知一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．參考答案：4【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，代入錐體體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，底面面積S=×2×3=3，高h(yuǎn)=4，故體積V==4；故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的體積和表面積，棱錐的體積和表面積，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，難度中檔．13.設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則.參考答案：由得。14.在中,則的形狀為

．參考答案：等腰三角形15.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=

．參考答案：﹣4﹣3i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得答案．【解答】解：=，故答案為：﹣4﹣3i．16.設(shè)，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含有的項(xiàng)的系數(shù)為

__參考答案：17.的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為

（用數(shù)字作答）參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，,,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，與平面所成角的正弦值為.（1）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求線段的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由；（2）求二面角的平面角的余弦值.參考答案：解：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又，可得,所以，所以，CG=,故CD=…………2分取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為,因?yàn)?，，所以為平行四邊形，得?/p>

平面

∴存在為中點(diǎn)，DF=時(shí)，使得

……5分（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、

、，從而，

，。

………7分設(shè)為平面的法向量，則可以取

…9分設(shè)為平面的法向量，則取

……11分因此，故二面角的余弦值為

……………12分19.在等差數(shù)列{an}中，a2=6，a3+a6=27．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)的和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）由（1）可知．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an=a1+（n﹣1）?d．由a2=6，a3+a6=27，可得解得．從而，an=3n．（2）由（1）可知an=3n，∴．①②①﹣②，得：故．20.已知二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+2． （Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{﹣1，1，2，3，4}，記“f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)”為事件A，求A發(fā)生的概率； （Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}，記“關(guān)于x的方程f（x）=0有一個(gè)大于1的根和一個(gè)小于1的根”為事件B，求B發(fā)生的概率． 參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；幾何概型． 【分析】（Ⅰ）因?yàn)閍有3種取法，b有5種取法，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)有3×5=15個(gè)，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，若事件A發(fā)生，則a＞0且≤1，由此利用列舉法能求出A發(fā)生的概率． （Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)镽t△AOB，由此利用幾何概型能求出B發(fā)生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閍有3種取法，b有5種取法，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)有3×5=15個(gè)． 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，若事件A發(fā)生，則a＞0且≤1． 數(shù)對(duì)（a，b）的取值為（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣1），（3，1）共5種． 所以P（A）==． （Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)镽t△AOB， 如圖．其中點(diǎn)A（6，0），B（0，）， 則△AOB的面積為××6=． 若事件B發(fā)生，則f（1）＜0，即a﹣4b+2＜0． 所以事件B對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鰾CD． 由，得交點(diǎn)坐標(biāo)為D（2，1）． 又C（0，），則△BCD的面積為×（﹣）×2=1． 所以P（B）==． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法和幾何概型的合理運(yùn)用． 21.“地溝油”嚴(yán)重危害了人民群眾的身體健康，某企業(yè)在政府部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了一種從“食品殘?jiān)敝刑釤挸錾锊裼偷捻?xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似的表示為：且每處理一噸“食品殘?jiān)?，可得到能利用的生物柴油價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，政府將補(bǔ)貼.(1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損.(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？參考答案：略22.給定整數(shù)，證明：存在n個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的集合S，使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，數(shù)

與

是互素的合數(shù)．（這里與分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個(gè)數(shù)．）參考答案：證明：我們用表示有限數(shù)集X中元素的算術(shù)平均．第一步，我們證明，正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì)：對(duì)的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，有．證明：對(duì)任意，，設(shè)正整數(shù)k滿足

，

①并設(shè)l是使的最小正整數(shù)．我們首先證明必有．

事實(shí)上，設(shè)是A中最大的數(shù)，則由，易知A中至多有個(gè)元素，即，故．又由的定義知，故由①知．特別地有．此外，顯然，故由l的定義可知．于是我們有．若，則；否則有，則

．由于是A中最大元，故上式表明．結(jié)合即知．現(xiàn)在，若有的兩個(gè)不同的非空子集A，B，使得，則由上述證明知，故，但這等式兩邊分別是A，B的元素和，利用易知必須A=B，矛盾．第二步，設(shè)K是一個(gè)固定的正整數(shù)，，我們證明，對(duì)任何正整數(shù)x，正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì)：對(duì)的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，數(shù)與是兩個(gè)互素的整數(shù)．事實(shí)上，由的定義易知，有的兩個(gè)子集，滿足，，且

．

②顯然及都是整數(shù)，故由上式知與都是正整數(shù)．現(xiàn)在設(shè)正整數(shù)d是與的