2020版高考理科數(shù)學各類題型歸納訓練

2020年高考理科數(shù)學《二項式定理》題型歸納與訓練

【題型歸納】

題型一二項式定理展開的特殊項

例在二項式12—的展開式中，含/的項的系數(shù)是（）

A.-10B.10

C.-5D.5

【答案】B

【解析】對于2=。；（療］—9=（一1），0次。-3，，對于10-3x4,.“=2,則公

的項的系數(shù)是C；（-1）2=10

【易錯點】公式記錯，計算錯誤。

【思維點撥】本題主要考查二項式定理的展開公式，知道什么是系數(shù)，會求每一

項的系數(shù).

題型二求參數(shù)的值

例若二項式卜+擊）的展開式中，第4項與第7項的二項式系數(shù)相等，則展開式

x6的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】9

【解析】根據(jù)已知條件可得：￡：=dn〃=3+6=9,所以'+」產(chǎn)］的展開式

<）

的通項為卻=C1產(chǎn)，由令9-,=6nr=2,所以所求系數(shù)為

加=9

【易錯點】分數(shù)指數(shù)幕的計算

【思維點撥】本題主要考查二項式定理的展開公式，并用其公式求參數(shù)的值.

題型三展開項的系數(shù)和

例已知+=4+〃［（1_/）+%（1_1）2+…+4］0（1_11°,則q等于（）

A.-180B.180C.45D.-45

【答案】B

【解析】由于(1+到°=[2-(1-刈°,又[2—(1—刈。的展開式的通項公式為：

必=(一/品.*，(1一步，在展開式中4是(1-尤)8的系數(shù),

所以應取r=8,

，4=(一/黨.22=180.

【易錯點】對二項式的整體理解

【思維點撥】本題主要對二項式定理展開式的綜合考查，學會構建模型

題型四二項式定理中的賦值

二項式(2元-3yy的展開式中，求：

(1)二項式系數(shù)之和；

(2)各項系數(shù)之和；

(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和.

【答案】(1)29(2)-1(3)貴匚

2

【解析】設(2￥+3?=40工9+6/丫+47丁+...+%),9

⑴二項式系數(shù)之和為端+C；+仁+...+《=2。.

(2)各項系數(shù)之和為/+q+出+...+々9=(2—3)'=—1

(3)由⑵知％+q+6+...+%=-1,令x=l,y=-l,得%+4+生+…+々9=5。，

59-1

將兩式相加，得/+%+4+為+4=寧，即為所有奇數(shù)項系數(shù)之和.

【思維點撥】本題主要學會賦值法求二項式系數(shù)和、系數(shù)和，難點在于賦值

【鞏固訓練】

題型一二項式定理展開的特殊項

1.在(%-2廠的展開式中，f的系數(shù)為()

A.16C,tB.32C^

C.-8喘D.-l6Cf()

【答案】A

,or

【解析】解：Tr+l=C1；x-（-2）\.-.lO-r=6,r=4,f的系數(shù)為叱（-2丫=1?

2.的展開式中/的系數(shù)是

【答案】1120

28rrr3r

【解析】解：Tr+l=q（x）-（j）=2c^,/.16-3r=4,解得/?=4,所以/

的系數(shù)為2，仁=1120

3.在（1-丁上+療的展開式中，d的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】-228

【解析】解：（1—丁）（2+66的展開式中，丁的系數(shù)是2管一24。；=一228

題型二求參數(shù)的值

1.已知（l+3x）"的展開式中含有f的系數(shù)是54,貝ij〃=.

【答案】4

r

【解析】解：（1+3村’的展開式中通項公式：7；+I=C；r（3xy??,含有爐的系數(shù)

是54,Ar=2.

2

?*.3Cz^=54,可得C：=6,；?〃（〃—l）+2=6,〃sN*,解得〃=4.

2.在（五+￡|（〃>0）的展開式中常數(shù)項的系數(shù)是60,則.的值為.

【答案】2

【解析】解：（+]=墨（?產(chǎn)「€），2）令3-]=。，解得r=2.

/.a2Cl=60,a>0,解得a=2.

3.在（2+工）5的展開式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】40

5r

【解析】利用通項公式，7；+I=C；2-Z,,令r=3,得出1的系數(shù)為22以=40

題型三展開項的系數(shù)和

1.在卜+味）的展開式中’各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為64,則岸的系

數(shù)為（）

A.135B.405C.15D.45

【答案】A

4"36--r?

【解析】由題意可得不"=64,，〃=6。（+]=C/6-r（?。付?'C"2,/.6--r=3,

2yjX2

r=2,則V的系數(shù)為32°；=135

2.若二項式，五十工丫的展開式中各項的系數(shù)和為32,則該展開式中含x的系數(shù)

Ix）

為（）

A.1B.5C.10D.20

【答案】B

153

5-rr2

【解析】解：令工=1,則2"=32,，=5,ATr+]=C；（V^）（-）=C；x

令2—3r=l'=I,..??該展開式中含x的系數(shù)為C；=5

22

3\x~i.的二項展開式中第五項和第六項的二項式系數(shù)最大，則各項的系數(shù)

和為________

【答案】-1

【解析】解：因為工-2的展開式中第五項和第六項的二項式系數(shù)最大所以

〃=9

^X=1,(1-2)9=-1

題型四二項式定理中的賦值

1.已知(1+女)6=1+12￥+以2+...+。6%6,則實數(shù)力的值為()

A.15B.20C.40D.60

【答案】D

【解析】解：其展開式的通項為加=亳(。/，則x的系數(shù)為CQ1=12,解得

a=2f則。=C：22=60

2.若(1+加川+...+〃6%6,且q+生+...+%=63，則實數(shù)m的值為

()

A.1或3B.-3C.1D.1或一3

【答案】D

【解析】令X=0，得4=(1+0)6=1,令X=l,得(1+m)6=4+4+%+…+々6，

又%+4+O,+...+4=64,(1+trif=64=26,.??加=1或m=—3.

3.(a+x)(\+x)4的展開式中x的奇數(shù)次累項的系數(shù)之和為32,則a=.

【答案】3

【解析】由已知得(1+x)4=1+4x+6f+4d+_/,故1+6(1+x)4的展開式中工的

奇數(shù)次冥項分別為4〃k44寸,％6/,/，其系數(shù)之和為4。+4〃+1+6+1=32,解得

4=3

2020年高考理科數(shù)學《解三角形》題型歸納與訓練

【題型歸納】

題型一正弦定理、余弦定理的直接應用

,B

例1&43C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin~一.

2

(1)求cosB

(2)若a+c=6,A48c面積為2,求人.

【答案】(1)cosB=—(2)b=2.

17

R

【解析】由題設及A+B+C=/r得sinB=8sin2一,故sin5=4(1-cos5).

2

上式兩邊平方，整理得17cos23—32COSB+15=0,

解得cosB=l(舍去)，cosB=—

17

(2)由cosB二生得sin8=■，故=24csin8=.

1717a，217

17

又SMBC=2,則〃。二彳.

由余弦定理及a+c=6得3—cr+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(\+cosB)

=36-2x—x(l+—)=4.

217

所以力=2.

【易錯點】二倍角公式的應用不熟練，正余弦定理不確定何時運用

【思維點撥】利用正弦定理列出等式直接求出

例2/\ABC的內角A,優(yōu)C的對邊分別為a,b,c，若2Z?cosB=acosC+ccosA，則

B=.

【答案】y

【解析】

171

2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(4+C)=sinBncosB=—=>B=—.

【易錯點】不會把邊角互換，尤其三角恒等變化時，注意符號.

【思維點撥】邊角互換時，一般遵循求角時，把邊換成角；求邊時，把角轉換成邊。

例3在中，a,b,。分別是角4,B,。的對邊，若b=l,。=小，C=yr,則S.6C

【答案】當

【解析】因為。＞6,所以8VC,所以由正弦定理得上=焉，即熹=4=2,即sin

sinDsincsinD.Z7t

s,nT

5=V所以B=所以4=「一專一爭=，所以￡UBC=*Csin4=夕小x4=坐

【易錯點】大邊對大角，應注意角的取值范圍

【思維點撥】求面積選取公式時注意，一般選取已知角的公式，然后再求取邊長。

題型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀

例1在AABC中，角A,8,C的對邊分別為a,4c,且A8,C成等差數(shù)列

⑴若b=2瓜c=2,求A4BC的面積

(2)若sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列，試判斷MBC的形狀

【答案】(1)2&(2)等邊三角形

【解析】(1)由A,B,。成等差數(shù)列，有2B=4+C(1)

因為A,B,。為AABC的內角，所以A+8+C=;r.(2)

得B=qlr=cr-\-(r-2accosB^

所以(26)2=。2+4—4a8sq解得〃=4或〃=一2(舍去)

所以5AAsc=sinB=-^x4x2siny=2-73

(2)由a,b,c成等比數(shù)列，有廬="⑷

由余弦定理及(3),可得b2=a2-\~ci—2accosB=a2-^c2—ac

再由(4),得*+^2—a°=ac,即(a—c)2=0。因此。=c從而A=C(5)

由Q)(3)(5),得A=8=C=?

所以AABC為等邊三角形.

【易錯點】等差數(shù)列，等比數(shù)列容易混淆

【思維點撥】在三角形中，三邊和三角都是實數(shù)，三個數(shù)很容易聯(lián)想到數(shù)列的三項，所以,

三角函數(shù)與數(shù)列的結合也是較為常見的問題，解答中注意幾個常見結論，此類問題就不難解

答了.

例2在AABC中，已知2"=〃+c,sin2A=sinBsinC,試判斷^ABC的形狀。

【答案】等邊三角形

【解析】sin2A=sinBsinC=>a2=be,又2a=b+c,所以4/"歷十"，所以

4歷=(b+c)2,即S-c)2=0,因而人二c；由2。=6+。得。二》。所以。二人=。，

AABC

為等邊三角形。

【易錯點】條件的轉化運用

【思維點撥】判定三角形形狀時，一般考慮兩個方向進行變形：

(1)一個方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正、余弦定理結合使用；

(2)另一個方向是角，走三角變形之路.通常是運用正弦定理

題型三與三角形中有關的不等式問題

2

例的內角4B,C的對邊分別為4,b,c,已知△力BC的面積為」一.

3sinA

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosSeos0=1,a=3.求AJ82的周長.

【答案】(1)sinBsinC=|；(2)CMBC=3+733

【解析】

⑴由題設得,acsinB=-^—,BP-csinB=—^—.

23sinA23sinA

由正弦定理得』sinCsin3=包配~.

23sinA

2

sinCsinB=—.

3

⑵由題設及⑴得cosBcosC-sinBsinC=一一，

2

即cos(8+C)——.B+C——,A——.

233

[2

又,/—besinA=--——，即be=8.

23sinA

由余弦定理得酎+c2一兒=9,即(b+c)2-3bc=9,

:.b+c=V33.=3+^33.

【易錯點】不會利用將角的關系轉化為邊的關系

【思維點撥】在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設中給定三角形的

面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關系轉化為角的關系，有時需將角的關系

轉化為邊的關系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面

積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或

周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉化為角的關系，建立函數(shù)關系式，如

y=Asin(a)x+(p)+b,從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的

值直接利用余弦定理和給定條件即可.

例2已知a,b,c分別為LABC三個內角力,8。的對邊,0cosC+島sinC-Z?-c=0.

(1)求人的大?。?/p>

(2)若。=7,求ZUBC的周長的取值范圍.

【答案】⑴|(2)(14,21]

【解析】⑴由正弦定理得：

tzcosC+x/3tzsin=0<=>sinAcosC-V3sini4sinC=sinsinC

<=>sinAcosC+V3sinAsinC=sin(A+C)+sinC

<=>V3sinA-cosA=1<=>sin(/l--)=-<=>A--=—<^>A=—；

62663

(2)由已知:b>0yc>0,b+c>a=7t

。1

由余弦定理49=〃+c2-2bccos—=(b+c)2-3bc>(b+c)2—(b+c)2=—(b+c)2

344

當且僅當b=c=7時等號成立,??.(/?+。)2?4乂49,又,“+c>7,???7Vb+”14,

從而△力8C的周長的取值范圍是(14,21].

【易錯點】求周長范圍的問題，應先用余弦定理列出等式，再根據(jù)基本不等式求出所求問題.

【思維點撥】周長問題也可看做是邊長問題的延伸,所以在解決周長相關問題時，著眼于邊長

之間的關系，結合邊長求最值(范圍)的解決方式，通常都能找到正確的解題途徑.

例3A/18C的內角力,民。的對邊分別為q,b,c,已知2c-a=2bcosA.

(1)求角8的大?。?/p>

⑵若b=2g,求a+c的最大值.

JT

【答案】(1)8=1(2)4V3

【解析】：(1):‘2c-a=2bcos4

?:根據(jù)正弦定理，得2sinC-sinJ=2sinBcosA.(i)VA+B=n-C,.?sinC=sin(4+8)=sinBcos

J+cos5sinA,

代入得2sin5cosJ=2sinBcos/+2cosBsinAsin4化簡得(2cos5-l)sinA=0.

丁才是三角形的內角，?：sin4>0,.：2cos5-1=0,解得cos

乃

78￡(0m),,：8=y.

(2)由余弦定理Z>2=a2+c2-2accosB,得12=a2+c2-ac.

,：(a+c)2-3ac=12,,：12N(a+c)2*a+c)2,當且僅當a=c=2/時取等號，

??a+c<4V3

【易錯點】涉及到最值問題時，常利用基本不等式或表示為三角形的某一內角的三角函數(shù)形

式求解.

(1)根據(jù)正弦定理與兩角和的正弦公式，化簡條件等式，可得(2cosB-I)sin4=0,結合sin/>0得

到cos8,從而解出8;(2)由余弦定理,可得出12=M+c2.ac再利用基本不等式求最大值

【思維點撥】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元

素,基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求

得未知元素；

(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關系的互化，解題時可以把已知條件

化為角的三角函數(shù)關系,也可以把已知條件化為三角形邊的關系；

(3)涉及到最值問題時,常利用基本不等式或表示為三角形的某一內角的三角函數(shù)形式求解.

題型四解三角形的實際應用

例1在某次測量中，在力處測得同一平面方向的5點的仰角是50。，且到力的距離為2,C

點的俯角為70。，且到力的距離為3,則8、。間的距離為()

A.V16B.V17C.V18D.V19

【答案】D

【解析】因N切C=120°,48=2,AC=3.

222

：,BC=AB-\-AC-2ABACCOSZBJC=4+9-2X2X3XCOS1200=19.

：.BC=y[i9.

【易錯點】沒有正確理解題意，不能將應用轉化為可計算的三角模型

【思維點撥】正弦定理、余弦定理及其在現(xiàn)實生活中的應用是高考的熱點，主要利用正弦定

理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題以及幾何計算的實際問題，常與三角變換、

三角函數(shù)的性質交匯命題

例2設甲、乙兩樓相距20"?,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°,從曰樓頂望乙樓頂?shù)母┙?/p>

為30°,則甲、乙兩樓的高分別是（）.

A.—B.105/56,206加

23

C.10（百-D.205/3/n,y>/3/M

【答案】D

【解析】設甲樓為OA,乙樓為BC,如圖，在

RrMBD,NABD=60°,BD=20m,/.AD=BDtan60°=20??,AB=—―=40w，

cos60°

?/ZCAB=ZABC=30°,/.AC=BC,ZACB=120°,在AABC中，設AC=BC=x,

由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC7BCZACB,B|J1600=x2+x2+x2,解得

%二當6,則甲、乙兩樓的高分別是

33

【易錯點】沒有正確理解題意，不能將應用轉化為可計算的三角模型

【思維點撥】正弦定理、余弦定理及其在現(xiàn)實生活中的應用是高考的熱點，主要利用正弦定

理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題以及幾何計算的實際問題，常與三角變換、

三角函數(shù)的性質交匯命題

【鞏固訓練】

題型一正弦定理、余弦定理的直接應用

1.在aABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,已知a=2,2sinA=sinC='^時，求b及

4

c的長

【答案】b=#或26；c=4。

ac

【解析】當a=2,2sinA=sinC時，由正弦定理-----=-----,得c=4

sinAsinC

由sinC=，及0VC〈7t得cosC=±

44

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得b2±y/bb-12=0

解得b=瓜或2瓜

*、』"二6—]b=2戈

所以<或，

<?=4[c=4

2.在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.

（I）證明：4=28：

2

（ID若AABC的面積S=幺，求角力的大小.

4

471

【答案】（1）略（2）A=；;■或A二二.

24

【解析】（I）由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,

故2sinAcos8=sin8+sin（A+B）=sin8+sin4cosB+cosAsinB,

于是sin3=sin（A—8）,又A,5￡（0,萬），故0<A—BVTF,所以

8=4一（人一8）或3=A-3因比A=4（舍去）或A=23

所以，A=2B.

2i.2

（II）由S二幺得上a6sinC="，故有

424

sinBsinC=-sin2B=sinBcosB,因為sinBwO,得sinC=cosB.

2

又B,CG（O,^）,所以C=]士B.

當B+C=2時，A=-；

22

7171

當C—B=一時，A=-.

24

7171

綜上，A=—或A=—.

24

3.AABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosc(4COsB+/?cosA)=c.

(I)求C；

(II)若c=的面積為挈，求“BC的周長.

【答案】(Dy；(II)5+近

【解析】(I)由已知及正弦定理得，2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.

可得cosC=—,所以C=一.

23

(II)由已知,-^sinC=—

22

又C=巴,所以ah=6.

3

由已知及余弦定理得，a2+b2-2abcosC=7.

故。2+從=[3,從而(〃+32=25.

所以。的周長為5十近

題型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀

1.在△45C中,內角4,B,C所對的邊分別是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cos4則△48C

的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三

角形

【答案】D

【解析】因為c—acosB=(2a—b)cos4C=n-(A-\-B),

所以由正弦定理得sinC—sin4cosB=2sinJcosJ—sinBcosJ,

所以sinAcosB+cosJsinB—sinJcosB=2sinAcosA—sinBcosA,

所以cos4(sinB-sinJ)=0?

所以cos/l=0或sinB=sin4

所以4=當或B=A或8=兀一,4(舍去)，

所以△48C為等腰或直角三角形.

2在MBC中，若sinJ=2cosBs\nC,則△48C的形狀是.

【答案】等腰三角形

c2+2_^2

【解析】由已知等式得〃=2?一Z--C,所以/=〃2+°2.他所以°2=尻即c=b.故MBC為等腰

三角形.

3.ZU8C中，角彳、B、。所對的邊分別為。、b、c,裁Vcos4,則448。為().

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【解析】依題意，得;/〈cosA,sinCVsin8cos4,所以sin(4+8)Vsin8cos4,HPsinBcos

A+cos5sinA—sinBcosJ<0,所以cosBsin/VO.又sin/>0,于是有cosBVO,8為鈍角，

△48C是鈍角三角形，選A.

題型三與三角形有關的不等式問題

1.在△力BC中，內角力，B,。所對的邊分別為a,b,c,已知cos2B+cos8=l-cos力cosC.

(1)求證：a,b,c成等比數(shù)列；

(2)若b=2,求。的面積的最大值.

【答案】(1)略(2)小.

【解析】(1)證明：在△力8c中，cos5=-cos(J+C).由己知，得

(1—sin25)—cos(J+Q=1—cosJcosC,

—sin25—(cosAcosC-sinAsinQ=_cosAcosC,

22

化簡，得sin5=sin/1sinC.由正弦定理，得b=act

:,a,b,c成等比數(shù)列.

(2)由(1)及題設條件，得ac=4.

?./+廿一/口2+《2—℃2ac-ac1

則cosB=2ac=2砒32ac=7

當且僅當。=。時，等號成立.

2

V0<B<nt/.sinB=yj1—cos5<^2=坐.

，SMBC=%CsinB6x4x坐=小.

:、XABC的面積的最大值為小.

2在A4BC中，內角A,B,C的對邊分別為。力,c已知sin2邑￡+sinBsinC=

24

(1).求角4的大?。?/p>

(2).若。=J7,A48C的面積為也，求方+C的值.

2

2兀

【答案】(1).A=y(2).b+c=3

l-cos(B-C)1

【解析】(1).由已知得------------^+sinBsinC=-,

24

1-cosBcosC-sinBsinC.八.〃1

化簡得-----------------------+sinBsmC--,

24

整理得cos8cosc-sinBsinC=—,即cos(8+C)=g,

2TE

由于0<B+C<兀，則8+。=一，所以A=一.

33

(2).因為S1”=-Z?csinA=—Z>cx—=—,所以加'=2.

根據(jù)余弦定理得(J7)=Z?2+c2-2bc-cos^~=b2+c2+Z?c=(Z?+c)2-be,

即7=(b+c)2—2,所以6+c=3

TT

3.在△ZBC中，角彳、B、。所對的邊分別為a、b、c,且滿足cos2C-cos24=2sin(w+C)

sin(y-C)

(1)求角4的大??；

(2)若〃=小，且處”，求26—<:的取值范圍.

【答案】⑴4=氨筆(2)的2小)

31

【解析】(1)由己知得2m24一2而2。=2(28$2。一上31?。)，

44

近

3

-

2

4

申

=力或

故力

半，

力二

.飛后

it,

v/v

又O

IT

_

c

h

n

"=§,

所以

/1，

以5^

,所

桓a

因為

inC,

0=2s

in8,

力=2s

nC'得

8=si

=sin

sig

(2)由

nC

—2si

in8

=4s

人一c

故2

2

cosB

一小

in8

)=3s

萬-B

in(一

—2s

in8

=4s

-,.

sin（B

=25

,

印〈號

所以

花"，

因為

7C

nIT

t兀

ULI、

受，

一不

石⑶

所以

）.

2小

［小，

范圍為

的取值

乃一c

所以

際應用

形的實

解三角

題型四

鐘后