2016-2020五年高考真題分類匯編理科第8講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第八講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

2020年

1.(2020?全國1卷)已知函數(shù)/(x)=e'+av2-x.

(1)當(dāng)8=1時，討論f[x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)/0時，〃*)Ng2+1,求a的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)工?-oo,0)時，/(x)<0J(x)單調(diào)遞減，當(dāng)工?0,內(nèi))時J")>OJ(x)單調(diào)遞增.

【解析】Q)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)首先討論m0的情況,然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定

實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】Q)當(dāng)。=1時，/(')=-+/-X，f(x)=ex+2x-l.

由于/(x)="+2>0,故/(x)單調(diào)遞增,注意到廣(0)=0,故:

當(dāng)X￡(YO,0)時，r(x)vQ/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x?0，T8)時，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

(2)由“RNJV+I得，ex+ax2-x..^-x3+1,其中xNO,

①.當(dāng)40時，不等式為：1N1,顯然成立，符合題意；

ex-----r3—r—1

②.當(dāng).00時，分離參數(shù)a得，〃2

CI...---------------2----------

X

(x-2)fex--x2-x-1

、ex-^-x3-x-\"——'-------

%(上一—5—

^/?(x)=eA--x2-x-l(x>0)，貝=e'—x-l,/zff(x)=^v-1>0,

2

故力⑺單調(diào)遞增,"(x)之"(0)=0,故函數(shù)網(wǎng)“單調(diào)遞增，/2(力之〃(0)=0,

由〃(工)之0可得：，—gf-x—10恒成立，故當(dāng)x?o,2)時，>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x?2,”)時，g?x)<0,83單調(diào)遞減；因此，根(切2=8(2)=^^，

[7-e2)

綜上可得，實數(shù)3的取值范圍是——,-HX).

L4)

【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值:最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)

的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：Q)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.(2)

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決

生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

2.(2020?全國2卷)已知因數(shù)>(A)=sin2Asin2x

(1)討論4M在區(qū)間(0,用的單調(diào)性；

(2)證明：|〃幻區(qū)攣；

O

3〃

(3)設(shè),證明：sin2Asin22Asin24x..sin22nx<—.

4〃

【答案】(1)當(dāng)?0號)時，/(x)>0"(x)單調(diào)遞增，當(dāng)口怎哥時，尸(力<0"(6單調(diào)遞

減,當(dāng)時，尸(耳>0,/(同單調(diào)遞增.(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點確定其在各個區(qū)間上的符號，最后確定原函數(shù)

的單調(diào)性即可；

(2)首先確定函數(shù)的周期性，然后結(jié)合(1)中的結(jié)論確定函數(shù)在一個周期內(nèi)的最大值和最小值即可證得題中的

不等式；

(3)對所給的不等式左側(cè)進行恒等變形可得

2

/?=[sinx(sin2xsin2x)(sin22^sin4x)---(sin22M-Ixsin2wx)sin22"x]*，然后結(jié)合⑵的結(jié)論和二角

函數(shù)的有界性進行放縮即可證得題中的槽式.

【詳解】Q）由函數(shù)的解析式可得：/（x）=2sin3xcosx,則：

/*(%)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-1]=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

y，當(dāng)40微）時/x）＞OJ（x）單調(diào)遞增,

尸（x）=0在x?0,萬）上的根為：玉=9，工2

/0、

當(dāng)X*M個時，/'（x）vOj（x）單調(diào)遞減，當(dāng)xw時，/（x）＞OJ（x）單調(diào)遞增

IJ5）

出注意到了（工+4）=5[!12（工+萬向11[2（冗+4）]=5皿2xsin2x=/（X）,

故函數(shù)/（X）是周期為"的函數(shù),結(jié)合（1）的結(jié)論，計算可得：/（0）=/（乃）=0,

母用X湃*僧卜閨+卦-*

據(jù)此可得:卜（切a=￥，[〃切」￥,叩（小哈

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論有:

2

sin2Asin22xsin24x---sin22"x=[sin3xsin32xsin34x---sin32"xp

2

=^sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)-(sin22n-,xsin2nxjsin22nx]5

Jie也x^x

88

【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值i最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)

的應(yīng)用的考杳主要從以下幾個角度進行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.（2）

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決

生活中的優(yōu)化問題.（4）考直數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.（2020?全國3卷）設(shè)函數(shù)/⑴=V+瓜+c,曲線y=fM在點（1,））處的切線與y軸垂直.

（1）求仇

(2)若/(幻有一個絕對值不大于1的零點,證明：Ax)所有零點的絕對值都不大于1.

3

【答案】(1)力二一:；(2)證明見解析

4

,1

【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到/(])=0,解方程即可；

(2)由(1)可得/(x)=3f一]=2(/+：)(工一:)，易知/⑴在(_；,；)上單調(diào)遞減，在(-co,，

(:，”)上單調(diào)遞增，n/(-l)=C-j,/(-l)=C+l/(l)=C-^/(I)=C+1,采用反證法，推出

2424244

矛盾即可.

1/1\2

【詳解】(1)因為fW=3V+b,由題意，/(-)=0，即3x-+b=0

2\2>

3

則6=一=;

4

33II

(2)由(1)可得/(0=丁_]工+。，/'(x)=3X2--=3(X+-)(x--),

令/(x)>0,得或工<一；；令/(x)<0,得一,

所以/(X)在(一總上單調(diào)遞減，在(--》，(；收)上單調(diào)遞增，

且/(T)=c_]/(一:)=c+]/(：)=c_]/Xl)=c+：,

若/(工)所有零點中存在一個絕對值大于1零點/,則/(-1)>0或/⑴<0,

即(、>!或CY」.

當(dāng)時，/(-l)=c-l>0,/(-l)=c+l>0,/(1)=c-l>0,/(l)=c+l>0,

又/(-4c)=-64c3+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零點存在性定理知/(x)在(-4c，T)上存在唯——個零點%,

即/㈤在(YO,-1)上存在唯一一個零點，在(-1,一)上不存在零點,

此時/“)不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；

當(dāng)c<一：時，/(-I)=^--<0,/(--)=<?+—<0,/(―)=(?--<0,/(I)=—<0,

4424244

又/(-4。)=64。3+3。+。=4。(1-16。2)>0,

由零點存在性定理知/(x)在(1，-4c)上存在唯——個零點與',

即/(1)在(1,"0)上存在唯一個零點，在(—,1)上不存在零點，

此時，(X)不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；

綜上，/(X)所有零點的絕對值都不大于1.

【點晴】本題主要考杳利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)生邏輯推理能

力，是一道有一定難度的題.

4.(2020?江蘇卷)已知關(guān)于x的函數(shù)y=/(x),y=g(x)與〃(x)=H+b(hb￡R)在區(qū)間。上恒有

f(x)>h(x)>g(x).

(1)若〃%)=』+2x,g(x)=-X2+2X,0=(-oo，+8),求/切的表達式；

2

(2)若/(1)=x-x+Ug(x)=k\nxth(x)=kx-k,D=(0,+oo),求Z的取值范圍；

(3)若八力=丁―2Zg(x)=4X2-8,h(x)=4(Z2-/)X-3/4+2/2(O<|/|^),D=[〃仁卜也,&],求

證：n-m<yjl.

【答案】(1)h(x)=2x；(2)丘[0,3];(3)證明詳見解析

【解析】(1)求得/(M與g(x)的公共點,并求得過該點的公切線方程，由此求得〃(戈)的表達式.

(2)先由/z(x)-g(力NO,求得女的一個取值范圍，再由/(%)-〃(?之0,求得〃的另一個取值范圍，

從而求得k的取值范圍.

(3)先由/(對之〃(x),求得卜|的取值范圍，由方程g")一力(另=0的兩個根,求得"初的表達式,

利用導(dǎo)致證得不等式成立.

【詳解】(1)由題設(shè)有一d+2xW奴+6工12+2”對任意的立.

令x=0,貝!JO<Z?KO,所以。=0.因此依《爐+2%即x2+(2—%)x2。又寸任意的冗

所以4=(2-攵『40,因此2=2.故〃(力=2尤

(2)令/(x)=〃(x)-g(x)=Z(xTTnx)(x>0),F(l)=0，XFf(x)=k^^-.

X

若kvO,則尸(%)在(0,1)上遞增,在(L+?)上遞減，則尸(力4尸(1)=0,即M6-g(x)<0,不符

合題意.當(dāng)％=0時，F(xiàn)(X)=/?(x)-(X)=0,h[x)=g(x)，符合題意.

當(dāng)Q0時，尸(x)在(0,1)上遞減，在(L+?)上遞增，則尸(力之尸(1)=0,

即〃")—g(x)2。，符合題意.綜上所述，A:>0.

由/(x)—〃(x)="2-x+l—(點一欠)=X2-(A：4-1)X+(A：4-1)>0

當(dāng)x=，即攵<_]時，y=f-(Z+l)x+&+l在(0,+?)為增函數(shù)，

因為/(0)-〃(0)=攵+1<0,故存在不?。,口)，使/(打一〃(同<0,不符合題意.

當(dāng)戶警=0,即2=-1時，f(x)-h(x)=x2>0，符合題意.

k+\9

當(dāng)％=三>0,即％>—1時，則需△=(%+1)一4(%+1)<0,解得一l<k43.

綜上所述，k的取值范圍是kG[0,3].

(3)因為丁一2d之41-卜一3/+2224/一8對任意xe[肛〃]u[-6,立]恒成立，

x4-2x2>4(r3-r)x-3r4+2t2對任意xe[m,〃]u[-夜,61顏立，

等價于*TP任+2tx+3/2-2)>0對任意xe[孫川u[-"O]恒成立.

故W+2a+3產(chǎn)一220對任意xG[〃z,川u[-V2,V2]恒成立

222

v*M(x)=x+2tx+3r-2，當(dāng)0v/<i,A=-8r+8>0,-l<-r<1f

此時八一加工應(yīng)+M<&+lvV7，當(dāng)IV/42,A=-8/2+8<0,

但4爐—824(rT)x-3/+2/對任意的xe[九〃]u[-J2,J2]恒成立.

等價于4/—4(尸-卜+(3/+4)k2-2)《0對任意的工￡[見川<=[一"@恒成立.

4爐—4,3―卜+(3/+4)92_2)=0的兩根為w，芍，則石+吃=廣一用./=豈二3二

所以n-m=歸-%|=J(M+々f一4入內(nèi)=〃_5/+3r+8-

令，=4,4w[1,2],貝！]|〃一時=>/分-5分+32+8.

構(gòu)造函數(shù)。(4=萬一5萬+3/1+8(；1￡[1,2]),^(2)=322-102+3=(2-3)(32-1),

所以丸目1,2]時，r(2)<o,尸⑷遞減,尸⑷a=?。)=7.

所以(〃-咐3'即〃-八"

【點睛】本小題主要考查利用的導(dǎo)數(shù)求切線方程，考杳利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證

明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

5.(2020?新全國1山東)已知函數(shù)/(x)=ae'-'-Inx+lna.

(1)當(dāng)。=e時，求曲線片〃x)在點(1,〃1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若〃*)21,求a的取值范圍.

2

【答案】(1)--(2)[l,+oo)

e-1

【解析】(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點斜式得切線方程，求出與坐標(biāo)軸交點坐

標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；

(2)解法一:利用導(dǎo)數(shù)研究,得到函數(shù)f(x)得導(dǎo)函數(shù)廣(x)的單調(diào)遞增，當(dāng)a=l時由尸(1)=0得

/(力“麗=”1)=1，符合題意；當(dāng)3＞1時,可證八3八1)＜。,從而尸(工)存在零點七＞。,使得

廣(%)=。6“7-；=0,得到/，利用零點的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式

可以證得(X)＞1恒成立；當(dāng)0＜。＜1時，研究f(l).即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.

解法二：利用指數(shù)對數(shù)的運算可將轉(zhuǎn)化為*+1+癡+%-1之*+/公，

令gG)="+x,上述不等式等價于g(/w+x-l)Ng(祇)，注意到g(x)的單調(diào)性，進一步等價轉(zhuǎn)化為

/wN/nx-x+l,令/?(X)=3T+L利用導(dǎo)數(shù)求得Mx',進而艮據(jù)不等式恒成立的意義得到關(guān)于a

的對數(shù)不等式，解得8的取值范圍.

【詳解】(1)Q/U)=eA-lnx+l:.f\x)=ex--.=

#x

Q/⑴=e+l?切點坐標(biāo)為(1,1+e),

.?函數(shù)f(x)在點(L*l)處的切線方程為y—e—l=(eT)(xT)MI3y=(eT)x+2,

-21-22

??切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為(0,2),(—7,0)〃??所求三角形面積為-x2x|—|=--；

e-12e-\e-1

(2)解法一：Qf(x)=aex~［-Inx+Intz,

.?./'(》)=aex~x--，且。>0.設(shè)g(x)=7'(%)廁g'(x)=aex~l+^->0,

xx

，g(M在Q”)上單調(diào)遞增，即尸(x)在(0,”)上單調(diào)遞增，

當(dāng)"1時，r⑴=0,..〃力*=〃1)=1,."(同？1成立

1I11-1

當(dāng)。>1時,???e丁<1,(一)r(l)=/e。-1)(6/-l)<0,

???存在唯一玉)>°，使得((玉))=。6"-----=°，且當(dāng)X￡(0,%)時r(x)<0，當(dāng)］￡(%,+8)時

Xnx

fM>0,ae~=—t.\ln6f+x0-l=-lnx0,因此/(“加=一缶/+In。

=-4-ln6t+x0-l+lna>21ntz-14-2/--x0=21n?+1>1,

%V%

.恒成立;

當(dāng)0<4<1時，/(I)=a+lna<a<l9:./(l)<l,/(x)>1不是恒成立.

綜上所述，實數(shù)3的取值范圍是［L+8).

解法二：/(X)=aex~}-lnx+Ina=-lnx+lna>\等價于

e-+lna+x-\>lnx+x=*+Inx.

令g(x)=/+x,上述不等式等價于g{lna+x-\)>g(lnx),

顯然8(力為單調(diào)增函數(shù)，，又等價于/也+%-12加%,即?2妹-工+1,

1］-T

令〃(工)=伍T-X+1廁/(/)=——1=-----

XX

在(0,1)上〃的>0力㈤單調(diào)遞增;在Q.+8)上卜㈤<0%憚?wù){(diào)遞減，

?"("Lav=硝)=°J〃〃2°，即1,:3的取值范圍是［L+8).

【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、利用導(dǎo)致研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，分類討論思

想和等價轉(zhuǎn)化思想，屬較難試題.

6.(2020?天津卷)已知函數(shù)/(幻二/+口11工伏￡區(qū))，f。)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(I)當(dāng)％=6時，

(i)求曲線V=/*)在點(1J。))處的切線方程；

9

(ii)求函數(shù)g(x)=/*)-f。)+一的單調(diào)區(qū)間和極值；

x

(II)當(dāng)k..-3時，求證：對任意的冷X2G[1,+OO)，且不>W，有/㈤:/伍)>/\)一"々)

2x1-x2

【答案】(I)i)y=9x-8;(ii)g(x)的極小值為g⑴=1,無極大值；(H)證明見解析.

【解析】(I)(i)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；

(ii)首先求得g'(x)的解析式，然后利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值即可；

(n)首先確定導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后令%=f,將原問題轉(zhuǎn)化為與，有關(guān)的函數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用

新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.

【詳解】(I)(i)當(dāng)代6時，〃x)=d+61nx，/(力=3/+9.可得/⑴=1,尸(1)=9,

.X

所以曲線y=在點(1,7(1))處的切線方程為y—l=9(x-l),gpj=9x-8.

3

(ii)依題意，g(x)=d-3f+61nx+-,x￡(0,+8).

X

從而可得/(％)=3/-64+9—與，整理可得：/(乃=3。-1)；。+1),

XXX

令g[x)=。，解得X=1.當(dāng)X變化時，g'(x),g⑴的變化情況如下表：

X(0/)x=\(1,+?)

g'(M—0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為a,+8)；

的極小值為41)=1,無極大值.

(n)證明：由/(x)=%3+%]nx,得/'(了)=3/+".

x

X./1\

對任意的X，七￡[1,+00),且X>%2,令—=，。>1),則

X?

(西一馬)(f(3)+/'(w))-2(f(芭)一f(w))

=(X)—x2)3x；+—+3^2+――~2x；-W+AIn—

IX引I刈

/\

=M一宕一+A———-2X:In-

E%2

/1\

=￡(r—3廠+3/—1j+/ct---2Inf.①

I/7

1i7f1A2

令/Z(R)=X----21nx,xw[l,+oo).當(dāng)x>l時，力(R)=1+—--=1一一>0,

xxxyx)

由此可得〃(x)在[L"O)單調(diào)遞增，所以當(dāng)力1時，恤)>硝)，即f—；—21nr>0.

因為血之1,「一3-+3f—1=。-1)3>0,k>-3.

所以￥(r_3/+3r_l)+2,_；_2In,..(f3_3〃+3/_l)_3,_；_2ku)

3

=r-3r2+61nr+y-l.②

3

由(I)(ii)可知，當(dāng)/>1時，g?)>g(l),即，一3/+6坨，+；>1,

a>3

故1-3『+61n/+--1>0③

由①②③可得(X-.)(/'(%)+/’仇))一2(/(5)-/(9))>0.

所以，當(dāng)左N—3時"王意的'，/，且為>W，有

/'(%)+/(3),/(%)一)(工2)

24-x2

【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值［最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)

的應(yīng)用的考杳主要從以下幾個角度進行：

(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).

(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.

(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

7.(2020?浙江卷)已知1<〃42,函數(shù)/(x)=e'-x-a,其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)證明：函數(shù))=/(x)在(。，+8)上有唯一零點；

(n)記府為函數(shù)y=〃x)在(0，+8)上的零點,證明：

(i)4^\<xQ<^a-\);

(ii)x0/(e^)>(e-1)(?-1)62.

【答案】(I)證明見解析,(II)(i)證明見解析，(ii)證明見解析.

【解析】(I)先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理證明結(jié)論；

(II)(i)先根據(jù)零點化簡不等式，轉(zhuǎn)化求兩個不等式恒成立，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單

調(diào)性確定最值，即可證得不等式；

(ii)先根據(jù)零點條件轉(zhuǎn)化：V(^，)=VUo+?)，再根據(jù)1<〃K2放縮，轉(zhuǎn)化為證明不等式

4(/-2yN々-If(〃-1),最后構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進行證明.

【詳解】(I)Qf\x)=/-1,Qx>0,>1,.?./'*)>0,;./(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

Ql<a<2,.\/(2)=e2-2-a>e2-4>0,/(0)=l-a<0,

所以由零點存在定理得/“)在(。，+8)上有唯一零點；

(n)(i)Q/(^)=0,.,./°-xo-a=O,

x

da-T<jQj<J2(a-1)<=>e0-x0-l<<2(Z°-x0-l),

令g(x)=^r-x-1-x2[0<x<2),h(x)=ev-x-1-(0<x<2),

一方面：h\x)=ex-i-x=%(x),4'(X)=ex-1>0,

：.hXx)>"(0)=0,/.h(x)在(0,2)單調(diào)遞增，二〃(x)>A(0)=0,

r2、

€x—x—1---->0,2(e'—x-1)>x,另方面"Ql<aK2「.a-1V1,

2

所以當(dāng)與時，J工工工毛成立，因此只需證明當(dāng)Ovxvl時或x)=e、—x—l一爐4o,

因為g,(x)=ex-\-2x=(x),g^(x)=ex-2=0=>x=ln2

當(dāng)xw(0,ln2)時，g：(x)<0，當(dāng)xe(ln2,l)時，g：(x)>0,

所以g'(")<max{g'(O),g'⑴},Qg<0)=0,g'(l)=e-3v0,二gf(x)<0,

???貝乃在(0,1)單調(diào)遞減，「遭(幻<8(0)=0,：.ex-x-i<x2,

綜上，「.e°-x。-1《K2(^°—XQ—1),a—1K/K,2(〃-1).

(ii)f(M)=x0/(/°)=+〃)=對(炭T)與+-2)],

Qf'(x())=2(e"—l)x°+a(e"—2)>0,\[a—\x0<yj2(a—\),

.，.?甌)>t(y/a-l)=\[a-i[(ea-+a(ea-2)]=(ea-1)((7-1)+-2),因為1<aK2,

所以e">N2(〃—1),f(xO)N(e_l)(a-1)+2(。-l)Ja-l(e“-2),

只需證明2(a—l)Ja—l(e“—2)N(e—l)(a—,即只需證明4(/一2了之(”1)2(〃一1),

令$(〃)=4(ea-2)2-(e-l)2(a-l),(l<a<2),則“〃)=8/(/-2)-(e-l)2>令(e-2)-(e-l)2>0,

5(a)>5(1)=4(e-2)2>0,即4(e“一2尸2(e-l)2(a—l)成立，

因此(e")>(e-l)(a-l)a.

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查綜合分析論證與求解能力描述難題.

2016-2019年

1(2019天津理8)已知QER,設(shè)函數(shù)/(%)=("%'若關(guān)于x的不等式/(x)..O在R上

x-alnx,x>1,

恒成立，則。的取值范圍為

A.[O,1]B.[0,2]C.[O,e]D,[l,e]

2.(2019全國m理20)已知函數(shù)f(x)=2x3-cuc2+b.

(1)討論73的單調(diào)性;

(2)是否存在a,b,使得在區(qū)間[OJ的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出。涉的所有值；

若不存在，說明理由.

3.(2019浙江22)已知實數(shù)。工0,設(shè)函數(shù)f(x)=a\nx+五71,x>0.

3

(1)當(dāng)。=-：時，求函數(shù)/⑴的單調(diào)區(qū)間；

4

(2)對任意A-€[4,+8)均有人幻4J,求。的取值范圍.

e~2a

注：e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)

4.(2019全國I理20)已知函數(shù)〃x)=sinx—ln(l+x),廣。)為/(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(1)/。)在區(qū)間(-1,萬)存在唯一極大值點；

(2)/(X)有且僅有2個零點.

X+]

5.(2019全國n理20)已知函數(shù)〃x)=ln/----.

x-\

(1)討論4M的單調(diào)性，并證明4M有目僅有兩個零點；

(2)設(shè)加是的一個零點，證明曲線片Inx在點4燦,In陽)處的切線也是曲線y=e'的切線.

6.(2019江蘇19)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c￡R、尸(x)為f(*)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若a=b=c,〃4)=8,求a的值；

(2)若dwb,且〃x)和尸(幻的零點均在集合｛—3,1,3｝中，求〃*)的極小值；

4

(3)若。=0,0〈&,1,o=1,且”*)的極大值為例，求證:傕二.

27

7.(2019北京理19)已知函數(shù)Ax)=。父+-

4

(I)求曲線)=/a)的斜率為1的切線方程；

(II)當(dāng).iw［-2,4］時，求證：x-6W

(III)?F(x)=|/(x)-|x+?||(flGR),記F(xi在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(a),當(dāng)M(〃)最小時,求3的值

8.(2019天津理20)設(shè)函數(shù)f(x)=excosx,g。)為的導(dǎo)函數(shù).

(I)求/(力的單調(diào)區(qū)間;

(n)^xe時，證明f(x)+g(陪-4.0；

(m)設(shè)Z為函數(shù)〃(x)=f(x)-l在區(qū)間(2團+:,2機兀+］)內(nèi)的零點，其中〃wN,證明

。兀e—2〃*

2〃萬+——x<-------------.

2nsin%-cos%

9.(2017新課標(biāo)n)若x=-2是函數(shù)/(外=*2+公-1)01的極值點，則

/(x)=(x2+ax-1)/7的極小值為

A.-1B.-2e~3C.5e-3D.1

10.(2017浙江)函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/⑴的圖像如圖所示,則函數(shù)y=/(x)的圖像可能是

A.B.

12.(2018全國卷I)已知函數(shù)/(x)=L-x+alnx.

x

⑴討論/*)的單調(diào)性；

⑵若/(")存在兩個極值點小々，證明：/⑻-/⑺<〃一2.

八一々

13.(2018全國卷H)已知函數(shù)/(幻二/-加

⑴若a=l,證明：當(dāng)x2O時,f(x)m;

(2)若/")在(0,+8)只有f零點，求。.

14.(2018全國卷ID)已知函數(shù)/(x)=(2+x+or2)]n(l+x)-2x.

(1)若。=0，證明：當(dāng)一IvxvO時，/(幻<0;當(dāng)%>0時，/(x)>0;

⑵若x=0是/(x)的極大值點，求a.

15.（2018北京）設(shè)函數(shù)/（x）=[-2-（4。+1）*+4〃+3]在.

(1)若曲線y="r)在點(1J⑴)處的切線與工軸平行，求。;

(2)若/*)在x=2處取得極小值，求。的取值范圍.

16.(2018天津)已知函數(shù)g(x)=\ogax，其中.

Q)求函數(shù)力(x)=/(x)—xln。的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)在點(百處的切線與曲線)，=g(x)在點(勺送(吃))處的切線平行，證明

2InIn￡7

x+g（w）=-

In。

⑶證明當(dāng)〃二小時，存在直線/,使/是曲線y=/a)的切線，也是曲線y=g(T)的切線.

17.(2018江蘇)記/'(x),g'(x)分別為函數(shù)/*),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在X°￡R,滿足、〃Xo)=g*o)且

廣"o)=gUo)，則稱為為函數(shù)/(工)與g")的一個"S點".

⑴證明：函數(shù)f(x)=x與g(x)=f+2工-2不詼"S點”；

⑵若函數(shù)/")=心2-1與g*)=inx存在"S點"，求實數(shù)d的值;

(3)已知函數(shù)/(%)=-爐+。,g(x)=一.對任意。>0，判斷是否存在人>。，使函數(shù)/&)與g(x)

x

在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)存在"S點：并說明理由.

18.(2018浙江)已知函數(shù)/")=4-11)工.

⑴若/(x)在x=%,4*戶9)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：/(^)+/(^)>8-81n2;

(2)若〃W3-41n2,證明：對于任意A>0,直線y=履+。與曲線y=有唯一公共點.

19.(2017新課標(biāo)I)已知函數(shù)/(1)=/'+(?！?)靖7.

⑴討論/*)的單調(diào)性；

(2)若/")有兩個零點，求。的取值范圍.

20.（2017新課標(biāo)n）已知函數(shù)/（幻=加-arrlnx,且/3）20.

⑴求〃；

(2)證明：/(%)存在唯一的極大值點,且"2</(%)<2-2.

21.(2017新課標(biāo)m)已知函數(shù)f(x)=x-\-a\nx.

⑴若f(x)20,求〃的值；

(2)設(shè)〃，為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)"，(1+1)(1+])…(1+[)<根，求，〃的最小值.

2222"

22.(2017浙江)已知函數(shù)/(%)=(1-反二1)1(x2g).

(I)求/3的導(dǎo)函數(shù);

(n)求f(x)在區(qū)間[；,+◎上的取值范圍.

23.(2017江蘇)已知函數(shù)/(x)=V+公2+以+]也>0公R)有極值，且導(dǎo)函數(shù),⑴的極值點是

fM的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值)

(1)求h關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(2)證明：/>3。；

(3)若八外,尸“)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于-g,求。的取值范圍.

24.(2017天津)設(shè)?！闦,已知定義在R上的函數(shù)/(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一

個零點小,g(x)為/*)的導(dǎo)函數(shù).

(I)求以外的單調(diào)區(qū)間；

(n)設(shè)機￡[1,%)1)*0,2],函數(shù)力(x)=g(x)(加一/)-/(M，求證:h(m)h(x0)<0;

(III)求證：存在大于0的常數(shù)A,使得對于任意的正整數(shù)p,q,且K￡[1MO)U(XO,2],滿足

q

1

而?

25.(2017山東)已知函數(shù)/(x)=d+2cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然

對數(shù)的底數(shù).

(I)求曲線y=/(x)在點(4J(m)處的切線方程；

(n)令〃(幻=g(x)-af(x)(aGR),討論〃(x)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

26.(2016年山東)已知/(x)=〃(x—ln.E)+'^,〃wR.

JC

(I)討論/*)的單調(diào)性；

(II)當(dāng)〃=1時，證明/(幻>/(力+：對于任意的xG［1,2］成立.

27.(2016年四川)設(shè)函數(shù)/(乃二以？—。-］。］,其中

(1)討論/。)的單調(diào)性；

(II)確定。的所有可能取值，使得f(幻>3、在區(qū)間(1,y)內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的

x

底數(shù)).

28.(2016年天津)設(shè)函數(shù)/(%)=(%-1)3-?-瓦工,其中

(1)求/*)的單調(diào)區(qū)間；

(H)若/(x)存在極值點與,且/(玉)=/*0),其中百工與，求證：％+2/=3;

(H)設(shè)。>0,函數(shù)g(x)=|/(x)|,求證：g(x)在區(qū)間上的最大值不小于；.

29.(2016年全國I)已知兇數(shù)/*)=(.?2)/+。*-1)2有兩個零點.

(I)求a的取值范圍；

(H)設(shè)內(nèi)，々是/(x)的兩個零點，證明：%+々<2.

30.(2016年全國D)

x-2

(I)討論函數(shù)/(x)=I；e'的單調(diào)性，并證明當(dāng)x>0時，(x-2)e*+x+2>0;

x+2

(H)證明:當(dāng)。以0,1)時，函數(shù)8(力/一，"0>0)有最小值.設(shè)8(/)的最小值為〃⑷，求函數(shù)力⑷

X

的值域.

31.(2016年全國印)設(shè)函數(shù)/(%)=acos2x+(a-l)(8sx+l),其中a>0,

記|/(幻|的最大值為A.

(i)求r(?；

(n)求A；

(川)證明/*)|遼24.

32.(2016年浙江高考)已知〃N3,函數(shù)工(")二0±1{2|號-1|,爐-2以+4。-2},其中

fp,

min{〃M}二{

［q，p>q

(I)求使得等式FM=x2-2ajc+4a-2成立的,v的取值范圍；

(11)”)求尸(幻的最小值風(fēng)。)；

(ii)求/")在區(qū)間［0,6］上的最大值M(a).

33.(2016江蘇)已知函數(shù)f(x)=，+"(a>O,b〉OMH31).

(1)設(shè)a=2"1.

①求方程〃x)=2的根;

②若對于任意KWR,不等式/(2力2可.(力-6恒成立，求實數(shù)小的最大值；

(2)若Ova<l,b>l，函數(shù)g(x)=/(x)-2有且只有1個零點，求面的值.

2016-2019年

1.解析當(dāng)X=1時，/(l)=l—2〃+2a=l>0頡立;

當(dāng)xvl時，/(力=/-20￥+2。龐0。2。工，皿立，

X—1

X2X2(1-X-1)2(1-X)2-2(1-X)+1

令g(x)----=-------=―=----------------------------

X-11-X\—X1-x

-(l-x)+p!——2?

-2(1-X)---2=0,

1—Xj

所以2a...g(x)=0,即。>0.當(dāng)X>1時，/(x)=x-alnx屋0=〃立,

|皿Inx

lnx-x—.

令/心)=戶，則“(x)=,，

Inx(Inx)-(Inx)

當(dāng)x〉e時，”(x)>0,0(x)遞增，當(dāng)1<x<e時，"(x)vO,遞減，

所以當(dāng)x=e時，，2(x)取得最小值〃(e)=e.所以小，〃(現(xiàn)加=e.綜上，〃的取值范圍是［0,e］.

2.解析(1)/(%)=642-2or=2%(31-。).

令八的=。，得六0或X樣

若》0,則當(dāng)xw(—8,0)U(早+8)時，f\x)>0;當(dāng)X€(O,1)時,f(x)<0.故/(%)在

(8,0),件18)單調(diào)遞增，在(o身單調(diào)遞減；

若a=0,f(幻在(F,+oo)單調(diào)遞增;

若a<0,貝(J當(dāng)U(0,+<?)時，f(x)>0；當(dāng)%￡(三,0)時，/'(x)v0.故/(x)在

卜嗚),(0,+8)單調(diào)遞增，在性可單調(diào)遞減.

(2)滿足題設(shè)條件的3,6存在.

(i)當(dāng)"。時，由(1)知，/(x)在［0,1］單調(diào)遞增,所以/W在區(qū)間［05的最小值為f(O)=b,最大

值為f(1)=2—。+〃.此時d，6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)人=一1,2-a+b=\,即3=0,b=一1.

(ii)當(dāng)表3時，由(1)知，/(%)在［0,1］單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為f⑼=b,最

小值為/(1)=2-。+〃.此時d，6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2—。+人=-1,3=1,即a=4,b=l.

(iii)當(dāng)0<a<3時，由(1)知，/")在［0,1］的最小值為/(§］二-34力，最大值為6或2—4+匕.

J27

若一二?+/?=—1,6=1,貝I」〃=3^^，與。<a<3矛盾.

27

§--+/?=-1,2-a+b=\,貝!或。=-36或a=0,與0<a<3矛盾.

綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,6=-1或a=4,氏1時