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文檔簡介
平行四邊形典型例題1.已知如圖12-1-19,所示□ABCD的對角線AC、BD相交于點O,OE上AD于E,OF⊥BC于F.求證:四邊形AECF是平行四邊形錯證:在△AOE和△COF中∵OE⊥AD,OF⊥BC
∴∠AEO=∠CFO=90°∵四邊形ABCD為平行四邊形∴OA=OC,AD∥BC
∴∠EAC=∠ACF∴△AOE≌△COF(AAS)
∴OF=OE∴四邊形AECF是平行四邊形錯誤分析:上面證明由OF=OE,OA=OC不能說明EF與AC互相平分,因為原題設中沒有說明E、O、F三點共線,因此先證E、O、F三點共線.正確證明:在△AOE和△COF中∵OE⊥AD
OF⊥BC
∴∠AEO=∠CFO=90°∵四邊形ABCD為平行四邊形∴OA=OC,AD∥BC
∴∠EAC=∠ACF∴△AOE≌△COF(AAS)
∴OF=OE又∵AD∥BC,OE⊥AD,OF⊥BC∴E、O、F三點共線∴四邊形AECF是平行四邊形2.如圖12-1-22所示,現(xiàn)有一塊等腰直角三角形的鐵板,通過切割焊接成一個含有45°角的平行四邊形,請你設計一種最簡單的方案,并證明你的方案確實得到的是一個符合條件的平行四邊形.分析:運用三角形全等,平行四邊形的識別方法來解答,在證明時不要忽略證明F,E,D共線.解:取AC、BC的中點E、D連結ED,則沿ED切割下來,如圖使點E不變,點C與點A重合,再焊接上去最簡單.證明:在Rt△ABC中
∵AC=BC
∴∠B=45°又∵E、D分別為AC、BC的中點∴EC=DC
∴∠CED=∠CDE=45°∴∠AEF=∠CED=45°
∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED=180°∴F、E、D在一條直線上
∵∠EAF=∠C=90°
∴AF∥CD又∵AF=CD=DB
∴四邊形AFDB是平行四邊形,且∠B=45°3.如圖12-1-23,在□ABCD的對角線上取兩點E、F,且BF=DE,請至少用兩種不同的方法證明四邊形AECF是平行四邊形,并指出哪種方法最簡便.分析:可證兩組對邊分別相等,也可證對角線互相平分.證明方法(一)在△ABF和△CDE中,AB=CD,BF=DE,∠ABF=∠CDE.∴△ABF≌△CDE
∴AF=CE同理可證AE=CF,故四邊形AECF是平行四邊形方法(二)連AC交BD于O在□ABCD中,OA=OC,OB=OD∵BF=DE
∴OE=OF
∴四邊形AECF為平行四邊形C.兩條對角線互相平分
D.一對鄰角互補6.以下結論正確的是(
)A.對角線相等,且一組對角也相等的四邊形是平行四邊形.B.一邊長為5,兩條對角線分別是4和6的四邊形是平行四邊形.C.一組對邊平行,且一組對角相等的四邊形是平行四邊形.D.對角線相等的四邊形是平行四邊形.7.在□ABCD中,點E、F分別在邊BC、AD上,如果點E,F(xiàn)分別由下列各種情況得到的,那么四邊形AECF不一定是平行四邊形的是(
)A.AE、CF分別平分∠DAB、∠BCDB.AE,CF使∠BEA=∠CFDC.E、F分別是BC、AD的中點D.BE=BC,AF=AD8.□ABCD對角線交點為O,△OBC的周長為59cm,且AD=28cm,兩對角線之差為14cm,則對角線長為(
)A.12cm和9cm
B.24cm和38cmC.8.5cm和22.5cm
D.15.5cm和29.5cm四、解答題1.如圖12-1-31所示,在□ABCD中,AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,四邊形AECF是平行四邊形嗎?2.如圖12-1-32所示,四邊形ABCD中∠B=∠D,∠1=∠2,則四邊形ABCD是平行四邊形嗎?為什么?3.如圖12-1-33所示,四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,E、F分別是OD、OB上一點,若∠ECD=∠FAB,EC=AF,則四邊形AECF是平行四邊形嗎?為什么?4.如圖12-1-34所示,四邊形ABCD中AB=CD,∠DBC=90°,F(xiàn)D⊥AD于D,求證四邊形ABCD是平行四邊形.5.如圖12-1-35所示,△ABC中DE在BC邊上,N、M在AB、AC上,且EN與DM互相平分,MD∥AB,NE∥AC求證:BD=DE=CE五、證明題1.已知:如圖12-1-18,在□ABCD中,E、F是對角線BD上的兩點,且BE=DF.求證:(1)AE=CF(2)AE∥CF2.已知:如圖12-1-19,四邊形ABCD為平行四邊形,E、F是直線BD延長線上的兩點,且DE=BF,求證AE=CF參考答案一、填空題1.平行四邊形
點撥:由一組對邊平行且相等,即可判斷2.平行四邊形3.130°,50°,130°4.平行四邊形
點撥:由題意可得兩組對邊分別平行5.4個
點撥:□ABCD,□ADFE,□EFCB,□EDFB6.3個
□AECF,□APCQ,□AMCN二、判斷題1.√
2.×點撥:對角線不一定相等,但互相平分3.√
4.√5.×點撥:對角線不平分一組對角,只是自己互相平分
6.√三、選擇題1.B
2.D
3.A
4.D
5.C
6.C
7.B
8.B四、解答題1.解:四邊形AECF是平行四邊形點撥:由□ABCD知∠BCD=∠BAD,又AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,故∠EAF=∠ECF,又∠AF∥EC,故∠AEC+∠EAF=18O°,即∠AEC+∠ECF=18O°,所以AE∥CF,故四邊形AECF是平行四邊形.2.解:四邊形ABCD是平行四邊形由∠1=∠2得DC∥AB,所以∠D+∠DAB=18O°,又∠B=∠D,所以∠DAB+∠B=180°,所以AD∥BC,即四邊形ABCD為平行四邊形.3.解:是平行四邊形點撥:AB∥CD,故∠ACD=∠CAB,又∠ECD=∠FAB,故∠ACD-∠ECD=∠CAB-∠FAB,即∠ACE=∠CAF,所以CE=AF,CE=AF,故AFCE是平行四邊形.4.證明:∵BD⊥AD
∴∠BDA=90°∵∠DBC=90°,DC=AB,DB=DB∴△ADB≌△CBD
∴AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形5.證明:∵NE,MD互相平分∴四邊形MNDE為平行四邊形
∴MNDE又∵MD∥AB,NE∥AC
∴四邊形MNBD、MNEC為平行四邊形∵MN=BD,MN=CE
∴BD=DE=CE五、證明題1.證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形∴ABDC
∴∠ABE=∠CDF在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF
∴
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