2016-2018年高考全國卷文科數(shù)學(xué)試題答案解析

2016-2018全國卷文數(shù)

2018/2017/2016全國I卷

2018/2017/2016全國H卷

2018/2017/2016全國III卷

1

2018年全國卷1文科數(shù)學(xué)解析

1.已知集合人={0.2},B={-2,-1,0,1.2),則AAB=

A.{0.2}B.{1.2}C.{0}D.{-2,-1.0,1,2)

【答案】A

【解析】分析：利用集合的交集中元素的特征，結(jié)合題中所給的集合中的元素，求得集合APIB

中的元素，最后求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)集合交集中元素的特征，可以求得AAB={0,2},故選A.

點睛：該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問題，在解題的過程中，需要明確交集中元素的特征，

從而求得結(jié)果.

2.設(shè)2=--+2i,則|z|=

1+i

A.0B.；C.1D.3

【答案】C

【解析】分析：首先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，將其化簡得到2=、根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，得到|z|=l,

從而選出正確結(jié)果.

?￥初eI]T(1T)2-2i

]羊解：因為z------1-2i-----------n2i-----F2i=i?

1+i(12

所以|z|=Jo+尸=1,故選C.

點暗：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的概念及求解公式，利用復(fù)數(shù)的除法及加法

運(yùn)算法則求得結(jié)果，屬于簡單題目.

3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍.實現(xiàn)翻番.為更好地了解

該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比

例.得到如下餅圖：

2

種植收入種植收入

則下面結(jié)

例設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村速設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

【答案】A

【解析】分析：首先設(shè)出新農(nóng)村送設(shè)前的經(jīng)濟(jì)收入為M,根據(jù)題意，得到新農(nóng)村建設(shè)后的經(jīng)

濟(jì)收入為2M,之后從圖中各項收入所占的比例，得到其對應(yīng)的收入是多少，從而可以比較

其大小，并且得到其相應(yīng)的關(guān)系，從而得出正確的選項.

詳解：設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為N,而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M,

則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M,而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M,所以種植收入增加

了，所以A項不正確：

新農(nóng)村建設(shè)前其他收入我0.04M,新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M,故增加了一倍以上，所以

B項正確；

新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M,新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M,所以增加了一倍，所以C項正確；

新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的綜合占經(jīng)濟(jì)收入的30%+28%=58%>50%,所以

超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半，所以D正確；

故選A.

3

點暗：該題考查的是有關(guān)新農(nóng)村建設(shè)前后的經(jīng)濟(jì)收入的構(gòu)成比例的餅形圖，要會從圖中讀出

相應(yīng)的信息即可得結(jié)果.

22

4.已知橢圓C:二+1=1的一個焦點為(2.0),則C的離心率為

a24

A1n1c/n2yli

A.-B.-C.—D.—

3223

【答案】C

【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的條件桶圓的一個焦點為(2,0),從而求得c=2,再根據(jù)

題中所給的方程中系數(shù)，可以得到b?=4,利用橢圓中對應(yīng)a,b,c的關(guān)系，求得a=2屈最后利

用橢圓離心率的公式求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)題意，可知c=2,因為b?=4,

所以a?=b2+c2=8?即a=23,

2g

所以桶圓C的離心率為e---=■,故選C.

2a2

點暗：該題考查的是有關(guān)橢圓的離心率的問題，在求解的過程中，一定要注意離心率的公式,

再者就是要學(xué)會從題的條件中判斷與之相關(guān)的量，結(jié)合橢圓中a,b,c的關(guān)系求得結(jié)果.

5.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1，O2,過直線的平面截該圓柱所得的截面是

面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

A.12&B.12nC.8伍D.\On

【答案】B

【解析】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半

徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.

詳解：根據(jù)題意，可得微面是邊長為2啦的正方形，

結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是啦的圓，且高為2死，

所以其表面積為S=2解物?+2兀.也.2"=⑵，故選B.

4

點暗：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確

定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要

注意是兩個底面圓與側(cè)面積的和.

6.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(aT)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y-f(x)在點(0,0)處的切線方程為

A.y=-2xB,y=-xC.y=2xD.y=x

【答案】D

【解析】分析：利用聲函數(shù)偶此項系數(shù)為零求得a=l,進(jìn)而得到f(x)的解析式，再對f(x)求導(dǎo)

得出切線的斜率k,進(jìn)而求得切線方程.

詳解：因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以a-l=0,解得a=l,

所以f(x)=x3+x,f(x)=3x2+b

所以F(0)=Lf(0)=0,

所以曲線y-f(x)在點(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f(0)x,

化簡可得丫=乂，故選D.

點睛：該題考查的是有關(guān)曲線丫=￡儀建某個點(々Exo))處的切線方程的問題，在求解的過程

中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結(jié)論多項式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項，偶函

數(shù)不存在奇次項，從而求得相應(yīng)的參數(shù)值，之后利用求導(dǎo)公式求得F(x),借助于導(dǎo)數(shù)的幾何

意義，結(jié)合直線方程的點斜式求得結(jié)果.

7.在△陽(：中，AD為BC邊上的山線，E為AD的中點，則血=

3-1-1-3-

A.-AB—ACB.-AB—AC

4444

3-1-1-3-

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

-1-1-

【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得BE=-BA+-BC,

22

5

之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則------三角形法則，得到比=BA+R,之后將其合并，得

到B百=^8\+笈，下一步應(yīng)用相反向量，求得=從而求得結(jié)果.

4444

詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

-1-1-1-1--1-1-1-3-1-

BE=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC)=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222224444

“-3-1-

所以EB=-AB—AC,故L選A.

44

點睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向

量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要

認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.

8.已知函數(shù)f(x)=2cos2x-sin2x+2，則

A.f(x)的最小正周期為n,最大值為3

B.f(x)的最小正周期為n,最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2%最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2m最大值為4

【答案】B

【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，將解析式化簡為

f(x)=2cos2x+2,之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項.

詳解：根據(jù)題意有f(x)=cos2x+1+cos2x+1=2cos2x+2,

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T=—="，

0

且最大值為f(X)max=2+2=4,故選B.

6

點睛：該題考查的是有關(guān)化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的

性質(zhì)，在解題的過程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結(jié)果.

9.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對

應(yīng)點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑

B

中，最短路徑的長度為

A.2拒B.26

C.3D,2

【答案】B

【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，點M

在上底面上，點N在下底面上，并且將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩

形的對角線的端點處，根據(jù)平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，

可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長

方形的對角線的端點處，

所以所求的最短路徑的長度為匹于=2而，故選B.

點晴：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，

需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就

是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.

10.在長方體ABCD-A[B[C]D]中，AB=BC=2,AC1與平面BBRg所成的角為30。，則該長

方體的體積為

7

A.8B.6yliC.8/D.8布

【答案】C

【解析】分析：首先畫出長方體ABCD-A[B]C]D],利用題中條件，得到ZAC1B=30°,根據(jù)

AB=2,求得Bg=2由，可以確定CC]=23,之后利用長方體的體積公式

詳解：在長方體ABCD-A[B[C[D]中，連接BC】，

根據(jù)線面角的定義可知4AC]B=30°,

因為AB=2,所以BCI=R5,從而求得CC]=2。，

所以該長方體的體積為V=2x2*2拒=8也故選C.

點睛：該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公

式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長久顯

得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.

11.已知角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點A(l,a),

B(2.b),且

2,

cos2a=則|a—b|=

1J52而

A.-B.上C.D.1

555

【答案】B

8

2

【解析】分析：首先根據(jù)兩點都在角的終邊上，得到b=2a,利用cos2d=§,利用倍角公式

以及余弦函數(shù)的定義式，求得從而得到間=g,再結(jié)合b=2a,從而得到

|a-b|=|a"2a|=從而確定選項.

詳解：根據(jù)題的條件，可知QAB三點共線，從而得到b=2a,

212

因為cos2a=2cosa-1=2,(.)2-1=

Ja2+13

解得/=?，即|a|=1，所以|a-b|=|a-2al=1，故選B.

點晴：該題考查的是有關(guān)角的終邊上點的縱坐標(biāo)的差值的問題，涉及到的知識點有共線的點

的坐標(biāo)的關(guān)系，余弦的倍角公式，余弦函數(shù)的定義式，根據(jù)題中的條件，得到相應(yīng)的等量關(guān)

系式，從而求得結(jié)果.

12.設(shè)函數(shù)f(x)=『；，濕),則滿足f(x+l)vf(2x)的x的取值范圍是

A.(-co.-1]B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(-00.0)

【答案】D

【解析】分析：首先根據(jù)題中所紿的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有

f(x+l)vf(2x)成立，一定會有二個,從而求得結(jié)果.

(ZX<X十1

詳解：將函數(shù)f(x)的圖像畫出來，

所以滿足f(x+l)vf(2x)的x的取值范圍是(-8.0),故選D.

9

點睛：該題考查的是有關(guān)通過函數(shù)值的大小來推斷自變量的大小關(guān)系，從而求得相關(guān)的參數(shù)

的值的問題，在求解的過程中，需要利用函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像，從而得到要出現(xiàn)函數(shù)值

的大小，絕對不是常函數(shù)，從而確定出自變量的所處的位置，結(jié)合函數(shù)值的大小，確定出自

變量的大小，從而得到其等價的不等式組，從而求得結(jié)果.

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知函數(shù)f(x)=logXx2+a),若f(3)=l,則2=.

【答案】-7

【解析】分析：首先利用題的條件f(3)=l,將其代入解析式，得到f(3)=log2(9+a)=l,從而

得到9+a=2,從而求得a=-7,得到答案.

詳解：根據(jù)題意有f(3)=log2(9+a)=L可得9+a=2,所以a=-7,故答案是-7.

點睛：該題考查的是有關(guān)已知某個自變量對應(yīng)函數(shù)值的大小，來確定有關(guān)參數(shù)值的問題，在

求解的過程中，需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.

/X-2y—2<0

14.若x,y滿足約束條件卜-y+120,則z=3x+2y的最大值為______.

Iy<0

【答案】6

【解析】分析：首先根據(jù)題中所紿的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截

3131

式y(tǒng)=-?+之后在圖中畫出直線y=-,，在上下移動的過程中，結(jié)合子的幾何意義，可

以發(fā)現(xiàn)直線y=-\+L過B點時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解

22

析式，求得最大值.

詳解：根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示：

10

22

3

畫出直線丫=-y將其上下移動，

結(jié)合三的幾何意義，可知當(dāng)直線過點B時，z取得最大值，

2

由「號二彳=°,解得B(2,0),

此時2max=3x2+0=6,故答案為6.

點暗：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對

應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷Z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移,

判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的

形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.

15.直線y=x+1與圓x?+y2+2y-3=0交于A,B兩點，則|AB|=.

【答案】2也

【解析】分析：首先將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和圓的半徑的大小，之

后應(yīng)用點到直線的距離求得弦心距，借助于圓中特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成

直角三角形，利用勾股定理求得弦長.

詳解：根據(jù)題意，圓的方程可化為x2+(y+l)2=4,

所以圓的圓心為且半徑是2,

|0+1+1|

根據(jù)點到直線的距離公式可以求得d

「+(-1)2

11

結(jié)合圓中的特殊三角形，可知|AB|=2/工=2/，故答案為2班.

點睛：該題考查的是有關(guān)直線被圓截得的弦長問題，在解題的過程中，熟練應(yīng)用圓中的特殊

三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，借助于勾股定理求得結(jié)果.

16.△ABC的內(nèi)角A,B.C的對邊分別為a.b.c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,

b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

【答案】生

3

【解析】分析：首先利用正弦定理將題中的式子化為sinBsinC+sinCsinB-4sinAsinBsinC,化

簡求得sinA=-,利用余弦定理，結(jié)合題中的條件，可以得到2bccosA=8,可以斷定A為銳

2

角，從而求得cosA=^,進(jìn)一步求得bc=唾，利用三角形面積公式求得結(jié)果.

23

詳解：根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理

可得sinBsinC+sinCsinB-4sinAsinBsinC,即sinA=

2

結(jié)合余弦定理可得2bccosA=8,

所以A為銳角，且cosA=-從而求得be=—,

23

所以△ABC的面積為S=-besinA=—-故答案是二\二.

223233

點睛：該題考查的是三角形面積的求解問題，在解題的過程中，注意對正余弦定理的熟練應(yīng)

用，以及通過隱含條件確定角為銳角，借助于余弦定理求得bc=+3利用面積公式求得結(jié)

3

果.

17.已知數(shù)列聞｝滿足電=1,nanrl=2(n+l)an,設(shè)\=上

n

(1)求b「b2,b3；

(2)判斷數(shù)列｛bj是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛%｝的通項公式.

【答案】(1)bi=1,小=2,匕4.

12

(2)｛4｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由見解析.

⑶a方n?.

【解析】分析：(1)根據(jù)題中條件所給的數(shù)列｛aj的遞推公式n%+i=2(n+l)an，將其化為

部廣？(11+D/,分別令和/7=2,代入上式求得中=4和4=12,再利用b=2從而求得A=1,

nnn

*2,&4.

a2a

(2)利用條件可以得到上匚=」，從而可以得出兒產(chǎn)24,這樣就可以得到數(shù)列［6』是首項

n+1n

為1,公比為2的等比數(shù)列.

⑶借助等比數(shù)列的通項公式求得七=2"T，從而求得牛二〃?2a.

n

詳解：(1)由條件可得ae二迎二93n.

n

將后1代入得，32=4句，而3尸1,所以，32=4.

將正2代入得，a=34，所以，生=12.

從而6=1,b=2,左=4.

(2)｛4｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

由條件可得把1=3,即兒尸24，又6=1,所以｛AJ是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

n+1n

(3)由(2)可得上=2“T,所以為二〃?2工

n

點睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有根據(jù)數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的項，

根據(jù)不同數(shù)列的項之間的關(guān)系，確定新數(shù)列的項，利用遞推關(guān)系整理得到相鄰兩項之間的關(guān)

系確定數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得數(shù)列｛b#的通項公式，借助于｛1｝的通

項公式求得數(shù)列｛aj的通項公式，從而求得最后的結(jié)果.

18.如圖，在平行四邊彩ABCM中，AB=AC=3,ZACM=90。，以AC為折痕將△ACM折起,

使點M到達(dá)點D的位置，且AB1DA.

(1)證明：平面ACDJ■平面ABC;

13

2

(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，XBP=DQ=-DA,求三棱錐Q-ABP的體積.

【答案】(1)見解析.

⑵1.

【解析】分析：(1)首先根據(jù)題的條件，可以得到乙BAC=90,即BALAC,再結(jié)合已知條件

BA2-AD,利用線面垂直的判定定理證得力8_L平面4必，又因為46u平面48Q根據(jù)面面垂

直的判定定理，證得平面彳微_L平面/8C：

(2)根據(jù)已知條件，求得相關(guān)的線段的長度，根據(jù)第一問的相關(guān)垂直的條件，求得三棱錐的

高，之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積.

詳解：(1)由已知可得，ZBA0900,BA1AC.

又仍JL4?,且ACDAD=A,所以彳8J■平面

又Mu平面ABC,

所以平面4應(yīng)LL平面ABC.

(2)由已知可得，DU阱AM3,阱3屈

14

2「

又BP=DQ=§DA,所以BP=2啦.

作QEA.AC,垂足為￡,則QE=II夕C.

由已知及（1）可得。CJ?平面48C,所以。RL平面48C,QE=1.

因此，三棱錐Q-ABP的體積為

VQ-ABP=jxQExSAA?>=3X1x-x3x2^sin45°=l.

點睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定以及三棱錐的

體積的求解，在解題的過程中，需要清楚題中的有關(guān)垂直的直線的位受，結(jié)合線面垂直的判

定定理證得線面垂直，之后應(yīng)用面面垂直的判定定理證得面面垂直，需要明確線線垂直、線

面垂直和面面垂直的關(guān)系，在求三棱錐的體積的時候，注意應(yīng)用體積公式求解即可.

19.某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50

天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量須數(shù)分布表

日用

[0,0.1)[0.1,0,2)[0,2,0,3)[0.3,0.4)[3.4,0,5)[0.5.0.6)[0.6,0,7)

水量

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4.0.5)[0.5,0.6)

水量

頻數(shù)151310165

15

(1)在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

0.102030.40.J0J6(1用水?/of

(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35n?的概率；

(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計算，同一組中的

數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.)

【答案】(1)直方圖見解析.

(2)0.48.

⑶4745m乙

【解析】分析：(1)根據(jù)題中所給的使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表，算出落在

相應(yīng)區(qū)間上的頻率，借助于直方國中長方形的面積表示的就是落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，從而

確定出對應(yīng)矩形的高，從而得到直方圖；

⑵結(jié)合直方圖，算出日用水量小于0.35的矩形的面積總和，即為所求的頻率：

(3)根據(jù)組中值乘以相應(yīng)的頻率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年

能節(jié)約用水多少從而求得結(jié)果.

詳解：(1)

16

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為

0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,

因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.

(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為

_1

A=4(0.05x1+0.15x3+0.25x2+0.35x4+0.45x9+0.55x26+0.65x5)=0.48.

該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為

_1

x2=小05x1+0,15x5+0.25x13+0.35x10+0.45x16+0.55x5)=035.

估計使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.48-0.35)x365=47.45(m，

點睛：該題考查的是有關(guān)統(tǒng)計的問題，涉及到的知識點有頻率分布直方圖的繪制、利用頻率

分布直方圖計算變量落在相應(yīng)區(qū)間上的概率、利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，在解題的過程

中，需要認(rèn)真審題，細(xì)心運(yùn)算，仔細(xì)求解，就可以得出正確結(jié)果.

20.設(shè)拋物線C:y2=2x，點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線1與C交于M,N兩點.

(1)當(dāng)1與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：ZABM-<ABN.

17

【答案】（1）*;x+1或y=

（2）見解析.

【解析】分析：（1）首先根據(jù)1與x軸垂直，且過點A（2.0）,求得直線/的方程為41,代入

拋物線方程求得點附的坐標(biāo)為（2,2）或（2,-2）,利用兩點式求得直線BM的方程；

⑵分直線/與x軸垂直、/與x軸不垂直兩種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，

對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果.

詳解：（1）當(dāng)/與x軸垂直時，/的方程為產(chǎn)2,可得"的坐標(biāo)為（2,2）或（2,-2）.

所以直線BM的方程為*QX+1或丫=--x-1.

（2）當(dāng)/與x軸垂直時，48為腑的垂直平分線，所以NA8依

當(dāng)/與x軸不垂直時，設(shè)/的方槎為y=k（x-2）（k，0）,附（必，“），“（跖”），則x,>0,x2>0.

由P弊-“,得〃/一2y-4A=0,可知％+1b=2與叩?4.

（y=2xk

直線BM,酬的斜率之和為

Yiy2XM+xM+Z&i+yj）

kBM+kBN-----1------=--------------------.①

BMBNX]+2X2+2（X1+2XX2+2）

將*=々+2,x,=與+2&%+%,“2的表達(dá)式代入①式分子，可得

1k2k

2y1y2+4k（y1+y2）,8+8

x必+32+2d+y）=---------------=——=0*

2KK

所以3廿0,可知8M,創(chuàng)的傾斜角互補(bǔ)，所以4ABMNABN.

綜上，/AB歸乙ABN.

點睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的問題，涉及到的知識點有直線方程的兩點式、直線

與拋物稅相交的綜合問題、關(guān)于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方

程的時候，需要注意方法比較簡單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個，關(guān)于第二問，在做題的時

候需要先將特殊情況說明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋

達(dá)定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來得到角是相等的結(jié)論.

18

21.已知函數(shù)f(x)=aeX-lnxT?

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點.求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)aj時，f(x)>0.

e

1

【答案】(1);;f3在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+oo)單調(diào)遞增.

2e2

(2)證明見解析.

1

【解析】分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，利用f'(2)=0,求得左f，從

21

而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合極值點的位理，從而得到函數(shù)的增

區(qū)間和減區(qū)間；

⑵結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當(dāng)a2-時，f(x)之后構(gòu)造新函數(shù)g(x)

ee

=-.lnx-b利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得g(x)2g(1)=0,利用不等式的傳遞

e

性，證得結(jié)果.

詳解：(1)f(x)的定義域為(0.+oo),f，(x)=aex-

x

1

由題設(shè)知，f'(2)=0,所以左一;.

2e2

,、1X1X1

從而f(x)=_ze-Inx-1,fz(x)=--e-

2e-2e-x

當(dāng)0<求2時，f'(x)<0:當(dāng)x〉2時，f'(x)>0.

所以f(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+oo)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)眾-時,f(x)云3.lnx?I.

ee

xx1

設(shè)g(x)二e一jnx-1,則g(x)=e_--.

eex

當(dāng)0<X1時，g'(x)<0;當(dāng)x>\時，g'(x)>0.所以『1是g(z)的最小值點.

故當(dāng)x>0時，g(x)2g(1)=0.

因此，當(dāng)aH時，f(x)>0.

e

點暗：該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，涉及到的知識點有導(dǎo)致與吸值、導(dǎo)數(shù)與最值、導(dǎo)

19

數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及證明不等式問題，在解題的過程中，首先要保證函數(shù)的生存權(quán),

先確定函數(shù)的定義域，之后根據(jù)導(dǎo)致與極值的關(guān)系求得參數(shù)值，之后利用極值的特點，確定

出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問在求解的時候構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用不等式的傳遞性證得結(jié)果.

22.［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C］的方程為丫=k|x|+2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建

立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為p2+2pcos0-3=0-

(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若C］與C?有且僅有三個公共點，求C］的方程.

【答案】［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

解：(1)由x=pcos。，y=psinB得C2的直角坐標(biāo)方程為

(x+l)2+y2=4-

(2)由(1)知C2是圓心為A(T,0),半徑為2的圓.

由題設(shè)知，C］是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為iy軸左邊的射

線為b由于B在圓C2的外面，故C］與C?有且僅有三個公共點等價于I1與C?只有一個公共點且

%與c2有兩個公共點，或匕與c2只有一個公共點且L與c2有兩個公共點.

|-k+2|4

當(dāng)1］與C)只有一個公共點時，A到11所在直線的距離為2,所以g-==2,故卜=—或k=0.

也~+13

4

經(jīng)檢驗，當(dāng)k=0時，L與C?沒有公共點；當(dāng)k=-§時，L與C?只有一個公共點，1與C2有兩個

公共點.

|k+2|、4

當(dāng)1,與C)只有一個公共點時，A到u所在直線的距離為2,所以0—==2,故k=0或k=-.

也+13

4

經(jīng)檢臉，當(dāng)k=0時，L與C?沒有公共點；當(dāng)k=§時，1與C?沒有公共點.

4

綜上，所求C］的方程為y=-qx|+2.

20

【解析】分析：(1)就根據(jù)x=pcosO,y=psin。以及p?=x2+y2,將方程p?+2pcos0-3=0中的

相關(guān)的量代換，求得直角坐標(biāo)方程：

⑵結(jié)合方程的形式，可以斷定曲線C?是圓心為A(?l,0),半徑為2的圓，G是過點B(0,2)X關(guān)

于y軸對稱的兩條射線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會出現(xiàn)三個公共點，結(jié)合直

線與圓的位置關(guān)系，得到k所滿足的關(guān)系式，從而求得結(jié)果.

詳解：(1)由x=pcos0,y=psin僻C2的直角坐標(biāo)方程為

(x+l)2+y2=4-

(2)由(1)知C?是圓心為A(?1Q),半徑為2的圓.

由題設(shè)知，g是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為L，y軸左邊的射

線為b由于B在圓C2的外面，故C］與C?有且僅有三個公共點等價于11與C?只有一個公共點且

馬與C2有兩個公共點，或％與只有一個公共點且L與C?有兩個公共點.

I-k+2|4

當(dāng)L與C,只有一個公共點時，A到11所在直線的距離為2,所以g—=2,故卜=--或k=0.

出2十13

4

經(jīng)檢臉，當(dāng)k=o時，L與c?沒有公共點：當(dāng)k=-g時，L與c?只有一個公共點，匕與c2有兩個

公共點.

|k+2|4

當(dāng)I與。只有一個公共點時，A到L所在直線的距離為2,所以一=2,故k-0或k-.

"+］3

4

經(jīng)檢驗，當(dāng)k=o時，L與c?沒有公共點；當(dāng)k=§時，1與c?沒有公共點.

綜上，所求C］的方程為y=-，x|+2.

點睛：該題考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有曲線的極坐標(biāo)方程向

平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及有關(guān)曲線相交交點個數(shù)的問題，在解題的過程中，需要明確極

坐標(biāo)和平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，以及曲線相交交點個數(shù)結(jié)合圖形，將其轉(zhuǎn)化為直線與

圓的位更關(guān)系所對應(yīng)的需要滿足的條件，從而求得結(jié)果.

21

23.［選修4—5：不等式選講］

已知f(x)=|x+l|-|ax-l|.

(1)當(dāng)a=l時，求不等式f(x)>l的解集；

(2)若x€(0.1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴{x|x>；}.

(2)(0,21.

【解析】分析：(1)將a=l代入函數(shù)解析式，求得f(x)=|x+l|?|x-l|,利用零點分段將解析

-2,x<-1,

式化為f(x)=2x,?lvx〈l,,然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式f(x)>l的解集為

2,x>l

1

{x|x>-);

⑵根據(jù)題中所給的(0,1),其中一個絕對值符號可以去掉，不等式f(K)>X可以化為x€(0,l)

nt|ax-l|<l,分情況討論即可求得結(jié)果.

22

2017全國卷1數(shù)學(xué)試題解析

1.已知集合布{x|K1},B={x\3x<\},則

A.AAB={x|x<0}B.A\JB=R

C.A\jB={x\x>i]D.=0

【答案】A

【解析】試題分析：由3,<1可得3、<3°,則x<0,即8={用工<0},所以

AnB={x|x<l)n{A：|x<0|

={x|x<0),A(JB={X|X<1}U{A：|X<O}={X|X<1},故選A.

【考點】集合的運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

【拓展】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖

進(jìn)行處理.

2.如圖，正方形4仇》內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色

部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率

是

A.

4

C.

2

【答案】B

【解析】試題分析：設(shè)正方彩邊長為。，則圓的半徑為巴，正方彩的面積為。2,圓的面

2

23

積為——.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由

4

171(72

幾何概型概率的計算公式得，比點取自黑色部分的概率是2,4=,,選B.

a28

秒殺解析：由題意可知，此點取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個面積的比例,

由圖可知其概率〃滿足;<p<g,故選B.

【考點】幾何概型

【拓展】對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長度、

面積、體積或時間)，其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后

計算P(A).

3.設(shè)有下面四個命題

Pi：若復(fù)數(shù)z滿足一wR,則zcR;

z

p2：若復(fù)數(shù)Z滿足Z?￡R,則ZWR：

p3：若復(fù)數(shù)4*2滿足Z[Z2€R,則Z]=Z2；

pA:若復(fù)數(shù)zwR,則，wR.

其中的真命題為

A.歷，凸B.P?p4C.〃2，P3D.P2R4

【答案】B

【考點】復(fù)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)

【拓展】分式形式的復(fù)數(shù)，分子、分母同乘以分母的共甄復(fù)數(shù)，化簡成z=a+6i(a,b￡R)

的形式進(jìn)行判斷，共箱復(fù)數(shù)只需實部不變，虛部變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可.

4.記S〃為等差數(shù)列｛為｝的前〃項和.若%+%=24,56=48,則｛4｝的公差為

A.1B.2C.4D.8

24

【答案】C

【解析】

【考點】等差數(shù)列的基本量求解

【拓展】求解等差數(shù)列基本量問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如｛凡｝為等差數(shù)列，

若〃2+〃=，+4，^']am+an=ap+aq.

5.函數(shù)/（%）在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若/（1）=一1,則滿足一1?/。一2）?1

的x的取值范圍是

A.[-2,2JB.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】D

【解析】試題分析：因為/（X）為奇函數(shù)且在（-00,+8）單調(diào)遞減，要使一1V/（X）K1成

立，則x滿足一14x41,從而由一1工1一241得14無K3,即滿足一1?/（無一2）?1成

立的犬的取值范圍為[1,3],選D.

【考點】函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

【拓展】百偶性與單調(diào)性的綜合問題，要充分利用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)與單調(diào)性解決不等

式和比較大小問題，若/（幻莊R上為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且/（%）+/（8）＞0,則

玉+芍＞。，反之亦成立.

6.（1+」7）（1+冗）6展開式中一的系數(shù)為

X

A.15B.20C.30D.35

【答案】C

【解析】試題分析：因為則（1+幻6展開式中

XX

含一的項為1.或工2=15工2,l.（i+x）6展開式中含一的項為士,《％4=15%2,故一

XX

的系數(shù)為15+15=30,選C.

25

【考點】二項式定理

【拓展】對于兩個二項式乘積妁問題，用第一個二項式中的每項乘以第二個二項式的每

項，分析含/的項共有幾項，進(jìn)行相加即可.這類問題的易錯點主要是未能分析清楚構(gòu)

成這一項的具體情況，尤其是兩個二項展開式中的r不同.

7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，

正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這

些梯形的面積之和為

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

［解析］試題分析：由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如下圖，

則該幾何體各面內(nèi)只有兩個相同的梯形，則這些梯形的面積之和為

2x(2+4)x2xl=12

2,故選B.

【考點】簡單幾何體的三視圖

26

【拓展】三視圖往往與幾何體妁體積、表面積以及空間線面關(guān)系、角、距離等問題相結(jié)

合，解決此類問題的關(guān)鍵是由三視圖準(zhǔn)確確定空間幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征并且熟悉

常見幾何體的三視圖.

8.下面程序框圖是為了求出滿足3"-2)1000的最小偶數(shù)n,那么在O口=1兩個空白框中,

可以分別填入

A.74>1000和