成都九中高二下數(shù)學(xué)試卷

成都九中高二下數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的是（）

A.$y=\frac{1}{x}$

B.$y=x^2-2x+1$

C.$y=\sqrt{x}$

D.$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$

2.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則$a$的取值范圍是（）

A.$a\neq0$

B.$a\neq1$

C.$a\neq-1$

D.$a\neq0$且$a\neq1$

3.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f'(x)$（）

A.$f'(x)=3x^2-6x+4$

B.$f'(x)=3x^2-6x+3$

C.$f'(x)=3x^2-6x+2$

D.$f'(x)=3x^2-6x+1$

4.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，則$f(-1)$的值是（）

A.$-1$

B.$1$

C.$0$

D.無解

5.若直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$k$的取值范圍是（）

A.$k\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

B.$k\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

C.$k\in(-1,1)$

D.$k\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

6.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，求$f''(x)$（）

A.$f''(x)=6x^2-6x+4$

B.$f''(x)=6x^2-6x+3$

C.$f''(x)=6x^2-6x+2$

D.$f''(x)=6x^2-6x+1$

7.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$處取得極小值，則$f(1)$的值是（）

A.$-1$

B.$0$

C.$1$

D.無解

8.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，則$f'(x)$（）

A.$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$

B.$f'(x)=\frac{1}{x^2}$

C.$f'(x)=-\frac{1}{x}$

D.$f'(x)=\frac{1}{x}$

9.若直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$b$的取值范圍是（）

A.$b\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

B.$b\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

C.$b\in(-1,1)$

D.$b\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

10.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，求$f'(1)$（）

A.$f'(1)=2$

B.$f'(1)=3$

C.$f'(1)=4$

D.$f'(1)=5$

二、判斷題

1.在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意一條直線，其斜率存在且唯一。（）

2.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$處取得極值，則該極值為極大值。（）

3.對(duì)于任意一個(gè)二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，其圖像的對(duì)稱軸為$x=-\frac{2a}$。（）

4.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$處可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(1)$存在。（）

5.任意一個(gè)正弦函數(shù)的圖像都是周期性的。（）

三、填空題

1.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________。

2.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)是_________。

3.直線$y=3x-2$與圓$x^2+y^2=9$的交點(diǎn)坐標(biāo)是_________和_________。

4.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$處的二階導(dǎo)數(shù)是_________。

5.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，則系數(shù)$a$的取值范圍是_________。

四、簡答題

1.簡述函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的單調(diào)性和極值情況。

2.如何判斷一個(gè)二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)？

3.請解釋函數(shù)的周期性和奇偶性的概念，并舉例說明。

4.簡述如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性。

5.請說明如何求一個(gè)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸方程。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算下列極限：$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5x+7}{x-2}\right)$

2.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-9x^2+12x+3$，求$f'(x)$和$f''(x)$，并判斷函數(shù)的單調(diào)性。

3.計(jì)算直線$y=x+1$與曲線$y=\sqrt{x}$在點(diǎn)$(1,2)$處的切線斜率，并求出切線方程。

4.解方程組：$\begin{cases}x^2+y^2=1\\x-y=1\end{cases}$，并求出所有解。

5.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$，求$f(x)$在區(qū)間$[0,3]$上的最大值和最小值。

六、案例分析題

1.案例分析：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=3x^2+4x+2$，其中$x$為生產(chǎn)的數(shù)量。已知每單位產(chǎn)品的售價(jià)為$10$元，市場需求函數(shù)為$Q(x)=18-2x$。請分析以下情況：

a.計(jì)算該公司的收益函數(shù)$R(x)$；

b.求出使得公司利潤最大化的生產(chǎn)數(shù)量$x$；

c.分析在市場需求函數(shù)$Q(x)$變化時(shí)，公司的最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量如何變化。

2.案例分析：某城市打算建設(shè)一條新的高速公路，預(yù)計(jì)長度為100公里。高速公路的建設(shè)成本與長度成正比，已知每公里的建設(shè)成本為$1$億元。此外，每公里的運(yùn)營成本為$0.5$億元，且運(yùn)營成本隨使用年限增加而增加，每年增加$0.1$億元。高速公路的壽命預(yù)計(jì)為20年。請分析以下情況：

a.計(jì)算建設(shè)這條高速公路的總成本；

b.如果高速公路的收費(fèi)是每輛車$5$元，計(jì)算至少需要多少年才能收回投資；

c.分析高速公路的運(yùn)營成本如何影響其盈利能力。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：一個(gè)長方體的長、寬、高分別為$2x$、$3x$和$4x$，求長方體的體積$V$關(guān)于$x$的函數(shù)表達(dá)式，并計(jì)算當(dāng)$x=5$時(shí)，長方體的體積。

2.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其固定成本為$1000$元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的可變成本為$5$元。若售價(jià)為$20$元，求利潤函數(shù)$P(x)$，并計(jì)算生產(chǎn)$100$件產(chǎn)品時(shí)的利潤。

3.應(yīng)用題：一個(gè)物體的質(zhì)量$m$隨時(shí)間$t$的變化關(guān)系為$m(t)=10t^2-20t+5$，其中$t$以小時(shí)為單位。求物體在$t=2$小時(shí)時(shí)的質(zhì)量，以及物體質(zhì)量隨時(shí)間變化的速率。

4.應(yīng)用題：一個(gè)物體的位移$s$隨時(shí)間$t$的變化關(guān)系為$s(t)=t^3-6t^2+9t$，其中$t$以秒為單位。求物體在$t=3$秒時(shí)的位移，以及物體速度隨時(shí)間變化的速率。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.B

2.C

3.A

4.A

5.D

6.A

7.A

8.A

9.D

10.A

二、判斷題

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空題

1.(1,2)

2.-2

3.(1,2)，(-3,-2)

4.6

5.$a>0$

四、簡答題

1.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$處取得極小值，因?yàn)?f'(x)=3x^2-6x+4$，當(dāng)$x=1$時(shí)，$f'(1)=1>0$，且$f''(x)=6x-6$，當(dāng)$x=1$時(shí)，$f''(1)=-6<0$，所以$f(x)$在$x=1$處取得極小值。

2.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的判別式$D=b^2-4ac<0$，則函數(shù)與x軸無交點(diǎn)；若$D=0$，則函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；若$D>0$，則函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

3.周期性：函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+T)=f(x)$，其中$T$為常數(shù)，稱為周期；奇偶性：若$f(-x)=-f(x)$，則函數(shù)為奇函數(shù)；若$f(-x)=f(x)$，則函數(shù)為偶函數(shù)。

4.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f'(a)<0$，$f'(b)>0$，則函數(shù)在$(a,b)$內(nèi)單調(diào)遞增；若$f'(a)>0$，$f'(b)<0$，則函數(shù)在$(a,b)$內(nèi)單調(diào)遞減。

5.二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為$x=-\frac{2a}$。

五、計(jì)算題

1.$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5x+7}{x-2}\right)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5+\frac{7}{x}}{1-\frac{2}{x}}\right)=5$

2.$f'(x)=6x^2-9x+12$，$f''(x)=12x-9$，函數(shù)在$x=\frac{3}{4}$處取得極小值，單調(diào)性為：在$(0,\frac{3}{4})$內(nèi)單調(diào)遞減，在$(\frac{3}{4},+\infty)$內(nèi)單調(diào)遞增。

3.切線斜率$k=\frac{dy}{dx}\bigg|_{(1,2)}=\frac{1}{2}$，切線方程為$y-2=\frac{1}{2}(x-1)$，即$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。

4.解得$x=1$或$x=-3$，交點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,1)$和$(-3,5)$。

5.$f'(x)=3x^2-12x+9$，$f''(x)=6x-12$，函數(shù)在$x=2$處取得極小值，最大值為$f(2)=5$，最小值為$f(3)=2$。

六、案例分析題

1.a.$R(x)=10x(18-2x)-(3x^2+4x+2)=180x-20x^2-3x^2-4x-2=-23x^2+176x-2$；

b.令$R(x)=0$，解得$x=7.56$，即生產(chǎn)$7.56$件產(chǎn)品時(shí)利潤最大；

c.隨著市場需求減少，最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量會(huì)減少。

2.a.總成本$C=1000+100\times1=2000$億元；

b.收益$R=100\times5=500$億元，至少需要$40