2016-2018年高考全國卷文科數(shù)學試題答案解析

2016-2018全國卷文數(shù)

2018/2017/2016全國I卷

2018/2017/2016全國H卷

2018/2017/2016全國III卷

1

2018年全國卷1文科數(shù)學解析

1.已知集合人={0.2},B={-2,-1,0,1.2),則AAB=

A.{0.2}B.{1.2}C.{0}D.{-2,-1.0,1,2)

【答案】A

【解析】分析：利用集合的交集中元素的特征，結合題中所給的集合中的元素，求得集合APIB

中的元素，最后求得結果.

詳解：根據(jù)集合交集中元素的特征，可以求得AAB={0,2},故選A.

點睛：該題考查的是有關集合的運算的問題，在解題的過程中，需要明確交集中元素的特征，

從而求得結果.

2.設2=--+2i,則|z|=

1+i

A.0B.；C.1D.3

【答案】C

【解析】分析：首先根據(jù)復數(shù)的運算法則，將其化簡得到2=、根據(jù)復數(shù)模的公式，得到|z|=l,

從而選出正確結果.

?￥初eI]T(1T)2-2i

]羊解：因為z------1-2i-----------n2i-----F2i=i?

1+i(12

所以|z|=Jo+尸=1,故選C.

點暗：該題考查的是有關復數(shù)的運算以及復數(shù)模的概念及求解公式，利用復數(shù)的除法及加法

運算法則求得結果，屬于簡單題目.

3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍.實現(xiàn)翻番.為更好地了解

該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構成比

例.得到如下餅圖：

2

種植收入種植收入

則下面結

例設前經(jīng)濟收入構成比例建設后經(jīng)濟收入構成比例

論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村速設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

【答案】A

【解析】分析：首先設出新農(nóng)村送設前的經(jīng)濟收入為M,根據(jù)題意，得到新農(nóng)村建設后的經(jīng)

濟收入為2M,之后從圖中各項收入所占的比例，得到其對應的收入是多少，從而可以比較

其大小，并且得到其相應的關系，從而得出正確的選項.

詳解：設新農(nóng)村建設前的收入為N,而新農(nóng)村建設后的收入為2M,

則新農(nóng)村建設前種植收入為0.6M,而新農(nóng)村建設后的種植收入為0.74M,所以種植收入增加

了，所以A項不正確：

新農(nóng)村建設前其他收入我0.04M,新農(nóng)村建設后其他收入為0.1M,故增加了一倍以上，所以

B項正確；

新農(nóng)村建設前，養(yǎng)殖收入為0.3M,新農(nóng)村建設后為0.6M,所以增加了一倍，所以C項正確；

新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的綜合占經(jīng)濟收入的30%+28%=58%>50%,所以

超過了經(jīng)濟收入的一半，所以D正確；

故選A.

3

點暗：該題考查的是有關新農(nóng)村建設前后的經(jīng)濟收入的構成比例的餅形圖，要會從圖中讀出

相應的信息即可得結果.

22

4.已知橢圓C:二+1=1的一個焦點為(2.0),則C的離心率為

a24

A1n1c/n2yli

A.-B.-C.—D.—

3223

【答案】C

【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的條件桶圓的一個焦點為(2,0),從而求得c=2,再根據(jù)

題中所給的方程中系數(shù)，可以得到b?=4,利用橢圓中對應a,b,c的關系，求得a=2屈最后利

用橢圓離心率的公式求得結果.

詳解：根據(jù)題意，可知c=2,因為b?=4,

所以a?=b2+c2=8?即a=23,

2g

所以桶圓C的離心率為e---=■,故選C.

2a2

點暗：該題考查的是有關橢圓的離心率的問題，在求解的過程中，一定要注意離心率的公式,

再者就是要學會從題的條件中判斷與之相關的量，結合橢圓中a,b,c的關系求得結果.

5.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1，O2,過直線的平面截該圓柱所得的截面是

面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

A.12&B.12nC.8伍D.\On

【答案】B

【解析】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進一步確定圓柱的底面圓半

徑與圓柱的高，從而利用相關公式求得圓柱的表面積.

詳解：根據(jù)題意，可得微面是邊長為2啦的正方形，

結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是啦的圓，且高為2死，

所以其表面積為S=2解物?+2兀.也.2"=⑵，故選B.

4

點暗：該題考查的是有關圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確

定圓柱的相關量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要

注意是兩個底面圓與側面積的和.

6.設函數(shù)f(x)=x3+(aT)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y-f(x)在點(0,0)處的切線方程為

A.y=-2xB,y=-xC.y=2xD.y=x

【答案】D

【解析】分析：利用聲函數(shù)偶此項系數(shù)為零求得a=l,進而得到f(x)的解析式，再對f(x)求導

得出切線的斜率k,進而求得切線方程.

詳解：因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以a-l=0,解得a=l,

所以f(x)=x3+x,f(x)=3x2+b

所以F(0)=Lf(0)=0,

所以曲線y-f(x)在點(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f(0)x,

化簡可得丫=乂，故選D.

點睛：該題考查的是有關曲線丫=￡儀建某個點(々Exo))處的切線方程的問題，在求解的過程

中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結論多項式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項，偶函

數(shù)不存在奇次項，從而求得相應的參數(shù)值，之后利用求導公式求得F(x),借助于導數(shù)的幾何

意義，結合直線方程的點斜式求得結果.

7.在△陽(：中，AD為BC邊上的山線，E為AD的中點，則血=

3-1-1-3-

A.-AB—ACB.-AB—AC

4444

3-1-1-3-

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

-1-1-

【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得BE=-BA+-BC,

22

5

之后應用向量的加法運算法則------三角形法則，得到比=BA+R,之后將其合并，得

到B百=^8\+笈，下一步應用相反向量，求得=從而求得結果.

4444

詳解：根據(jù)向量的運算法則，可得

-1-1-1-1--1-1-1-3-1-

BE=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC)=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222224444

“-3-1-

所以EB=-AB—AC,故L選A.

44

點睛：該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向

量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要

認真對待每一步運算.

8.已知函數(shù)f(x)=2cos2x-sin2x+2，則

A.f(x)的最小正周期為n,最大值為3

B.f(x)的最小正周期為n,最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2%最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2m最大值為4

【答案】B

【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進行化簡，將解析式化簡為

f(x)=2cos2x+2,之后應用余弦型函數(shù)的性質得到相關的量，從而得到正確選項.

詳解：根據(jù)題意有f(x)=cos2x+1+cos2x+1=2cos2x+2,

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T=—="，

0

且最大值為f(X)max=2+2=4,故選B.

6

點睛：該題考查的是有關化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關性質得到函數(shù)的

性質，在解題的過程中，要注意應用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結果.

9.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對

應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上，從M到N的路徑

B

中，最短路徑的長度為

A.2拒B.26

C.3D,2

【答案】B

【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，點M

在上底面上，點N在下底面上，并且將圓柱的側面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩

形的對角線的端點處，根據(jù)平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結果.

詳解：根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，

可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長

方形的對角線的端點處，

所以所求的最短路徑的長度為匹于=2而，故選B.

點晴：該題考查的是有關幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，

需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就

是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關特征求得結果.

10.在長方體ABCD-A[B[C]D]中，AB=BC=2,AC1與平面BBRg所成的角為30。，則該長

方體的體積為

7

A.8B.6yliC.8/D.8布

【答案】C

【解析】分析：首先畫出長方體ABCD-A[B]C]D],利用題中條件，得到ZAC1B=30°,根據(jù)

AB=2,求得Bg=2由，可以確定CC]=23,之后利用長方體的體積公式

詳解：在長方體ABCD-A[B[C[D]中，連接BC】，

根據(jù)線面角的定義可知4AC]B=30°,

因為AB=2,所以BCI=R5,從而求得CC]=2。，

所以該長方體的體積為V=2x2*2拒=8也故選C.

點睛：該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公

式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長久顯

得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關系，從而求得結果.

11.已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(l,a),

B(2.b),且

2,

cos2a=則|a—b|=

1J52而

A.-B.上C.D.1

555

【答案】B

8

2

【解析】分析：首先根據(jù)兩點都在角的終邊上，得到b=2a,利用cos2d=§,利用倍角公式

以及余弦函數(shù)的定義式，求得從而得到間=g,再結合b=2a,從而得到

|a-b|=|a"2a|=從而確定選項.

詳解：根據(jù)題的條件，可知QAB三點共線，從而得到b=2a,

212

因為cos2a=2cosa-1=2,(.)2-1=

Ja2+13

解得/=?，即|a|=1，所以|a-b|=|a-2al=1，故選B.

點晴：該題考查的是有關角的終邊上點的縱坐標的差值的問題，涉及到的知識點有共線的點

的坐標的關系，余弦的倍角公式，余弦函數(shù)的定義式，根據(jù)題中的條件，得到相應的等量關

系式，從而求得結果.

12.設函數(shù)f(x)=『；，濕),則滿足f(x+l)vf(2x)的x的取值范圍是

A.(-co.-1]B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(-00.0)

【答案】D

【解析】分析：首先根據(jù)題中所紿的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有

f(x+l)vf(2x)成立，一定會有二個,從而求得結果.

(ZX<X十1

詳解：將函數(shù)f(x)的圖像畫出來，

所以滿足f(x+l)vf(2x)的x的取值范圍是(-8.0),故選D.

9

點睛：該題考查的是有關通過函數(shù)值的大小來推斷自變量的大小關系，從而求得相關的參數(shù)

的值的問題，在求解的過程中，需要利用函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像，從而得到要出現(xiàn)函數(shù)值

的大小，絕對不是常函數(shù)，從而確定出自變量的所處的位置，結合函數(shù)值的大小，確定出自

變量的大小，從而得到其等價的不等式組，從而求得結果.

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知函數(shù)f(x)=logXx2+a),若f(3)=l,則2=.

【答案】-7

【解析】分析：首先利用題的條件f(3)=l,將其代入解析式，得到f(3)=log2(9+a)=l,從而

得到9+a=2,從而求得a=-7,得到答案.

詳解：根據(jù)題意有f(3)=log2(9+a)=L可得9+a=2,所以a=-7,故答案是-7.

點睛：該題考查的是有關已知某個自變量對應函數(shù)值的大小，來確定有關參數(shù)值的問題，在

求解的過程中，需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結果，屬于基礎題目.

/X-2y—2<0

14.若x,y滿足約束條件卜-y+120,則z=3x+2y的最大值為______.

Iy<0

【答案】6

【解析】分析：首先根據(jù)題中所紿的約束條件，畫出相應的可行域，再將目標函數(shù)化成斜截

3131

式y(tǒng)=-?+之后在圖中畫出直線y=-,，在上下移動的過程中，結合子的幾何意義，可

以發(fā)現(xiàn)直線y=-\+L過B點時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點B的坐標代入目標函數(shù)解

22

析式，求得最大值.

詳解：根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應的可行域，如圖所示：

10

22

3

畫出直線丫=-y將其上下移動，

結合三的幾何意義，可知當直線過點B時，z取得最大值，

2

由「號二彳=°,解得B(2,0),

此時2max=3x2+0=6,故答案為6.

點暗：該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對

應的可行域，之后根據(jù)目標函數(shù)的形式，判斷Z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移,

判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數(shù)的

形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應用相應的方法求解.

15.直線y=x+1與圓x?+y2+2y-3=0交于A,B兩點，則|AB|=.

【答案】2也

【解析】分析：首先將圓的一般方程轉化為標準方程，得到圓心坐標和圓的半徑的大小，之

后應用點到直線的距離求得弦心距，借助于圓中特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構成

直角三角形，利用勾股定理求得弦長.

詳解：根據(jù)題意，圓的方程可化為x2+(y+l)2=4,

所以圓的圓心為且半徑是2,

|0+1+1|

根據(jù)點到直線的距離公式可以求得d

「+(-1)2

11

結合圓中的特殊三角形，可知|AB|=2/工=2/，故答案為2班.

點睛：該題考查的是有關直線被圓截得的弦長問題，在解題的過程中，熟練應用圓中的特殊

三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構成的直角三角形，借助于勾股定理求得結果.

16.△ABC的內(nèi)角A,B.C的對邊分別為a.b.c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,

b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

【答案】生

3

【解析】分析：首先利用正弦定理將題中的式子化為sinBsinC+sinCsinB-4sinAsinBsinC,化

簡求得sinA=-,利用余弦定理，結合題中的條件，可以得到2bccosA=8,可以斷定A為銳

2

角，從而求得cosA=^,進一步求得bc=唾，利用三角形面積公式求得結果.

23

詳解：根據(jù)題意，結合正弦定理

可得sinBsinC+sinCsinB-4sinAsinBsinC,即sinA=

2

結合余弦定理可得2bccosA=8,

所以A為銳角，且cosA=-從而求得be=—,

23

所以△ABC的面積為S=-besinA=—-故答案是二\二.

223233

點睛：該題考查的是三角形面積的求解問題，在解題的過程中，注意對正余弦定理的熟練應

用，以及通過隱含條件確定角為銳角，借助于余弦定理求得bc=+3利用面積公式求得結

3

果.

17.已知數(shù)列聞｝滿足電=1,nanrl=2(n+l)an,設\=上

n

(1)求b「b2,b3；

(2)判斷數(shù)列｛bj是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛%｝的通項公式.

【答案】(1)bi=1,小=2,匕4.

12

(2)｛4｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由見解析.

⑶a方n?.

【解析】分析：(1)根據(jù)題中條件所給的數(shù)列｛aj的遞推公式n%+i=2(n+l)an，將其化為

部廣？(11+D/,分別令和/7=2,代入上式求得中=4和4=12,再利用b=2從而求得A=1,

nnn

*2,&4.

a2a

(2)利用條件可以得到上匚=」，從而可以得出兒產(chǎn)24,這樣就可以得到數(shù)列［6』是首項

n+1n

為1,公比為2的等比數(shù)列.

⑶借助等比數(shù)列的通項公式求得七=2"T，從而求得牛二〃?2a.

n

詳解：(1)由條件可得ae二迎二93n.

n

將后1代入得，32=4句，而3尸1,所以，32=4.

將正2代入得，a=34，所以，生=12.

從而6=1,b=2,左=4.

(2)｛4｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

由條件可得把1=3,即兒尸24，又6=1,所以｛AJ是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

n+1n

(3)由(2)可得上=2“T,所以為二〃?2工

n

點睛：該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有根據(jù)數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的項，

根據(jù)不同數(shù)列的項之間的關系，確定新數(shù)列的項，利用遞推關系整理得到相鄰兩項之間的關

系確定數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得數(shù)列｛b#的通項公式，借助于｛1｝的通

項公式求得數(shù)列｛aj的通項公式，從而求得最后的結果.

18.如圖，在平行四邊彩ABCM中，AB=AC=3,ZACM=90。，以AC為折痕將△ACM折起,

使點M到達點D的位置，且AB1DA.

(1)證明：平面ACDJ■平面ABC;

13

2

(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，XBP=DQ=-DA,求三棱錐Q-ABP的體積.

【答案】(1)見解析.

⑵1.

【解析】分析：(1)首先根據(jù)題的條件，可以得到乙BAC=90,即BALAC,再結合已知條件

BA2-AD,利用線面垂直的判定定理證得力8_L平面4必，又因為46u平面48Q根據(jù)面面垂

直的判定定理，證得平面彳微_L平面/8C：

(2)根據(jù)已知條件，求得相關的線段的長度，根據(jù)第一問的相關垂直的條件，求得三棱錐的

高，之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積.

詳解：(1)由已知可得，ZBA0900,BA1AC.

又仍JL4?,且ACDAD=A,所以彳8J■平面

又Mu平面ABC,

所以平面4應LL平面ABC.

(2)由已知可得，DU阱AM3,阱3屈

14

2「

又BP=DQ=§DA,所以BP=2啦.

作QEA.AC,垂足為￡,則QE=II夕C.

由已知及（1）可得。CJ?平面48C,所以。RL平面48C,QE=1.

因此，三棱錐Q-ABP的體積為

VQ-ABP=jxQExSAA?>=3X1x-x3x2^sin45°=l.

點睛：該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定以及三棱錐的

體積的求解，在解題的過程中，需要清楚題中的有關垂直的直線的位受，結合線面垂直的判

定定理證得線面垂直，之后應用面面垂直的判定定理證得面面垂直，需要明確線線垂直、線

面垂直和面面垂直的關系，在求三棱錐的體積的時候，注意應用體積公式求解即可.

19.某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50

天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量須數(shù)分布表

日用

[0,0.1)[0.1,0,2)[0,2,0,3)[0.3,0.4)[3.4,0,5)[0.5.0.6)[0.6,0,7)

水量

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4.0.5)[0.5,0.6)

水量

頻數(shù)151310165

15

(1)在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

0.102030.40.J0J6(1用水?/of

(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35n?的概率；

(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計算，同一組中的

數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.)

【答案】(1)直方圖見解析.

(2)0.48.

⑶4745m乙

【解析】分析：(1)根據(jù)題中所給的使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表，算出落在

相應區(qū)間上的頻率，借助于直方國中長方形的面積表示的就是落在相應區(qū)間上的頻率，從而

確定出對應矩形的高，從而得到直方圖；

⑵結合直方圖，算出日用水量小于0.35的矩形的面積總和，即為所求的頻率：

(3)根據(jù)組中值乘以相應的頻率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年

能節(jié)約用水多少從而求得結果.

詳解：(1)

16

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為

0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,

因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.

(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為

_1

A=4(0.05x1+0.15x3+0.25x2+0.35x4+0.45x9+0.55x26+0.65x5)=0.48.

該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為

_1

x2=小05x1+0,15x5+0.25x13+0.35x10+0.45x16+0.55x5)=035.

估計使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.48-0.35)x365=47.45(m，

點睛：該題考查的是有關統(tǒng)計的問題，涉及到的知識點有頻率分布直方圖的繪制、利用頻率

分布直方圖計算變量落在相應區(qū)間上的概率、利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，在解題的過程

中，需要認真審題，細心運算，仔細求解，就可以得出正確結果.

20.設拋物線C:y2=2x，點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線1與C交于M,N兩點.

(1)當1與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：ZABM-<ABN.

17

【答案】（1）*;x+1或y=

（2）見解析.

【解析】分析：（1）首先根據(jù)1與x軸垂直，且過點A（2.0）,求得直線/的方程為41,代入

拋物線方程求得點附的坐標為（2,2）或（2,-2）,利用兩點式求得直線BM的方程；

⑵分直線/與x軸垂直、/與x軸不垂直兩種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，

對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關系來體現(xiàn)，從而證得結果.

詳解：（1）當/與x軸垂直時，/的方程為產(chǎn)2,可得"的坐標為（2,2）或（2,-2）.

所以直線BM的方程為*QX+1或丫=--x-1.

（2）當/與x軸垂直時，48為腑的垂直平分線，所以NA8依

當/與x軸不垂直時，設/的方槎為y=k（x-2）（k，0）,附（必，“），“（跖”），則x,>0,x2>0.

由P弊-“,得〃/一2y-4A=0,可知％+1b=2與叩?4.

（y=2xk

直線BM,酬的斜率之和為

Yiy2XM+xM+Z&i+yj）

kBM+kBN-----1------=--------------------.①

BMBNX]+2X2+2（X1+2XX2+2）

將*=々+2,x,=與+2&%+%,“2的表達式代入①式分子，可得

1k2k

2y1y2+4k（y1+y2）,8+8

x必+32+2d+y）=---------------=——=0*

2KK

所以3廿0,可知8M,創(chuàng)的傾斜角互補，所以4ABMNABN.

綜上，/AB歸乙ABN.

點睛：該題考查的是有關直線與拋物線的問題，涉及到的知識點有直線方程的兩點式、直線

與拋物稅相交的綜合問題、關于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方

程的時候，需要注意方法比較簡單，需要注意的就是應該是兩個，關于第二問，在做題的時

候需要先將特殊情況說明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋

達定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關系來得到角是相等的結論.

18

21.已知函數(shù)f(x)=aeX-lnxT?

(1)設x=2是f(x)的極值點.求a,并求f(x)的單調區(qū)間；

(2)證明：當aj時，f(x)>0.

e

1

【答案】(1);;f3在(0,2)單調遞減，在(2,+oo)單調遞增.

2e2

(2)證明見解析.

1

【解析】分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導，利用f'(2)=0,求得左f，從

21

而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導函數(shù)的解析式，結合極值點的位理，從而得到函數(shù)的增

區(qū)間和減區(qū)間；

⑵結合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當a2-時，f(x)之后構造新函數(shù)g(x)

ee

=-.lnx-b利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，從而求得g(x)2g(1)=0,利用不等式的傳遞

e

性，證得結果.

詳解：(1)f(x)的定義域為(0.+oo),f，(x)=aex-

x

1

由題設知，f'(2)=0,所以左一;.

2e2

,、1X1X1

從而f(x)=_ze-Inx-1,fz(x)=--e-

2e-2e-x

當0<求2時，f'(x)<0:當x〉2時，f'(x)>0.

所以f(x)在(0,2)單調遞減，在(2,+oo)單調遞增.

(2)當眾-時,f(x)云3.lnx?I.

ee

xx1

設g(x)二e一jnx-1,則g(x)=e_--.

eex

當0<X1時，g'(x)<0;當x>\時，g'(x)>0.所以『1是g(z)的最小值點.

故當x>0時，g(x)2g(1)=0.

因此，當aH時，f(x)>0.

e

點暗：該題考查的是有關導數(shù)的應用問題，涉及到的知識點有導致與吸值、導數(shù)與最值、導

19

數(shù)與函數(shù)的單調性的關系以及證明不等式問題，在解題的過程中，首先要保證函數(shù)的生存權,

先確定函數(shù)的定義域，之后根據(jù)導致與極值的關系求得參數(shù)值，之后利用極值的特點，確定

出函數(shù)的單調區(qū)間，第二問在求解的時候構造新函數(shù)，應用不等式的傳遞性證得結果.

22.［選修4—4：坐標系與參數(shù)方程］

在直角坐標系xOy中，曲線C］的方程為丫=k|x|+2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建

立極坐標系，曲線的極坐標方程為p2+2pcos0-3=0-

(1)求C2的直角坐標方程；

(2)若C］與C?有且僅有三個公共點，求C］的方程.

【答案】［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

解：(1)由x=pcos。，y=psinB得C2的直角坐標方程為

(x+l)2+y2=4-

(2)由(1)知C2是圓心為A(T,0),半徑為2的圓.

由題設知，C］是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為iy軸左邊的射

線為b由于B在圓C2的外面，故C］與C?有且僅有三個公共點等價于I1與C?只有一個公共點且

%與c2有兩個公共點，或匕與c2只有一個公共點且L與c2有兩個公共點.

|-k+2|4

當1］與C)只有一個公共點時，A到11所在直線的距離為2,所以g-==2,故卜=—或k=0.

也~+13

4

經(jīng)檢驗，當k=0時，L與C?沒有公共點；當k=-§時，L與C?只有一個公共點，1與C2有兩個

公共點.

|k+2|、4

當1,與C)只有一個公共點時，A到u所在直線的距離為2,所以0—==2,故k=0或k=-.

也+13

4

經(jīng)檢臉，當k=0時，L與C?沒有公共點；當k=§時，1與C?沒有公共點.

4

綜上，所求C］的方程為y=-qx|+2.

20

【解析】分析：(1)就根據(jù)x=pcosO,y=psin。以及p?=x2+y2,將方程p?+2pcos0-3=0中的

相關的量代換，求得直角坐標方程：

⑵結合方程的形式，可以斷定曲線C?是圓心為A(?l,0),半徑為2的圓，G是過點B(0,2)X關

于y軸對稱的兩條射線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會出現(xiàn)三個公共點，結合直

線與圓的位置關系，得到k所滿足的關系式，從而求得結果.

詳解：(1)由x=pcos0,y=psin僻C2的直角坐標方程為

(x+l)2+y2=4-

(2)由(1)知C?是圓心為A(?1Q),半徑為2的圓.

由題設知，g是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為L，y軸左邊的射

線為b由于B在圓C2的外面，故C］與C?有且僅有三個公共點等價于11與C?只有一個公共點且

馬與C2有兩個公共點，或％與只有一個公共點且L與C?有兩個公共點.

I-k+2|4

當L與C,只有一個公共點時，A到11所在直線的距離為2,所以g—=2,故卜=--或k=0.

出2十13

4

經(jīng)檢臉，當k=o時，L與c?沒有公共點：當k=-g時，L與c?只有一個公共點，匕與c2有兩個

公共點.

|k+2|4

當I與。只有一個公共點時，A到L所在直線的距離為2,所以一=2,故k-0或k-.

"+］3

4

經(jīng)檢驗，當k=o時，L與c?沒有公共點；當k=§時，1與c?沒有公共點.

綜上，所求C］的方程為y=-，x|+2.

點睛：該題考查的是有關坐標系與參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有曲線的極坐標方程向

平面直角坐標方程的轉化以及有關曲線相交交點個數(shù)的問題，在解題的過程中，需要明確極

坐標和平面直角坐標之間的轉換關系，以及曲線相交交點個數(shù)結合圖形，將其轉化為直線與

圓的位更關系所對應的需要滿足的條件，從而求得結果.

21

23.［選修4—5：不等式選講］

已知f(x)=|x+l|-|ax-l|.

(1)當a=l時，求不等式f(x)>l的解集；

(2)若x€(0.1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴{x|x>；}.

(2)(0,21.

【解析】分析：(1)將a=l代入函數(shù)解析式，求得f(x)=|x+l|?|x-l|,利用零點分段將解析

-2,x<-1,

式化為f(x)=2x,?lvx〈l,,然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式f(x)>l的解集為

2,x>l

1

{x|x>-);

⑵根據(jù)題中所給的(0,1),其中一個絕對值符號可以去掉，不等式f(K)>X可以化為x€(0,l)

nt|ax-l|<l,分情況討論即可求得結果.

22

2017全國卷1數(shù)學試題解析

1.已知集合布{x|K1},B={x\3x<\},則

A.AAB={x|x<0}B.A\JB=R

C.A\jB={x\x>i]D.=0

【答案】A

【解析】試題分析：由3,<1可得3、<3°,則x<0,即8={用工<0},所以

AnB={x|x<l)n{A：|x<0|

={x|x<0),A(JB={X|X<1}U{A：|X<O}={X|X<1},故選A.

【考點】集合的運算，指數(shù)運算性質

【拓展】集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖

進行處理.

2.如圖，正方形4仇》內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色

部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率

是

A.

4

C.

2

【答案】B

【解析】試題分析：設正方彩邊長為。，則圓的半徑為巴，正方彩的面積為。2,圓的面

2

23

積為——.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由

4

171(72

幾何概型概率的計算公式得，比點取自黑色部分的概率是2,4=,,選B.

a28

秒殺解析：由題意可知，此點取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個面積的比例,

由圖可知其概率〃滿足;<p<g,故選B.

【考點】幾何概型

【拓展】對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長度、

面積、體積或時間)，其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后

計算P(A).

3.設有下面四個命題

Pi：若復數(shù)z滿足一wR,則zcR;

z

p2：若復數(shù)Z滿足Z?￡R,則ZWR：

p3：若復數(shù)4*2滿足Z[Z2€R,則Z]=Z2；

pA:若復數(shù)zwR,則，wR.

其中的真命題為

A.歷，凸B.P?p4C.〃2，P3D.P2R4

【答案】B

【考點】復數(shù)的運算與性質

【拓展】分式形式的復數(shù)，分子、分母同乘以分母的共甄復數(shù)，化簡成z=a+6i(a,b￡R)

的形式進行判斷，共箱復數(shù)只需實部不變，虛部變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可.

4.記S〃為等差數(shù)列｛為｝的前〃項和.若%+%=24,56=48,則｛4｝的公差為

A.1B.2C.4D.8

24

【答案】C

【解析】

【考點】等差數(shù)列的基本量求解

【拓展】求解等差數(shù)列基本量問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質，如｛凡｝為等差數(shù)列，

若〃2+〃=，+4，^']am+an=ap+aq.

5.函數(shù)/（%）在單調遞減，且為奇函數(shù).若/（1）=一1,則滿足一1?/。一2）?1

的x的取值范圍是

A.[-2,2JB.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】D

【解析】試題分析：因為/（X）為奇函數(shù)且在（-00,+8）單調遞減，要使一1V/（X）K1成

立，則x滿足一14x41,從而由一1工1一241得14無K3,即滿足一1?/（無一2）?1成

立的犬的取值范圍為[1,3],選D.

【考點】函數(shù)的奇偶性、單調性

【拓展】百偶性與單調性的綜合問題，要充分利用奇、偶函數(shù)的性質與單調性解決不等

式和比較大小問題，若/（幻莊R上為單調遞增的奇函數(shù)，且/（%）+/（8）＞0,則

玉+芍＞。，反之亦成立.

6.（1+」7）（1+冗）6展開式中一的系數(shù)為

X

A.15B.20C.30D.35

【答案】C

【解析】試題分析：因為則（1+幻6展開式中

XX

含一的項為1.或工2=15工2,l.（i+x）6展開式中含一的項為士,《％4=15%2,故一

XX

的系數(shù)為15+15=30,選C.

25

【考點】二項式定理

【拓展】對于兩個二項式乘積妁問題，用第一個二項式中的每項乘以第二個二項式的每

項，分析含/的項共有幾項，進行相加即可.這類問題的易錯點主要是未能分析清楚構

成這一項的具體情況，尤其是兩個二項展開式中的r不同.

7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，

正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這

些梯形的面積之和為

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

［解析］試題分析：由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構成，如下圖，

則該幾何體各面內(nèi)只有兩個相同的梯形，則這些梯形的面積之和為

2x(2+4)x2xl=12

2,故選B.

【考點】簡單幾何體的三視圖

26

【拓展】三視圖往往與幾何體妁體積、表面積以及空間線面關系、角、距離等問題相結

合，解決此類問題的關鍵是由三視圖準確確定空間幾何體的形狀及其結構特征并且熟悉

常見幾何體的三視圖.

8.下面程序框圖是為了求出滿足3"-2)1000的最小偶數(shù)n,那么在O口=1兩個空白框中,

可以分別填入

A.74>1000和