【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版選修2-1)單元質(zhì)量評(píng)估1

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元質(zhì)量評(píng)估(一)第一章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.命題“對(duì)于正數(shù)a,若a>1,則lga>0”A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.原命題“對(duì)于正數(shù)a,若a>1,則lga>0”是真命題;逆命題“對(duì)于正數(shù)a,若lga>0,則a>1”是真命題;否命題“對(duì)于正數(shù)a,若a≤1,則lga≤0”是真命題;逆否命題“對(duì)于正數(shù)a,若lga≤0,則a2.(2021·浙江高考)若α∈R,則“α=0”是“sinα<cosα”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解題指南】讓“α=0”和“sinα<cosα”其中一個(gè)作條件,另一個(gè)作結(jié)論,推斷命題是否正確.【解析】選A.當(dāng)α=0時(shí),sinα=0,cosα=1,所以sinα<cosα;若sinα<cosα,則α∈2kπ,π4+2kπ∪【變式訓(xùn)練】設(shè)x是實(shí)數(shù),則“x>0”是“|x|>0”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.由x>0?|x|>0,充分,而|x|>0?x>0或x<0,不必要.3.(2022·湖南高考)設(shè)命題p:?x∈R,x2+1>0,則p為()A.?x0∈R,x02+1>0 B.?x0∈R,x0C.?x0∈R,x02+1<0 D.?x∈R,x2+1【解題指南】依據(jù)“全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是全稱命題,即:若命題p:?x∈D,qx,則p:?x0∈D,qx0;若命題p:?x0∈D,qx0,則p:?x∈D,qx”求解.【解析】選B.p:?x0∈R,x02+1≤4.(2022·成都高二檢測(cè))已知命題p:“x>3”是“x2>9”的充要條件,命題q:“ac2>bc2A.“p∨q”為真 B.“p∧q”為真C.p真q假 D.p,q均為假【解析】選A.由x>3能夠得出x2>9,反之不成立,故命題p是假命題;由ac2>bc2能夠推出a>b,反之,由于1c5.(2022·襄陽(yáng)高二檢測(cè))下列命題中是全稱命題的是()A.圓有內(nèi)接四邊形B.3>2C.3<2D.若三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5,則這個(gè)三角形為直角三角形【解析】選A.由全稱命題的定義可知:“圓有內(nèi)接四邊形”,即為“全部圓都有內(nèi)接四邊形”,是全稱命題.6.命題?x0∈QUOTERQ,x03∈Q的否定是()A.?x0?QUOTERQ,x03∈Q B.?x0∈QUOTERQ,x03?QC.?x?QUOTERQ,x3∈Q D.?x∈QUOTERQ,x3?Q【解析】選D.由特稱命題的否定是全稱命題可知結(jié)果.7.(2022·江西高考)下列敘述中正確的是()A.若a,b,c∈R,則“ax2+bx+c≥0”的充分條件是“b2-4ac≤B.若a,b,c∈R,則“ab2>cb2”的充要條件是“a>cC.命題“對(duì)任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,有x0D.l是一條直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,若l⊥α,l⊥β,則α∥β【解題指南】利用規(guī)律用語(yǔ)的學(xué)問(wèn)逐一驗(yàn)證.【解析】選D.對(duì)于選項(xiàng)A,a<0時(shí)不成立;對(duì)于選項(xiàng)B,b=0時(shí)不成立;對(duì)于選項(xiàng)C,應(yīng)為x0對(duì)于選項(xiàng)D,垂直于同始終線的兩平面平行.所以只有D正確.8.(2022·煙臺(tái)高二檢測(cè))已知p:α≠β,q:cosα≠cosβ,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解題指南】依據(jù)原命題與其逆否命題的真假性相同,要推斷p是q的什么條件,只需推斷q是p的什么條件.【解析】選B.p:α=β;q:cosα=cosβ,明顯p?q成立,但qp,所以q是p的必要不充分條件,即p是q的必要不充分條件.9.(2022·海口高二檢測(cè))已知命題p:?x0∈(-∞,0),2x0<3x0,命題q:?xA.p∧q B.p∨(q)C.(p)∧q D.p∧(q)【解析】選C.由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,命題p是假命題,由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,命題q是真命題,則命題“p∧q”為假命題,命題“p∨(q)”為假命題,命題“(p)∧q”為真命題,命題“p∧(q)”為假命題,故選C.10.(2022·杭州高二檢測(cè))命題“?x∈[1,2],x2-a≤0”A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5【解析】選C.命題“?x∈[1,2],x2-a≤0”為真命題的充要條件是a≥4,故其充分不必要條件是實(shí)數(shù)a的取值范圍是集合[4,+∞【誤區(qū)警示】本題易毀滅的誤區(qū)是條件與結(jié)論沒有區(qū)分開,若a是b成立的條件,則a是條件,b是結(jié)論,若a成立的條件是b,則結(jié)論是a.11.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)?x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2(x-3)2,若函數(shù)y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為()A.0,2C.0,5【解題指南】對(duì)函數(shù)恒等式進(jìn)行賦值,探究函數(shù)的周期性、對(duì)稱性,畫出函數(shù)圖象,建立不等式求解.【解析】選B.由于定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)?x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),得f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0,故f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期T=2,圖象以x=2為對(duì)稱軸,作出f(x)的部分圖象,如圖,由于y=loga(x+1)的圖象與f(x)的圖象至少有三個(gè)交點(diǎn),即有l(wèi)oga(2+1)>f(2)=-2且0<a<1,解得a∈0,12.下列各小題中,p是q的充分必要條件的是()①p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;②p:f(-x)③p:A∩B=A;q:QUOTEUB?QUOTEUA;④p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn).A.①② B.②③ C.③④ D.②③④【解析】選C.當(dāng)α=π3,β=-π3時(shí),cosα=cosβ,tanα≠tanβ,故pq,同理pq,①不符合;由f(-x)f(x)=1?f(x)=f(-x)?f(x)為偶函數(shù),而逆命題為假,如f(x)=x2,由A∩B=A?A?B?QUOTEUB?QUOTEUA,③符合;函數(shù)y=x2+mx+m+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的充要條件為Δ=m2-4(m+3)>0,即(m+2)(m-6)>0,解得m<-2或m>6,④符合.【誤區(qū)警示】原命題與逆命題都真時(shí),命題的條件與結(jié)論互為充要條件,本題易忽視對(duì)命題“若p,則q”以及逆命題“若q,則p”的真假的推斷而誤選D.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13.(2022·許昌高二檢測(cè))命題“到圓心的距離不等于半徑的直線不是圓的切線”的逆否命題是____________________.【解析】逆否命題只需將原命題的條件與結(jié)論變換并否定即可.逆否命題為:圓的切線到圓心的距離等于半徑.答案:圓的切線到圓心的距離等于半徑14.(2022·九江高二檢測(cè))命題p:?α0,sinα0>1是(填“全稱命題”或“特稱命題”),它是命題(填“真”或“假”),它的否定p:,它是命題(填“真”或“假”).【解析】命題p含有存在量詞“?”,故p是特稱命題,是假命題,它的否定是全稱命題,真命題.答案:特稱命題假?α,sinα≤1真15.(2022·蘭州高二檢測(cè))已知命題p:|x2-x|≠6,q:x∈N,且“p∧q”與“q”都是假命題,則x的值為.【解析】由“p∧q”與“q”都是假命題,知p假q真,得|x2答案:316.(2021·天津高考)已知下列三個(gè)命題:①若一個(gè)球的半徑縮小到原來(lái)的12,則其體積縮小到原來(lái)的1②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等,則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等;③直線x+y+1=0與圓x2+y2=12其中真命題的序號(hào)是.【解析】命題①由球的體積公式可知,一個(gè)球的半徑縮小到原來(lái)的12,則其體積縮小到原來(lái)的18,正確;命題②兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等,若其離散程度不同,則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也不相等,故該命題錯(cuò)誤;命題③圓心(0,0)到直線x+y+1=0的距離d=12=22,與圓x2+y答案:①③三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)(2022·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))(1)寫出命題:“若x2-3x+2=0,則x=1或x=2”(2)已知集合P={x|-1<x<3},S={x|x2+(a+1)x+a<0},且x∈P的充要條件是x∈S,求實(shí)數(shù)a的值.【解析】(1)原命題為真,逆命題:若x=1或x=2,則x2-3x+2=0,是真命題;否命題:若x2-3x+2≠0,則x≠1且x≠2,是真命題;逆否命題:若x≠1且x≠2,則x2-3x+2≠0,是真命題.(2)由于S={x|x2+(a+1)x+a<0}={x|(x+1)(x+a)<0},P={x|-1<x<3}={x|(x+1)(x-3)<0},由于x∈P的充要條件是x∈S,所以a=-3.18.(12分)(2022·揚(yáng)州高二檢測(cè))推斷下列命題是全稱命題還是特稱命題,并推斷其真假.(1)至少有一個(gè)整數(shù),它既能被11整除,又能被9整除.(2)?x∈{x|x>0},x+1x≥(3)?x0∈{x|x∈Z},log2x0>2.【解析】(1)命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)”,因此是特稱命題,真命題.(2)命題中含有全稱量詞“?”,是全稱命題,真命題.(3)命題中含有存在量詞“?”,是特稱命題,真命題.19.(12分)求關(guān)于x的方程ax2+22x+a+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根的充要條件.【解析】方程ax2+22x+a+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根的充要條件是:方程只有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根或有一個(gè)正實(shí)數(shù)根與一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根,或有一負(fù)一零根,設(shè)兩根為x1,x2,則a=0或Δ或Δ或Δ即a=0或a2+a-2<0,或a即a=0或-2<a<1,-1<a<0a=0或-1<a<0或0<a≤1,即-1<a≤1.即方程ax2+22x+a+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根的充要條件是-1<a≤1.【拓展提升】分類爭(zhēng)辯的思想在求充要條件中的應(yīng)用對(duì)于含有參數(shù)的數(shù)學(xué)式子,或者有關(guān)幾何圖形的不同位置等問(wèn)題,解題時(shí)通常要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類爭(zhēng)辯.分類爭(zhēng)辯時(shí)要清楚全面,做到不重復(fù)、不遺漏,分類爭(zhēng)辯后,要進(jìn)行概括性的整合總結(jié).20.(12分)(2022·宿州高二檢測(cè))已知命題p:方程x2-2mx+m=0沒有實(shí)數(shù)根;命題q:?x∈R,x2+mx+1≥0.(1)寫出命題q的否定“q”.(2)假如“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)q:?x0∈R,x02+mx0(2)若方程x2-2mx+m=0沒有實(shí)數(shù)根,則Δ=4m2若?x∈R,x2+mx+1≥0,則m2-4≤0,解得-2≤m≤2,即q:-2≤m≤2.由于“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,所以p,q兩命題應(yīng)一真一假,即p真q假或p假q真.則0<m<1,m>2解得-2≤m≤0或1≤m≤2.【拓展延長(zhǎng)】完善解決參數(shù)問(wèn)題通過(guò)已知條件,探究命題的真假,然后求解參數(shù)的取值范圍,是規(guī)律用語(yǔ)部分常見的、基本的題型.解決此類問(wèn)題要從三個(gè)方面入手:(1)嫻熟把握真值表,推斷單個(gè)命題p,q的真假.(2)具備豐富的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)儲(chǔ)備,求解單個(gè)命題成立的參數(shù)范圍.(3)掛念應(yīng)用集合的運(yùn)算確定參數(shù)的最終范圍.21.(12分)已知條件p:|5x-1|>a(a>0)和條件q:12x2-3x+1>0,請(qǐng)選取適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)a的值,分別利用所給的兩個(gè)條件作為A,B構(gòu)造命題:【解析】已知條件p即5x-1<-a,或5x-1>a,所以x<1-a5,或x>已知條件q即2x2-3x+1>0,所以x<12令a=4,則p即x<-35,或x>1,此時(shí)必有p?故可以選取的一個(gè)實(shí)數(shù)是a=4,A為p,B為q,對(duì)應(yīng)的命題是若p則q,由以上過(guò)程可知這一命題為真命題,但它的逆命題為假命題.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2).(1)若f(x)能表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)的和,求g(x)與h(x)的解析式.(2)命題p:函數(shù)f(x)在區(qū)間[(a+1)2,+∞)上是增函數(shù);命題q:函數(shù)g(x)是減函數(shù).假如命題p,q有且只有一個(gè)是真命題,求a的取值范圍.【解析】(1)由于f(x)=g(x)+h(x)①,g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x),所以f(-x)=-g(x)+h(x)②,(①-②)÷2得g(x)=(a+1)x,(①+②)÷2得h(x)=x2+lg|a+2|.(2)由于函數(shù)f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|在區(qū)間